高考数学(理)一轮复习教案：第八篇_立体几何第1讲_空间几何体的结构、三视图和直观图

1、第 1 讲空间几何体的结构、三视图和直观图【2013 年高考会这样考】1几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点2三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势【复习指导】1备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型2要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正 )方体、三棱锥等几何体的三视图基础梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2 旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所

2、在直线旋转一周得到(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到3 空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下， 与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图4 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点 o，画直观图时，把

3、它们画成对应的x轴、 y轴，两轴相交于点 o，且使 xo y 45或 135，已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x轴、 y轴已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过 o 点作 z 轴垂直于 xoy 平面，在直观图中对应的 z轴，也垂直于 xo y 平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度不变一个规律三视图的长度特征： “ 长对正，宽相等，高平齐” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分

4、界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心双基自测1 (人教 a 版教材习题改编 )下列说法正确的是 ()a 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱b有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱c有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥d棱台各侧棱

5、的延长线交于一点答案d2(2012 杭州模拟 )用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()a 圆柱b圆锥c球体d圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面答案c3 (2011 陕西 )某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ()2a 8 3b8 32c82d. 3解析 圆锥的底面半径为1，高为 2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即 v22 213122823，正确选项为 a.答案a4 (2011 浙江 )若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析所给选项中， a 、c 选项

6、的正视图、俯视图不符合，d 选项的侧视图不符合，只有选项b 符合答案 b5 (2011 天津 )一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)则该几何体的体积为 _m3.解析由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、 2、 1，上面是一个圆锥，底面圆半径为，高为，所以该几何体的体积为1 3633213(m13)答案6 考向一空间几何体的结构特征【例 1】?(2012 天津质检 )如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4 个命题中，假命题是 ()a 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c等腰四棱

7、锥的底面四边形必存在外接圆d等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 审题视点 可借助几何图形进行判断解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即a正确；底面四边形必有一个外接圆，即c 正确；在高线上可以找到一个点o，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即d 正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补 (若为正四棱锥则成立 )故仅命题 b 为假命题选 b.答案b三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决【训练 1】 以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周

8、所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为 ()a 0b 1c2d3解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案b考向二空间几何体的三视图【例 2】 ?(2011 全国新课标 )在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 () 审题视点 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面

9、为同一三角形 )垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为d.答案d(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线【训练 2】 (2011 浙江 )若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析a 中正视图，俯视图不对，故a 错b 中正视图，侧视图不对，故b 错c 中侧视图，俯视图不对，故c 错，故选 d.答案d考向三空间几何体的直观图【例 3】 ?已知正三角形abc 的边长为 a，那么 abc 的平面直观图 a bc的面积为(

10、)3 2326262a. 4 ab. 8 ac. 8 ad. 16a 审题视点 画出正三角形abc 的平面直观图 a b c，求ab c 的高即可解析如图所示的实际图形和直观图13由斜二测画法可知， a b aba，oc 2oc4 a，在图中作 c dab于 d ，26则 cd 2 oc 8 a.a b c11a66 2s2abcd 28 a16 a .答案d直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的2 2倍，这是一个较常用的重要结论【训练 3】 如图，矩形 oabc是水平放置的一个平面图形的直观图，其中cm，则原图形是 ( ) o a 6 cm，

11、oc 2a 正方形b矩形c菱形d一般的平行四边形解析将直观图还原得 ?oabc，则o d2oc 2 2 (cm)，od2o d42 (cm)，cdo c2 (cm)，cd 2 (cm)，oc cd2 od222 42 26 (cm)，oa oa6 (cm)oc，故原图形为菱形答案c阅卷报告 9忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.【防范措施】应从多角度细心观察 .【示例 】 ?一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选.实录正解 三棱锥的正视图是三角形； 当四棱锥的底面是四边形放置时， 其正视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三