五年级奥数教师解析版含答案18.数列与数表综合

1、等比数列的概念与求和公式求具有规律性的数列中的项被小整数除的余数涉及分数与小 数的，或综合性较强的数列与数表问题1有 7 根竹竿排成一行第一根竹竿长 1 米，其余每根长都是前一根的一半 问：这 7 根 竹竿的总长是几米?【分析与解】1 1 1 1 1 1我们先将 7 根竹竿的长度一一求出： 1, , , , , , 2 4 8 16 32 641 1 1 1 1 1 63它们的和为 1 + + + + + + =1 (米)2 4 8 16 32 64 64这 7 根竹竿的总长是 16364米2 甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数 量每个月增加一倍已知一

2、月份甲、乙两厂生产玩具的总数是 98 件，二月份甲、乙两厂生产玩 具的总数是 106 件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份?【分析与解】 由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂 生产的玩具数即一月份乙厂生产了 10698=8 件，甲厂生产了 98-8=90 件乙厂生产的玩具数量每月增加一倍，有 8 2 4 90 ， 8 23 1998 ，1+3+5+87=(1+87)442=1938 1998 所以擦去的奇数是 2025-1998=277 某车间原有工人不少于 63 人，在 1 月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都 新调人 1 人进

3、车间工作现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品共生产 1994 件试问：1 月几日开始调进工人?共调进了多少工人?【分析与解】 1 月份共有 3l 天，所以这个车间的原有工人至少生产出了 6331=1953 件， 或增加 3l 的倍数，但因不超过 1994 件，所以工厂的原有工人生产了 1953 或 1984 件所以，后来调进的工人生产了 19941953=41 件，或 19941984：10 件产品易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入 的天数 n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数有 41=141，所以奇约数只有 1 和 4l，这样的

4、数只有一种表达为若干个连续自然数和的形 式，41=20+21所以调入的次数 n=2，第一次调入的人数 x=20，共调进人数 x+n-1=20+2-1=21 人：10=25，所以奇约数只有 1 和 5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式， 10=1+2+3+4所以调入的次数 n=4，第一次调入的人数 x=1，共调进人数 x+n-1=1+4-1=4 人所以为：调人 2 天，1 月 30 日开始调入，共调进 21 人；调人 4 天，1 月 28 日开始调入， 共调进 4 人评注：一个合数，它奇约数的个数减去 1 是多少，那么它表达为若干个连续自然数和的种 教也就是多少8100 这个数最多

5、能写成多少个不同的自然数之和?(严格的应为非零自然数)【分析与解】 要求尽可能多的不同自然数之和为 100，则应使每个自然数都尽可能的小于是从 1 开始相加，有 1+2+3+n=n (n+1) 2当 n=13 时，1+2+3+13=91；当 n=14 时，1+2+3+14=105所以有 1+2+3+11+12+(13+9)=1+2+3+11+12+22，这 13 个数的和恰好为 100 即 100 这个数最多能写成 13 个不同的自然数之和970 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边两个数的 和这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问最右边一个数被

6、 6 除余几?【分析与解】 观察这些数为 0，1，3，8，2l，55，144，377,这些数除以 6 的余数依次为 0，1，3，2，3，1，o，5，3，4，3，5，0，1, 3, 即每 12 个数一循环，7012=5lo，即为 4所以最右边一个数被 6 除余 410 一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数 都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数的前 100 个 数中有多少个偶数?【分析与解】 注意观察不难发现每 3 个数中有 1 个偶数，这个规律不难解释，因为第一、 二个数均是奇数，而每个数都是前两个数的和，

7、所以第三个数为偶数，则第四个数为奇数，1003=331，所以这串数的前 100 个数中有 33 个偶数11有一串数如下：1，2，4，7，11，16，它的规律是：由 1 开始，加 1，加 2 加 3， 依次逐个产生这串数，直到第 50 个数为止那么在这 50 个数中，被 3 除余 l 的数有多少个?【分析与解】 这串数除以 3 的余数列，与由 1 开始依次加 1，2，0，1，2，0，1所得 数串除以 3 的余数列相同，为1，2，1，1，2，l，1，2，1，是以 1，2，1 三个数为周期的数串也就是说从第 1 个数开始，每 3 个数中有 2 个数被 3 除 余 1有 503=162，所以有 162

8、+1=33 个数被 3 除余 12 5 13 3412已知一串有规律的数: 1, , , , 那么，在这串数中，从左往右数，第 10 个数是多少?3 8 21 55【分析与解】 每个分数的分子等于前一个分数的分母加分子，每一个分数的分母等于分子 加前一个分数的分母，所以第 6、7、8、9、10 个分数依次为：89 233 610 1597 4181, , , ,144 377 987 2584 67654181所以第 10 个分数是 6765评注：我们把从第三项开始，每一项等于前两项之和的数列称为斐波那契数列，本题中如 果将分子、分母依次排列为 1，2，3，5，8，13，21，得到的数列正是斐

9、波那契数列13观察下面的数表：11；2 1, ；1 23 2 1, , ；1 2 34 3 2 1, , , ；1 2 3 45 4 2 2 1, , , , ；1 2 3 4 5l l l l l l根据前五行数所表达的规律，说明： 于由左向右的第几个?19911949这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位【分析与解】 注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于 2，第二行的每个数的分子、 分母之和等于 3，第五行的每个数的分子、分母之和等于 6由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加 1其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是 1，第二个数的分母是 2，即自左起

10、第几个数，其分母就是几因此，1991 1991所在的行数等于 199l+1949-1=3939而在第 3939 行中， 位于从左至右第 1949 19491949 个数14今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上1 1和 ，2 3如图 18-1 所示第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和 5 1 1= + ，如图 18-2 所示第三次把 4 段圆弧二等分，并在 4 个分点旁标上相邻两分点旁所标 6 2 31 1 5 1 1 5两数的和 1 = + ， 1 = + ，如图 18-3 所示如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周 3 2 6 6 3 6上所有已标数的总和是多少？【分析与解】 因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和，所以每次增加数的总和恰好是 原来所有数总和的 2 倍，也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所 有数的总和的 3 倍，于是，第八次标完数后圆周上所有数的总和是： 1 1 1 + 3333333= 1822 2 3 215. 设 1，3，9，27，81，243 是 6 个给定的数，从这 6 个数中每次或者取一个