小学数学 简单的排列问题.教师版

1、7-4-1. 简单的排列问题教学目标1. 使学生正确理解排列的意义；2. 了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3. 掌握排列的计算公式；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就 是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关一般地，从 n 个不同的元素中取出 m ( m n )个元素，按照一定

2、的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果 两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺 序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从 n 个不同的元素中取出 m ( m n )个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素的排列中取出 m 个 元素的排列数，我们把它记做 p m n根据排列的定义，做一个 m 元素的排列由 m 个步骤完成：步骤 1 ：从 n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有 n 种方法；步

3、骤 2 ：从剩下的( n -1)个元素中任取一个元素排在第二位，有( n -1)种方法；步骤 m ：从剩下的 n -( m -1) 个元素中任取一个元素排在第 m 个位置，有 n -（m-1）=n-m +1 (种)方法； 由乘法原理，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是 n（n-1）（n-2）l（n-m+1），即p m =（nn -1）（.n-2）l（n -m +1），这里， m n ，且等号右边从 n 开始，后面每个因数比前一个因数小1 ，共 n有 m 个因数相乘二、排列数一般地，对于 m =n 的情况，排列数公式变为 p n =n（n-1）（n-2）l321n表示从 n 个不同元

4、素中取 n 个元素排成一列所构成排列的排列数这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列式子右边是从 n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1 ，一直乘到 1 的乘积，记为 n ! ，读做 n 的阶乘，则 p n 还可以写为： p nn n例题精讲=n !，其中 n! =n（n-1）（n-2）ll321模块一、排列之计算【例 1】 计算： p 2 ； p 4 -p 3 5 7 7【考点】简单排列问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 由排列数公式 p m =（nn -1）（.n-2）l（n -m +1）知：n p 2 =5 4 =205 p 4 =7 6 5 4 =840 ,

5、p 3 =7 6 5 =210 ，所以 p 4 -p 37 7 7 7【答案】 20 6301=840 -210 =630 【巩固】 计算： p 2 ； p 3 -p 2 3 6 10【考点】简单排列问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 p 23【答案】 6=3 2 =6 30 p 3 -p 2 6 10=6 5 4 -10 9 =120 -90 =30 【巩固】 计算： p 3 -p 2 ； 3p 5 -p 3 14 14 6 3【考点】简单排列问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】 p 314-p 214=14 13 12 -14 13 =2002 ； 3p 5 -p 3 =3

6、(6 5 4 3 2) -3 2 1 =2154 6 3【答案】 2002 2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有 4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照 相时 3 人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 由于 4 人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有 3 人，可以看成有 3 个位置由这 3 人来站由 于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3 人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3 人，排在 3 个位置中的排列问题要计算的是有多少种排法由排列数公式，共可能有： p 3 =4 3 2 =24 (种

7、)不同的拍照情况4也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有： p 44【答案】 24=4 3 2 1 =24 (种)不同的拍照情况【巩固】 4 名同学到照相馆照相他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 4 个人到照相馆照相，那么 4 个人要分坐在四个不同的位置上所以这是一个从 4 个元素中选 4 个， 排成一列的问题这时 n =4 ， m =4 由排列数公式知，共有 p 4 =4 3 2 1 =24 (种)不同的排法4【答案】 24【巩固】 9 名同学站成两排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题

8、【难度】3 星 【题型】解答【解析】 如果问题是 9 名同学站成一排照相，则是 9 个元素的全排列的问题，有 p 9 种不同站法而问题中，99个人要站成两排，这时可以这么想，把9 个人排成一排后，左边4 个人站在前排，右边5 个人站在后 排，所以实质上，还是 9 个人站 9 个位置的全排列问题方法一：由全排列公式，共有 p 9 =9 8 7 6 5 4 3 2 1 =3628809方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个(种)不同的排法p 4 p5 9 5【答案】 362880=9 8 7 6 5 4 3 2 1 =362880【巩固】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同

9、的站法？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且 n =4 由全排列公式，共有 p 44【答案】 24=4 3 2 1 =24 (种)不同的站法【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”， 5 人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少 种不同的站法？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排 列问题，且 n=42由全排列公式，共有 p 44【答案】 24=4 3 2

10、1 =24 (种)不同的站法【例 3】 5 个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_种？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4 年级，第 8 题【解析】 5 个人全排列有 5! =120 种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60 种【答案】60 种【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14 个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种 不同的车票【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 p 2 14【答案】 182=14 13 =182 (种)【例 5】 班集体中选出了 5 名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活

11、委员、宣传委员和体育委员问： 有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 p 5 =120 (种)5【答案】 120【例 6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信 号？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置我们的 问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题由于信号不仅与旗子的颜色有关， 而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中 n =5 ， m =3 由排列数公式知，共可组成 p 3

12、5【答案】 60=5 4 3 =60 (种)不同的信号【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少 种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 p 2 =3 2 =6 3【答案】 6【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号如有红、黄、 绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同 的信号？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的

13、一个排 法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题由排列数公式，共可以组成 p 3 =3 2 1 =6 (种)不同的信号3方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3 种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗 中去取，有 2 种方法剩下那面旗子，放在最低位置根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3 2 1 =6 (种) 【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化【答

14、案】 6模块三、排列之数字问题3【例 7】 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 这是一个从 8 个元素中取 4 个元素的排列问题，已知 n =8 ， m =4 ，根据排列数公式，一共可以组成 p 4 =8 7 6 5 =1680 (个)不同的四位数8【答案】 1680【巩固】 由数字1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 p 3 =120 6【答案】 120【例 8】 用 0 、1 、 2 、 3 、

15、4 可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 （法1 ）本题中要注意的是 0 不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1 、2 、 3 、 4 这四个数字 中选择一个，有 4 种方法；十位和个位上的数字可以从余下的 4 个数字中任选两个进行排列，有 p 2 种4方法由乘法原理得，此种三位数的个数是： 4 p 2 =48 (个)4（法 2 ）：从 0 、1 、2 、3 、 4 中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是 0 的从 0 、1 、 2 、3 、 4 这五个数字中任选三个数字的排列数为 p 3 ，其中首位是 0 的三位数有

16、 p 2 个三位5 4数的个数是：p 3 -p 2 =5 4 3 -4 3 =48 (个)5 4本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接 在排列的时候考虑这些限制因素【答案】 48【例 9】 用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 个位数字已知，问题变成从从5 个元素中取 2 个元素的排列问题，已知n =5 ， m =2 ，根据排列数公 式，一共可以组成 p 2 =5 4 =20 (个)符合题意的三位数5【答案】 20【巩固】 用 1、2、3、4、5、

17、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶 数？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从 2 ， 4 ， 6 中选一张，有 3 种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5 张中选二张，有 p 25【答案】 60=5 4 =20 (种)选法由乘法原理，一共可以组成 3 20 =60 (个)不同的偶数【例 10】 由 0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 组成无重复数字的数，四位数有多少个？ 【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为 p 46=6 5 4

18、 3 =360 ，由于 0 不能在千位上，而以 0 为千位数的四位数有 p 3 =5 4 3 =60 ，它们的差就是由 0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ， 85组成无重复数字的四位数的个数，即为： 360 -60 =300 个方法二：完成这件事组成一个四位数，可分为 4 个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数 ”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确 定了，思维过程如下：4根据乘法原理，所求的四位数的个数是： 5 5 4 3 =300 (个)【答案】 300【例 11】 用1 、 2 、 3 、

19、4 、 5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍数？ 【考点】简单排列问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 按位数来分类考虑： 一位数只有1 个 3 ； 两位数：由1 与 2 ， 1 与 5 ， 2 与 4 ， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成 p 22的两位数，共可组成 2 4 =8 (个)不同的两位数；=2 1 =2 (个)不同 三位数：由 1 ， 2 与 3 ； 1 ， 3 与 5 ； 2 ， 3 与 4 ； 3 ， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成 p 3 =3 2 1 =6 (个)不同的三位数，共可组成 6 4 =24 (个)不同的三位数；3

20、四位数：可由 1 ， 2 ， 4 ， 5 这四个数字组成，有 p 44=4 3 2 1 =24 (个)不同的四位数； 五位数：可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组成，共有 p 5 =5 4 3 2 1 =120 (个)不同的五位数5由加法原理，一共有1 +8 +24 +24 +120 =177 (个)能被 3 整除的数，即 3 的倍数【答案】 177【例 12】 用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比 20000 大且百位数字不是 3 的无重复数字的五位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 可以分两类来看： 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以

21、任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有 p 4 =4 3 2 1 =24 (种)放法，对应 24 个不同的五位数；4 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可 以选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上，有 p 3 =6 种选择由乘法原3理，可以组成 3 3 6 =54 (个)不同的五位数由加法原理，可以组成 24 +54 =78 (个)不同的五位数【答案】 78【巩固】 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？

22、【考点】简单排列问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 从高位到低位逐层分类： 千位上排 1 ， 2 ， 3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从 0 9 中除千位已确定的数 字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9 个元素中取 3 个的排列问题，所以百、十、 个位可有 p 3 =9 8 7 =504 (种)排列方式由乘法原理，有 4 504 =2016 (个)9 千位上排 5 ，百位上排 0 4 时，千位有 1 种选择，百位有 5 种选择，十、个位可以从剩下的八个5数字中选择也就是从 8 个元素中取 2 个的排列问题，即 p 281 5 56 =280 (

23、个)=8 7 =56 ，由乘法原理，有3 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ，1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 7 时，个位也从剩下的七个数字中选择， 有 116 7 =42 (个)4 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8 时，比 5687 小的数的个位可以选择 0 ，1 ，2 ，3 ，4 共 5 个 综上所述，比 5687 小的四位数有 2016 +280 +42 +5 =2343 (个)，故 5687 是第 2344 个四位数【答案】 2344【例 13】 用数字 l8 各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数共有_ 种组成方法【考点】简单排

24、列问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 7 题【解析】 l8 中被三除余 1 和余 2 的数各有 3 个，被 3 整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件 的排列，一定符合“被三除所得余数以 3 位周期”，所以 8 个数字，第 1、4、7 位上的数被 3 除同余， 第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3 整除， 第 1、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 可以余 1，余 数的安排上共有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的

25、排列，一共有 3！3！2！=144 种方 法.【答案】 144 种【例 14】 由数字 0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列2008 排在 个 【考点】简单排列问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 比 2008 小的 4 位数有 2000 和 2002 ，比 2008 小的 3 位数有 2 3 3 =18 （种），比 2008 小的 2 位数有2 3 =6 （种），比 2008 小的 1 位数有 2 （种），所以 2008 排在第 2 +18 +6 +2 +1 =29 （个）【答案】 29【例 15】 千位数字与十位数字之差为 2（大减小)，且不含重复数字的

26、四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为 2 : 9 ，对应的十位数字取 0 : 7 ，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的 8 个数字中选出 2 个作百位和个位就 行了，因此总共有 8 p 2 个这样的四位数千位数字小于十位数字，千位数字取1 : 7 ，十位数字8取 3 : 9 ，共有 7 p 28【答案】 840个这样的四位数所以总共有8 p 28+7 p 2 8=840 个这样的四位数模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非 0 数码组成，且四

27、个数码之和是 9 ， 那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 四个非 0 数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3 六种第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑 6 的位置就可以了，6 可以任意选择 4 个位置中的一个， 其余位置放1 ，共有 4 种选择；第二种中，先考虑放 2 ，有 4 种选择，再考虑 5 的位置，可以有 3 种选择，剩下的位置放 1 ，共有 4 3 =12 (种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有 12 种选择最后一种，与第一种的

28、 情形相似， 3 的位置有 4 种选择，其余位置放 2 ，共有 4 种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成4 +12 +12 +12 +12 +4 =56 (个)不同的四位数，即确保能打开 保险柜至少要试 56 次【答案】 56【例 17】 幼儿园里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 在这个问题中，只要把 3 把椅子看成是 3 个位置，而 6 名小朋友作为 6 个不同元素，则问题就可以转 化成从 6 个元素中取 3 个，排在 3 个不同位置的排列问题6由排列数公式，共有： p 36【答案】 120=6 5 4 =120 (种)不同的坐法【巩固】 幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 与例 5 不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把 6 把椅子看成是 6 个元素，而把 3 名小朋友作为 3 个 位置，则问题转化为从 6 把椅子中选出 3 把，排在 3 名小朋友面前的排列问题由排列公式，共有： p 36【答案】 12