倍角,半角,和差化积公式定理

1、倍角、半角、和差化积公式一. 教学内容：3.1和角公式3.2倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、 余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联 系。三. 教学重点、难点重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式，并应用上述公式进行求值、化简、证明。难点：能

2、够正确利用上述公式进行求值、化简、证明，并能解决简单实际问题。四. 知识分析（一）两角和与差的余弦1、两角差的余弦公式推导方法1:向量法把看成是两个向量夹角的余弦， 可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1，设二匚卩的终边分别与单位圆交于点 Pl,三二工），P2），由于余弦函数是周期为 2 n的偶函数，所以，我们只需考虑 丄I的情况。& - 0呂-fcos Of, sin -OP2 - (cos p, sin 卜)贝r _ I 1 1|_ 11J 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有cos（ct-p）= cos ctcos p+sin asm p于是，对于任意的，都有上述式子成立。推导方法2

3、 :三角函数线法设= I-、 -都是锐角，如图2，角匚的终边与单位圆的交点为Pi , ZPOPi则/Pox =过点P作MN丄x轴于M，贝U OM即为二-的余弦线。在这里, 我们想法用匚* -的三角函数线来表示 OM。图2过点P作PA丄OPi于A，过点 A作AB丄x轴于B，过P作PC丄AB于C,则OA表 示AP表示：丨，并且/ PAC = ZPiOx =二，于是OM = OB + BM = OB-CP = tMcos Ct+AFsm 0t= cos 花叹|3sin Oi即J | ；-： f ： I r：-l要说明此结果是否对任意角、丨都成立，还要做不少推广工作， 并且这项推广工作的过程也是比较繁

4、难的，在此就不进行研究了。2. 两角和的余弦公式比较1 L与I,并且注意到. 与 之间的联系：Ct + 0 = X-(-0)则由两角差的余弦公式得：co$(a.+ p) = cosa-(一闵=cosacost-fj+sin(xsin(-p) = cos acos p-sin ex sin 03. 对公式的理解和记忆(1) 上述公式中的二 -都是任意角。(2) 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。(3) 要注意和(差)角的相对性，掌握角的变化技巧，如二.一；. - =(6+闵一0 等。(二)两角和与差的正弦1. 公式的导出71卫sm(CX4l-p) = cos(CK

5、+ R)= cos (KX)0灵口(ct- p) = sinct + (-|3) = sm ctcos(-|3) +cos ctsin(-ff) = sin ctcos p- cos ctsin P即- ：ii 11 i i sin(a - p) = sin acos 0 cos asin p2. 公式的理解（1） 门、门：、；一样，对任意角二均成立，是恒等式。（2）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式。女口 .I 丨.|:：. .- I -二 lcosa- Osinoj = cosflsin（27r-= sin 2jTcosce-匚os2sm a-OcM-lsinG

6、 = - sitia（3）明确；丿公式的区别与联系：sin（a 土 p） = sin a cos p cos asin 0C?s（ct+p） = cos a cos 0m 宝 n asm 0两公式右边均为两乘积项和差形式，但公式中，左边为角的“和”或“差”，右边也为两项之“和”或“差”，而 公式中，左边为角的“和”或“差”，右边则为两 项之“差”或“和”，另外 公式中右边两项均为角、的异名函数之积，牢记公式,才能正确使用这些公式。3. 函数二1 -：li-二的最值（a、b为常数，二为任意角）将函数；化为一个三角函数形式可求最值，而此函数为两项之“和”式，所以考虑 应用两角和与差的正弦、余弦公式

7、，可化为一个三角函数形式，化简过程如下：f （抚）=a=十（cosleaser十曲血日曲n=Jo1 十cosfct- y/ - icosCa-)i也可如下化简：f （抚）=a cosffi+$iri a=a-b2 (sin ar & 十 cos er sin &)(令 tan 二)/. - 4?+护“（e） J疋十只即二=丨；二乂打-注：此处内容与教材 P143的例4是一种问题，但表示方法稍有不同，目的是要同学们灵活掌握，运用自如。（二）两角和与差的正切1. 正切公式的推导过程当 八、 时，将公式 |厂“ f的两边分别相除，有” 宀 Sin（x+ 5）s in a cos 8 + cosin

8、5tan（抚 + jB）= =-cos（a+ Cvfitcos j&- sin as in 当COS a COS 3旳时，将上式的分子分母分别除以COS a COS 3,得:tang+Q J祖 3 窗-1 tan cttan fy g Ein-0) -siatan(- JS) = =由于 :-.-tana- tanR在中以一3代3,可得tang- P)1 十 tan ct tan. Q2.公式的理解（1 ）公式成立的条件T七7T+芈” +, +/3灯+单（7硼需满足）公式在咖+（7；需满足），kZ2时成立，否则是不成立的。当tan a、tan 3或tan( a 3的值不存在时，不能使用公式*

9、,处理有关问题时，应改用诱导公式或其他方法来解。(2)公式的变形形式,tan it+tantan(o: + 0)= 由一 -*|二得tan ct+ taa 0 = tanfcr + 何(1 - tan crtan ；, tana+tanQtan a: tan 二 1 一；tan(a+ Q,- tan 盘亠 tan Btan(cr-fi)= 由一，二 |L- Jl 得tan a- tan 0 = tan(cr-闻(1+ tan crtan/T)；tan a* tantan or - tan p 1tan(盘-间o（四）倍角公式S C T1. 本节中公式的证明过程较为简单，只要将r ；中的3换作a

10、即可得到-“的形式，再结合平方关系 ：Si-可推得 止。2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形2tana、1_佔住（心另外 cos 2a-2 cos3 a- 1 = 1 Ssin3 a （C；口）公式还可变形为升幕公式：| ： - ：. :- : 1- .?21 -Fcos2a . 1 I- cos 2acos ex = sm a-=降幕公式：tan 2cl -2 2厲2tan 2fx kn 兀小 ”tan 2cr =了申，o= 十一懐 eZ）以上公式中除- LC二二且a其余公式中角a为任意角。7TErr + -（t E?） 工二外,（五）半角的正弦、余弦和正切阳J 1.应用三个半角公式：7

11、:时，要特别注意根号前的符号,象限的原三角函数的符号。同学们往往误认为是根据a tan 一2的符P.号。2 a cos a 二一如a为第二象限角，且a tan 2可正可负,为正。1 - cos a21+|廠 61 +cost2cr00S=2231一巴巴二厉1 + CC5Ttan. 一 二2述仝二土2选取依据是a 1 IL tCOS a的符号，确定 二为第一或第三象限角，a-所在的COS 2、aSin - 二可正可负, 匚0 21 cos3f sin 1 - cos ar1 + coso, 1 + cosa sincu，显然公式2公式，共有三个，即住/1- C-&Etan = 土讣由于符号问题有

12、时不方便，后两个无符号问题，但易记混淆。对于 后两个公式关键是明确公式的推导，如下：tan=2口小 2H-cosdcos-二，后两个tan，同理可推得3.升幕公式：-二例1.-降幕公式-二 ，-，等同于倍角公式的升幕与降幕公式。升降幕公式主要用于化简、求值、证明，在应用时要根据题目的角的特点，函数的特点 及结构特点选取公式。一般地升幕的同时角减小，降幕的同时角增大。【典型例题】的值。公式在化简中往往起到事半功倍的效果。1c 空处 r2I + cos ar = 2cos 一， 1 一匚os= 2 sin 一由余弦的和角公式，得,ar a 2 丿 A S + 3-5十 p） = cos Geosp

13、-siacr sinp- （一一（一 ） - J =点评：已知角的某一三角函数值，求该角的另一三角函数值时，应注意角的终边所在的 象限，从而确定三角函数值的符号。例2.已知RtACB中，两垂直边 AC = b , BC = a，斜边AB = c,周长为定值I,求斜边c 的最小值。解析：Rt KCB 中ZC= 90 ,AC = b , BC = a, AB = c贝 U a = c si nA , b = c cosA二口 +3 + f= c（l-h sin j4-hcos J）1 +血卫十庞细匸斗彳）即当 I_1 4时，斜边c最小，最小值为1 +崔。点评：（1）应用三角函数解决实际应用题的最值

14、问题，必须先写出函数关系式（三角形 式），再求最值。（2）型如1 1 -的函数均可化为（ B为确定数值），或化为-_,再利用三角函数的值域可求最值。l+tan75Q,tan5%tan 30%tan 15tan30c例3计算：（1 ）1 亠- 丁解析：（1 ）解法1 :tan 75-二曲仔+臥3严*l-tan451=tan301+迈3 _ 12 + &J31 .l + tan75&1+2+羽 3 + 馅 2羽 河= = 一叮31-罗 1 2 /3 -1 -21+ tan75 _ tan45fl+ tan75 解法 2:1怕仕7乎 1 - tan45 * tan 75=tan（4F+7亍）=tan

15、 120= -tan 60” c、 tan G + tan 8tan（母 + 0）=（2）公式，可变形为tan er + tan 0 = tanfcr + 问（1 - tan atari j8）.tan 15+ tan30+tan 15 tan 30=tan-45 （1- tan 15 * tan 30） + tan 15 tan 30二 tan 仔二 1点评：（1 ）题（1 ）中的解法1是正用公式；，从而将非特殊角 75。的正切化为两特 殊角45 与30 的正切，使问题得解；而题（1 ）中的解法2通过变换凑出两角和的正切公 式形式，逆用公式使问题得到解决。题（2）是逆用公式 人求解的。（2

16、）公式可正用、逆用、变形应用。应用公式解题时，由于所求式子与公式有一 定距离，可先变形、整理，再应用公式。cosa+sin ot cos a- sin a(3)对于型如：一一一：u (或亠i工)的式子，常常分子分母同时除以：;:咁二1+tana l-tan at沁4亍+ tanetan4俨一 tan 分为1 .丄一.：(或一：丄.)的形式，再化为 八(或1的形式，再用公式；即可。例4设1 * r 11 ；是方程-L-.的两实根。求十； I I W.-：.：.之值。解析：由题意知：51. r g tan s + tan 3.tan(af+ 防二二1 -tandftan 4sin3 (cr+ fi

17、) - 3aii(a+ cos(af-F 罚-3cos2 (a+j8)sing十功-3dn.(cr+ j3) cos(tt十向一 3cos2 (十 Qsina(cr + fi) + cos2 (cr+ 0)_ tan2(or+ 闻-3沁(a + 0) - 3tan3 + 0) + 1点评：(1 )由tan( a + 皆丨如何求待求式 工*- 1TI J 、：广_ 2 -弓遇的值是难点，而将待求式转化为tan(ct + p)的待求式是关键，如何转化呢？关键之关键是将原待求式看成分母为“ 1 ”的分式，而分母“ 1 ”又可表示为 8in3(a4- (5 + cos2 (a+ 0)(2 )由，可求下

18、列代数式的值：asincx+ cas aa tan at+型如(:聲in cc十日cos a，可化为(7tanz-F ； flan2 CL+i cos2 OLa tan2 Ot+i型如csm ct十出cos ct 可化为Qt祖._ -naj型如一二工一 一丄匚 一.j. - .,. J 二ct+ 3 sin cccosct-i-cos ct tan cc+3tanoc+l可化为丄一.亠一 _. - 1例5解答下列各题：7T 5cos cos (1 )求 1-的值；5 坪、sin a-一，必迂一，c/c、132cos2求山云二tan ick ，sin 兴 + cos tr=解析1 : -的值。

19、- 2 2 - 1 sm or-Hcos Zsin Ofcostr = 9J sin2(7 =-Hsindcos(z = - 0 9?.07T, 打fi乱 A 0,亡os* Q/ sins = J血 0 go亍化)= 2in2& = T : cos 2a = cosJ Of - sinJ =sin4-cosnf)(cosa-餡nd)tai. 2 盘=sin 2d E VFfcos2o, 171 sin 戏+ 匚 oscr = 解析2 : -百sin cr cos cx = 平方得；-sin a、COS a可看成方程=0的两根,，可得解方程-丿1十丽鬲=，尼=6 2=01-7796/ ar e

20、(0 0sin a;=1 +打cosa; =J17.sm 2sin iScos =&os 2a = cos2 a - sin2 a =sm 2a 8Vl7tan la.=cos 2ct 17点评：已知的一个三角函数值及所在象限，可求2“的正弦、余弦、正切，而本题已1sin ct+cosct=知三角函数式2，可先求出-：1L -的值，再用二倍角公式，但要71 a 71：判断出；，另外本题解法较多，认真研究可以提高解题的灵活变形能力。|cos6|= 且求 ltl 纟,例7.已知|g纠二 2, 3JT解析：/e-的值。.35/r 6 3ttCOS v = 5 A 22g由 cos * = 1 一 2

21、 sin3 又“吨-12点评：半角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的卜一定是单角的形式，根根号前应保留正负Qt号前面的符号，由 2所在象限来确定，如果没有给出限定符号的条件, 两个符号。1 + sm2a- cjs2;jtan Ct 二 6 半:例8.已知1 丄一二I八二丄的值。a sin a 1- cos atan =解析：解法1 ：- - 心”sin2U 1 - cos 2a tan 3f =1+ cos2o:5in2利用比例性质：.1 + siti2- cos2a.:=tan a14- sincos2a14- sin 2 cos 2d:CL1+ siti2kr+ tos2 解法2 : v -一.-1 ：丄 一1 + cos 2 = 2 cos a,1+ sin cos2flf 1- cos2；X+sin21 + siti2G + cos2af 1 + cos2c+ sin 2a2 gm1 f-2sin(cos2cos Q + 2 sin dfco