例一项工程,甲队单独做完要天,乙队单独做完要天

1、一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要 10天，两队合做多少天就可以1完成？【分析1】把这项工程看作整体“ 1”，甲每天完成工程的，乙队每天完成工程的1211111，甲乙合做每天完成工程的，工程“1”里包含几个，就是两队合做完成这个工程的106060天数.【解法1】两队合做1天完成的工程?1 111 + = 121060两队合做多少天完成这项工程?1 + 口=5仝60 11（天）综合算式:12 10=5 5 （天）60 11【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是 60,所以可假设这项工程为 60. 那么甲队工作效率为 60- 12=5，乙队工作效率为 60- 10=6，

2、甲乙合做效率为 5+6=11.用总工作 量60除以甲乙效率和 11，即得两队合做完成这个工程的天数.【解法2】假设这项工程总工作量为60.（60- 12+60 - 10）5（5+6） =60- 11=5（天）.11【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队10512天就可完成，即6天.两队合做1天的2工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10-（天）完成.【解法 3】10 -（ 1+10 - 12）11（天）.【分析4】甲队12天的工作量,乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即5天。那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+-（天）

3、.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12 +（天）.【解法 4】12 -（ 1+12 - 10）=12 -（ 1 + 5 ）5（天）答：两队合做天就可以完成【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法 2是利用求公倍数法解工程应用题， 这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例2一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开岀，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？（湖南省长沙市东区）215 .那么客车1小时可行全程的I-.全程“ 1”里包含着多少个就是客车行全程需要多少小时（小

4、时）119-96【分析2】货车行全程需 9+6=15 （小时），9和15的最小公倍数是 45,所以两站全程可假 设为45,那么两车同时行 1小时可行45 - 9=5，货车1小时可行45 - 15=3，所以客车每小时可 行5-3=2.甲乙两站全程 45内包含多少个2,就是客车行全程需要多少小时【解法2】假设甲乙两站全程为45.45 - 45 - 9-45 -（ 9+6）=45 - 45 - 9-45 - 15=45 - 5-3=（小时）12恰好行完全程的nX 6=亏所以客车每小时行全程的【解法4】1 +(X 6-9)【分析3】两车9小时行完的路程，货车要用9+6=15 （小时）行完.而客车9小时

5、行完的路程，货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程， 客车需要9 + 6=1.5 （小时）.所以货车1 5小时的行程，客车需要1.5 X 15=22.5 （小时）.【解法3】9 - 6X（ 9+6）=9 -6X 15=1.5 X 15=22.5 （小时）.【分析4】两车同时行全程需 9小时，货车行全程需要9+6=15 （小时），那么客车行 9小时2 _2_- 9=4 .由此可求客车行全程的时间2 （小时）.1215X 6=，即9小【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1” .货车行全程需9+6=15 （小时），而货车 6小时的行程和客车 9小时的行程恰好相同，由此可求岀客车9小时行全程

6、的时的对应分率，由此可求客车行全程的时间=9 -(115【解法5】9X 6)X 6)（小时）.答：客车行完全程需要小时.【评注】比较以上五种解法，解法1是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法5是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.例3一件工作，甲乙合做 8天可以完成，甲独做 12天可以完成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做 3天才完成.乙一共做了多少天？（河南省南阳地区）【分析1】乙每天完成这件工作的- 卜，那么乙3天完成了这件工作的，再求岀甲乙合做的工作量1771=88里包含多少3个，就是甲乙合做了几天,即乙先做

7、了几天再加上余下3天即得乙共做多少天1_ 11【解法1】1-（X 3 +3=1-二！ X 3 -+3=1-+3=10 （天）【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一 等量关系列方程，先求乙先做了几天，再加上3天即得乙共做了多少天.【解法2】设甲乙合做了 x天.1 1/ + 目=11 18X=i-8x=77+3=10【分析3】假设总工作量为 24,那么甲乙效率和是 24 8=3 ,甲的效率是24 12=2, 所以乙的效率是 3-2=1，它3天完成了 1 X 3=3.因此，甲乙合做(24-3 ) 3=7 (天)， 即乙先做了 7天，再加上3天即得乙共做的天数.【解法

8、3】假设工作总量为 24.24-( 24 8-24 12)X 3 ( 24 8) +3=24-(3-2 )X 3) 3+3=24-3 3+3 =21 3+3=10 （天）5天，那么比实际少完成【分析4】假设甲乙合做了118甲乙继续合做还要用=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10 天.【解法4】假设甲乙合做了 5天.=1-+ +5+3i 1=4 -8 +5+3=10 （天）.答：乙一共做了 10天.【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法，虽思路 较繁，但容易想到.例4如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算：甲、乙两队合做4天后，剩下的工

9、程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务？天数（广东省深圳市）【分析1】先求岀甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程，1再除以丙队每天的工作量 15，即得丙队还要做的天数 .【解法1】甲、乙合做4天完成的工程?剩下的工程有多少?1_L=L丙队还要几天完成?41 .1515（天）（一+一）X4综合算式：1-1012 -1511 =1-竹0 + 4丄15【分析2】先求岀甲、乙合做 4天的工作量由丙队独做需要几天，再用丙独做全工 程用的15天减去这个天数，即得丙队还要做的天数【解法2】甲、乙合做4天完成多少？1 111（i0 + L甲、乙合做的工程由丙独做需几天?n j_15 -15

10、 =11 （天）剩下的工程丙队还要几天完成?15-1 仁4 （天）n =15-话-13=15-11=4 （天）.【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1” .先求岀甲、乙合做后剩下的工程,即丙队还要做天数的对应分率，最后求岀剩下工程丙队还需几天完【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几？还剩下全工程的几分之几?丙队完成剩下的工程还需几天？15 X =4 （天）综合算式：15 x 1-=15 X 15 =4 （天）【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解【解法4】设丙队还要x天完成.丄;r ( * ) X 415 =J10 !2?1157=1-1115x=4答：丙队

11、还要做 4天才能完成任务.【评注】比较以上四种解法，解法 1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用 题的一般方法，容易理解 .解法3是运用分数乘法应用题的解法，比解法 1的思路更直 接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下例5一项工程，甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4 : 5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？(福建省福州市)丄【分析1】甲乙两队的工作效率和是 20，又知甲乙工作效率的比是 4 : 5,由此运用按比例分配的方法，分别求岀甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“ 1”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数【解法1】甲队每天完成

12、多少工程?乙队:51204+5）=1- 36=36 （天）（1 -丄X丄丄204 +515乙队每天完成多少工程?x 5_ 12047?_36甲队独做全工程需几天?丄1宁站=45 （天）乙队独做全工程需几天?21 -36 =36 （天）丄X J_ 丄综合算式：甲队:1 -（ ） =1 - =45 （天）【分析2】因为“工作量-工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工4作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4： 5 ,所以甲20天完成了全工程的 学,乙队520天完成了全工程的 夕.由此可分别求岀甲、乙独做全工程各需多少天【解法2】甲队独做全工程需要多少天？4920 -斗十 =20X =4

13、5 （天）乙队独做全工程需要多少天?9=36 （天）【分析3】由分析2可知，甲乙完成工作量的比是4 : 5.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求岀两队的独做时间.【解法3】设甲队独做需x天完.20 : 4=x ：( 4+5)4x=20 X 9x=20 X 9- 4x=45设乙队独做全工程需要y天.20 : 5=y ：( 4+5)5y=20 X 9y=20 X 9- 5y=36答：略.【评注】解法1是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解法.解法3虽

14、与解法2的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相同的例6修一段公路，甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后，剩下4的由乙队又用 小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？(黑龙江省哈尔滨市南岗区)【分析1】乙队先后共修了116-10-2=2小时.先求乙队共修了这段路的几分之几,再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.【解法1】乙队共修了全长的几分之几?131-16 x 4=4乙队先后共修了几小时?4+2 =2 （小时）乙队每小时修全长的几分之几?2.101=丄4214乙队独修全长需几小时？21 + 1耳=14 （小时）综合算式：1

15、- (1-1 ； x 4)-( 4+ )1110-=1 - (1-1却2【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知，乙队先后共修了1616(4+2(1-【解法2】X 4)4 =14 (小时)【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解【解法3】设乙队独修需x小时完.111616X 4+ 疋 X(4+ 2)=111110-AX2=1-4x=14答：这段公路由乙队独修需14小时完工.【评注】比较以上三种解法，解法2的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例7一项工程甲队单独做要 15天才能完成，乙队单独做12天才能完成，如果甲队先做3天后，剩余的工作两队同时

16、去做，还要多少天可以完成？（四川省成都市）【分析1】先求岀甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求岀剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完【解法1】甲队先做了多少？剩余的工作有多少?1 41 = 5两队合做还要多少天完?（1512）=该（天）1丄综合算式：(1-15X 3) + (1512)【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1” .先求岀两队做全工程需要多少天,再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求岀两队还要多少天完成【解法2】甲乙合做全工程需要几天？1 1+ 201 +(15 让）=3(天)两队要合做全工程的几分之几?丄 11-15 x 3=-两

17、队还要多少天可以完成?(天)1 1* 11 +(1512)x(1-15综合算式:X 3)3_ X413X5=(天)【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解【解法3】设两队还要x天完成.1151 1_+ 1512)x=14 5 20x= ( 1-)320x=15-3=12 （天）.把剩余的工作看作定量，那么【分析4】剩余的工作由甲独做要用所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.11 1+ 15X( 15-3)=(15 12【解法4】设两队合做还要 x天完.)x3_X 12= L x35 205答：剩余的工作两队还要孑天可以完成.【评注】以上四种解法各有特点.解法

18、1是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法2是分数应用题的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法， 但等量关系不同.读者可灵活选用.例8 仓库有45吨化肥，甲汽车单独运 10小时完成，乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？（江苏省江都县）【分析1】先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨 数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间【解法1】甲车每小时运多少吨？45 - 10=4.5 （吨）乙车每小时运多少吨？45 - 15=3 （吨）两车每小时运多少吨？4.5+3=7.5（吨）两车同时运需几小时运完？45 - 7.5=6 （

19、小时）综合算式：45+ （45 - 10+45 - 15）=45 -（ 4.5+3 ）=45 - 7.5=6 （小时）。【分析2】先求岀两车每小时共运总吨数的几分之.几？再求两车每小时共运多少吨，再看总吨数里包含几个这样的吨数，就是两队合运需几小时【解法2】两车每小时运货的几分之几?1 1-=1015=6两车每小时运货多少吨?45 X1_右=7.5 （吨）两车合运几小时完成?45 - 7.5=6 （小时）综合算式：45 - 45 X（1 11510=45 - 7.5=6 （小时）.的（ 时完成.1 1_+_1015【解法_6.把化肥总吨数看作“1”，“ 1”里包含几个1*（ io + B）=1

20、 +=6 （小时）.，就是两车同运几小11【分析3】甲车每小时运化肥的10，乙车每小时运化肥的15，两车每小时运化肥【分析根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解【解法设两车同运x小时完.110x+1 1=十）x=11015x=61 1 + 或（1015）x=ix=6答：两车同时运 6小时可以完成.【评注】比较以上四种解法，解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例9甲乙两地相距630千米，客车和货车同时从两地岀发，相向而行.客车行完全程需14小时，货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米？（上海市徐汇区）【分析1】先求客车和货车的速度各多少，再求两车的相遇时

21、间，最后用两车的速 度分别乘以相遇时间，即得每车各行多少千米【解法1】客车每小时行多少千米？630 - 14=45 （千米）货车每小时行多少千米？630 - 21=30 （千米）两车几小时相遇？A2630 -（ 45+30） = （小时）相遇时客车行多少千米?A245 X =378 （千米）相遇时货车行多少千米?A230 X =252 （千米）综合算式：客车：630 - 14X 630 -（ 630 - 14+630 - 21）=45 X 630 -（ 45+30）=45 X=378 （千米）货车：630-378=252 （千米）【分析2】先求岀甲车的速度，再运用工程应用题的解法求两车的相遇时

22、间，然后 用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.【解法2】客车每小时行多少千米？630 - 14=45 （千米）两车几小时相遇？（小时）客车行了多少千米?A245 X =378 （千米）货车行多少千米？630-378=252 （千米）综合算式:1 1- -客车：（630 - 14）X 1 +（ W 21 ）542=45 X 1 +42 =45 X 5 =378 （千米）货车：630-378=252 （千米）【分析3】 因为“路程+速度 =时间”，时间一定，所以客车和货车的路程比等于速度比即14 ： 21 =3 : 2.由此可运用按比例分配的方法分别求岀两车各行了多少千米

23、.【解法3】客车与货车所行路程的比？ 丄百：百=3： 2客车行了多少千米？3630 X ?十 2 =378 （千米）货车行了多少千米？2630 X ?十 2 =252 （千米）综合算式：客车：630 XI =378 （千米）14货车：630 X I、一 厶=252 （千米）.答：略.【评注】比较以上三种解法，解法1最繁，但其思维难度小，也最容易想到 .解法3的思路简单明白，运算最简便，是本题最佳解法.如果由分析3继续分析，运用分数应用题解法也可求岀两车各行多少千米.例10一项工程，甲单独做 40天完成，乙单独做 30天完成，二人合做若干天后，甲临时调走，乙继续完成这项工程，一共用27天.求乙单独工作了多少天？（黑龙江省哈尔滨市）【分析1】把全工程看作“ 1” .先求岀乙共完成的工程，再求岀甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天，即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数，即得乙单独做了多少天.【解法1】乙共完成工程的几分之几？1930 X 27=W甲完成了工程的几分之几?甲乙合做了多少天?10 由0 =4 （天）乙单独做了多少天?27-4=23 （天）综合算式:27-1（1-艾 x 27）=27-4=23 （天）1 1 + 【分析2】假设甲没有被调走，那么甲乙