10.3.1边缘分布

1、第三节 边缘分布 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数 定义定义:设设 为二维随机变量，为二维随机变量，X 和和Y 的分布的分布 函数分别为函数分别为 和和 ，则称，则称 (, )X Y ( ) Y F y( ) X Fx (1) 为二维随机变量为二维随机变量 关于关于X 的边缘的边缘 分布函数分布函数; ( ) X Fx(, )X Y (2) 为二维随机变量为二维随机变量 关于关于Y 的边缘的边缘 分布函数分布函数; ( ) Y Fy(, )X Y xXPxF X )( YxXP, ),( xF x y x 边缘分布函数完全由联合分布函数确定边缘分布函数完全由联合分布函数确定

2、. lim( , ) y F x y 由联合分布函数由联合分布函数 边缘分布函数边缘分布函数, 逆不真逆不真. y x yyYPyF Y )( yYXP, ),(yF lim( , ) x F x y 一般，对离散型一般，对离散型 r.v ( X,Y )， 则则(X,Y)关于关于X的边缘概率函数为的边缘概率函数为 , 2 , 1,)( ippxXP j ijii (),1,2, jjij i P Yyppj (X,Y)关于关于Y 的边缘概率函数为的边缘概率函数为 X和和Y 的联合概率函数为的联合概率函数为 , 2 , 1,),(jipyYxXP ijji 1 y1 yj 11 p 1 i p

3、1j p ij p pjp1pj pi p1 pi xi x1 Y X 联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律 故联合分布律及边缘分布律为 0 1 0 1 1/25 4/25 4/25 16/25 X Y Pj 4/5 1/5 1 1/5 4/5 第一节的例一第一节的例一 放回抽样放回抽样 Pi 故联合分布律及边缘分布律为 0 1 0 1 1/45 8/45 8/45 28/45 X Y Pj 4/5 1/5 1 1/5 4/5 pi 不放回抽样不放回抽样 此例(1)和(2)中X和Y的边缘分布是相同的， 但它们的联合分布却完全不同，由此可以 看出，联合分布不能由边缘分布唯一确定. 也就是

4、说，二维随机向量的性质不能由它 的个别分量的个别性质来确定，还须考虑 它们之间的联系. ( )( ,)( , ) x X FxF xf u y dydu 连续型的边缘分布函数与边缘连续型的边缘分布函数与边缘 d.f. ( )(, )( , ) y Y FyFyf x v dxdv ( )( , ) X fxf x y dy ( )( , ) Y fyf x y dx 的的连连续续点点处处，有有和和在在)()(yfxf YX ).( )( ),( )( yf dy ydF xf dx xdF Y Y X X 与离散型相同,已知联合分布可以求 得边缘分布；反之则不能唯一确定. 例例2 2 设二维随

5、机变量设二维随机变量( (X X, ,Y Y ) )在在x x=0,=0,y y=0, =0, x+y=1 x+y=1 所围成的区域所围成的区域 D D 上服从均匀分布，上服从均匀分布， 求求(X,Y)(X,Y)关于关于X X与关于与关于Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度. . 解：解：( 利用公式（利用公式（3.5，3.6）求边缘概率密度）求边缘概率密度) 区域区域 D 的面积为的面积为A=1/2,则则(X,Y)的概率密度为的概率密度为 2,( , ) ( , ) 0, x yD f x y 其它 )1(22),()( 10 1 0 xdydyyxfxf x x X 时时当当 . 0)(,

6、0),(1, 0 xfyxfxx X 故故时时，或或当当 其其它它, 0 10),1(2 )( xx xf X 所以所以 )1(22),()( 10 1 0 ydxdxyxfyf y y Y 时时当当 同理可得同理可得 其其它它, 0 10),1(2 )( yy yf Y 所以所以 例例4 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 2 1 1 2 2 21 )( )1 (2 1 exp 12 1 ),( x yxf )()(2 2 2 2 2 2 1 1 yyx 则则 （ X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布. , 2121 其中其中均为常数均

7、为常数,且且 , 0, 0 21 1| , 2121 正态分布的边缘分布仍为正态分布正态分布的边缘分布仍为正态分布 xexf x X , 2 1 )( 2 1 2 1 2 )( 1 yeyf y Y , 2 1 )( 2 2 2 2 2 )( 2 在求连续型在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要的边缘密度时，往往要 求联合密度在某区域上的积分求联合密度在某区域上的积分. 当联合密当联合密 度函数是分片表示的时候，在计算积分时度函数是分片表示的时候，在计算积分时 应特别注意积分限应特别注意积分限 . 例例5 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是 其它, xy,x),x(cy )y, x(f

8、0 0102 求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度）两个边缘密度. =5c/24=1, c =24/5 1 00 )2( x dxdyxcy dxdyyxf),( 解：解：(1) dxxxc 1 0 2 22/ )( 由由 1),(dxdyyxf 确定确定C (2) 求边缘概率密度求边缘概率密度 ( )( , ) X fxf x y dy ),2( 5 12 2 xx01x 注意积分限注意积分限 x y 01 y=x 0 24 (2) 5 x yx dy 注意取值范围注意取值范围 ), 2 2 2 3 ( 5 24 2 y yy ( )( , ) Y fyf x y dx 10 y 注意积分限注意积分限 注意取值范围注意取值范围 x y 01 y=x 124 (2) 5 y yx dx 其它, 0 10), 2 2 2 3 ( 5 24 )( 2 y y yy yfY 其它, 0 10),2( 5 12 )( 2 xxx xf X 即即 由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布