参数估计理论在GPS解算中的应用

1、参数估计理论在gps解算中的应用钱鹏鹏 何秀凤（河海大学地球科学与工程学院 江苏南京 210098）1.概述gps在变形监测、线路勘测、大气参数测量、车船及高速飞行器导航定位等领域有着十分广泛的应用。然而从gps接收机获取的数据不能被直接应用，必须经过适当的数据处理。gps基线方程的解算是数据处理的重要环节。以往几乎所有的基线解算软件都是将gps基线方程约束在线性空间解算，这不仅产生较大的模型误差，而且导致函数特征的改变。然而不论是传统的几何大地测量学，还是现代空间大地测量学、摄影与遥感测童学都面临着复杂的非线性数据处理问题;一方面要求侧量数据质量日益精化，另一方面新的非线性模型空间数据处理理

2、论尚未形成。为克服这一矛盾，现有的测量数据处理方法正朝着以下两个方向努力:(l)寻找非线性函数的先验真值，在真值附近按泰勒级数展开，尽量减小因线性化而产生的模型误差;(2)计算过程中尽量避免函数求导，特别是高阶求导，力求保证函数的既有特性，同时减少计算工作量。本文试图探索一种非线性函数的差分迭代方法。方法的最大优点是:在迭代求解时，无需计算f(x)各分量的偏导数值，同时使函数求值次数显著减少。以期为摆脱目前测量数据处理理论所面临的困境做出些许贡献。2.分线性差分迭代解算原理设有非线性方程：v=f(x)-l （2-1）式中，x为参数向量，l为观测值向量。将(1)式按泰勒公式展开为（2-2）由于先

3、验值充分接近真值，因此将（2-2）式截断为 （2-3）这里，。由（2-3）式构造gauss-newton迭代格式 （2-4）式中，p为观测权矩阵，实际是一个n阶jacobi方阵。因每步迭代都要计算出个偏导数值，这一方面计算工作量大，特别当f（x）的各分量复杂时求导困难。利用附近的差分值代替处一阶导数，这样可以避免求导，同时极大地减少计算工作量。由差分与倒数的关系知 （2-5）取n=1时即为一阶导数与一阶差分的关系： （2-6）这里，为步长，恒值；经验表明在计算中取中心差分计算导数更加准确即 （2-7）因此可将（2-4）式化为（2-8）式中，p为观测值得权阵，上式表明，在迭代求解时无需计算f(x

4、)的各分量的偏导数值，这是一个显著的优点，但每次迭代都要计算辅助差分点的函数值，如果能合理的选择辅助差分点，可使函数求值次数显著减少。3.辅助差分点的选取方法设有初始近似值向量出发已求的第k次近似值和相应的函数值，为求得第k+1次近似值，采取下面阐述的辅助点选取方法;已知，设在已知点附近有2n个点及对这2n个点的要求是：点可以相互重合，亦可以不是；互不相同且。现取辅助点不重合的情形： （3-1）其中：为给定数。此时已知函数值为 （3-2）为了使算法尽可能利用已知信息，对辅助点中的向量作如下两种定义1.令k=qn,q=1,2,.,n时，取（e为单位向量，i=1,2,3,.,n）,则有此时形成如下

5、的对角矩阵： （3-3）相应的阶矩阵为：（3-4）式中2.令qnk(q+1)n,(q=1,2,n),取其中此时可表达为： （3-5）这时相应的阶矩阵为：（3-6）式中（）。因，故存在，可以唯一的确定矩阵将式（11）、（12）或（13）、（14）式代入（8）式可解算出。实际计算时可取，特别时取：。上述迭代解法，除了点和处的函数值需计算外，其他均为已知信息。算法计算工作量少，且简单易行。4 非线性gps基线方程的解算模型目前gps定位的方法有测距码和载波相位定位两种，测距码伪距定位的基本方程为：（4-1）式中，j表示卫星编号，k表示测站点号，p为伪距，（）为卫星坐标，为测站坐标，（4-1）式右边的

6、后5项依次为接收机钟差、卫星钟差、电离层误差、大气层误差、随机观测误差（不考虑时间延迟影响），由于测距码波长长并受p码的制约，因而定位精度低，一般只作单点定位测量，测地形gps接收机大都采用载波相位定位，载波相位测量t1时刻的伪距误差方程为： （4-2）基线较短时（4-2）式中项为零。由上式构成ti时刻站间单差基线求差模式中， 为单差虚拟观测值；j表示卫星编号；i、k表示测站编号；f为频率； （4-3）c为光速；表示接收机i、k的相对钟差；n表示相位整周差。的表达式如下： （4-4）站间一次差消除了卫星钟差、轨道误差、电离层与对流程延迟误差。上述非差法（4-2）与求差法（4-3）本质是一致的，

7、只是后者求解参数相对少且精度相对较高，因此载波相位测量多用求差法解算。本节将重点讨论单差、双差模型的非线性解法，三差模型的解算原理与此无异。分析（4-2）式：1. 分别为电离层延迟和对流层延迟，经相应的模型改正或技术处理后作差，其影响可以忽略；2.为整周模糊差，待定；3.为相位差，实际测量值；4为接收机站间钟差，当gps接收机采用外接原子频标时，测站钟差用多项式描述如下： （4-5）5.两站上gps信号传播距离变率，微小项，可忽略；考虑上述因素，取测站i为已知点，k为未知点。其wgs84坐标分别为（）,()用i点坐标表示k点的坐标 （4-6）将（4-6）代入伪距的空间距离表达式，然后将（4-2

8、）式在处按多元泰勒级数展开并取至一阶项，顾忌到j-i,j-k信号路径的相似性得到站间单差（sd）基线误差模型（4-7）（4-7）式中，卫星j的坐标已知（从其星历中获得）如图1。显然如果在各历元时刻两站均同步观测n颗卫星，且观测时间内共观测m个历元，则可组成个方程：其中3个未知坐标参数，n个整周模糊度，m个站间钟差未知参数，当（3+n+m）r，则可在lse或las准则下求解。1 构成二范和目标函数得解2 构成一范的目标函数,依（2-8）式构造参数解的迭代方程 （4-9）式中，为未知参数向量，h为均差值，中基线分向量取c/a码伪距定位所得的点位坐标，中整周模糊度向量取初始化值。迭代终止条件为:当（

9、为给定的微小正数）时迭代终止。5 算例用trimble 4000se在a、b站采样，多时段，90m/时段，采样率15s，截止高度角为。观测值为c/a码伪距和载波相位。观测基本信息：观测起始时间：01:00:45:000（gps时为：522045.00）观测终止时间：02:17:15:000（gps时为：526635.00）天线高，测站a：1。409m 测站b：1.816m表1 基线ab观测历元统计卫星编号58917212330292515起始历元0000000030102终止历元10218470102102102102102102表2 测站伪距定位结果（wgs-84坐标系）测站xyza-219

10、1828.68745182411.77052993199.3386b-2190397.45585182831.28822993595.5923表3 整周模糊度初始化值卫星号9172125302925模糊度27450242954796-703439498287462258319329848288表4 双差基线向量解（wgs-84坐标系）分量dxdydzdis(m)坐标差-1453.2628-378.3641-380.76341549.23526.结束语1.迭代收敛速度依赖于收敛值得准确度，取cia码伪距定位所得的点位坐标及而且可靠的，且加快收敛速度；2.由差分该代替求导值，完全避免了对非线性方程的迭代求导，几同时极大地减少了计算工作量；3.以向量空间参数距离最小为迭代终止条件；4.差分点的选取技术是本算法之关健。算法对于非线性化模型同样适用。参考文献1李朝奎.傅明。现代测量误差概念的内涵与外延j。工程勘察，2000，(2)2l李德仁。误差处理和可靠性