一元积分总结精品

1、不定积分不定积分性质与概念1原函数定义：如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任一 x I都有F x) =f(x)或者 dF(x)=f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数连续函数一定有原函数(连续则可导，可导即有原函数)2积分定义：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作f (x)dx若F(x)为f(x)的一个原函数，贝y . f (x)d F(x) C C为常数 (切记 不要忘记常数C)3原函数与不定积分的关系：互为逆运算例x2dx由于(-)=x2，所以是x2的一个原函数，因此x2dx=Z C333基本积分表

2、(一定要记熟)kxdx = kx Caxdx C (a0 ,a 1)In aexdx =ex Ccosxdx = s in x Csin xdx - - cosx Csec xdx = tan x C2cscx dx 二-cotx Csecx tan xdx 二 secx Ccscxcotxdx - -cscx C1dx = arcs in x Cdx 二 arctanx Cshxdx = chx Cchxdx = shx C4不定积分的性质性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则f (x) _ g(x) dx = jf (x)dx _ g(x)dx性质2设函数f(x)的原函数存在，k为

3、非零常数，则kf(x)dx=k f (x)dx(两条性质记住，你在做题的时候对于性质掌握不好，做题的时候不要忘记性质有时候可简化计算)例5 2 -x2dx-5!xdxx2丨75.x(x2 -5)dx 二(x2 . x -5 x)dx 二 x2dx -5 xdx =二、不定积分计算1换元积分法(第一类换元和第二类换元)2分部积分法(记住基本类型，做题时看属于哪类，套用方法)第一类换元对于第一类换元法，总结可归纳为将dx凑成被积函数的变量，再套用基本公式例2cos2xdx二 cos2xd2x=sin 2x C分析：被积函数是个多项式 2cos2x，变量是2x，想办法把dx变成d2x，而d2x=2d

4、xdx3 2x1 1d(3 - 2x)2 3 2x1In 13 亠 2x | C21分析：有公式 dx = In | X |，所以可以把3+2x看成一个整体，dx变成d(3+2x)，但 x1d(3+2x)= 2dx，所以原式前要加2dx令 u = x 2则乂 = u2, dx 二 d (u2) = du原式(u-2)2duu2 * 3 -4u 43u二(u- 4u 4u )du 二 udu - 4u du 亠 14udui 1-x2d(1 -x2)=I n u +u A -2u +C=In|x+2| + x . 1 -x dx_ +Cx + 2 (x+2)2分析：被积函数出现两个变量，考虑换元

5、，一般带根号的，带多项式几次幕的会考虑换元的问题，换元以后问题会变得简单22xex dx =ex dx2222分析：被积函数 2xex ,由2x和ex组成，观察得到 dx2=2xdx，所以可以将 2x拿到d后面, 令x2=u， .eudu=eu最后把x2代入得到21 (1 x )分析：被积函数中有x，而考虑到dx2=2xdx，进一步可得d (1-x2) =-2xdx，积分符号前提取出-1，便可利用基本公式求解(还有些三角，反三角的不定积分求解的问题PPT上有，可以看看。三角函数的一些公式，基本三角公式，极化和差公式，万用公式，三角恒等式等要记熟，在求解三角的不定积分的时候可用来化简)三角函数公

6、式两角和公式sin( A+B) = sin AcosB+cosAs inB sin( A-B) = sin AcosB-cosAsi nB cos(A+B) = cosAcosB-si nAs inB cos(A-B) = cosAcosB+si nAsinB1- ta nAta nB1 tan Ata nBcotB cotAcot(A-B) = cotAcotB 1tan2A = lcotB -cotA倍角公式21 -tan ASin 2A=2Si nA?CosA2 2 2 2Cos2A = CosA-Si n2A=2Cos2A-1=1-2si n2A三倍角公式3sin3A = 3si nA

7、-4(si nA)3cos3A = 4(cosA) -3cosAtan3a = tana- tan(3+a) - tan(3-a)半角公式./ A、-cosA sin()=、2 2A、1 + cos Acos( )= .2 2A )1 -cos A 叫A 1 cosA2ta n 2 sina=a 21 (ta n)221）如果被积函数中含有2）如果被积函数中含有tan()=2s;in A1 cosA和差化积a ba - bsin a+s in b=2s incos2 2a b . a -b sin a-s in b=2cossin2 2cosa+cosbc a +ba b=2coscos2 2

8、cosa-cosb :a b . a-b =-2sinsin2 2tan a+ta nb=sin(a b) cosacosb积化和差1cos(a+b)-cos(a-b)sinasinb =-cosacosb =1cos(a+b)+cos(a-b)sin acosb =1si n(a+b)+si n( a-b)cosas inb =1si n(a+b)-si n(a-b)万能公式A 1 -cosA si nA小 a1 -(ta na) 23）如果被积函数中含有x - a 可作变换x=a sect（或x=a cht用的不多）2 cosa=a 21 (ta n )2a 2ta n 2 tana=1

9、- (ta na)22第二类换元法 和第一类相反，是变化被积函数，主要用于以下三种情况:#22、 、a -X 可作变换 x=a sint(或 x=a cost)a2 x2可作变换x=a tant（或x=a sht用的不多）例dX_13 x 2令 3 x 2=t,贝V x二t3 _2,dx =3t2dt2原式二3L史=3 . t -1 丄dt 1+t 丄 t+1丿=3(宁 _t +ln t+1) +C =3盹+2)2 _3x + 2 +3ln 习 x + 2 +1 +C分析：含有根式+2，所以令Mx +2=tx设x,那么dx芈则tt221 / dt.a（下）原式=1t7=_ J(a2t2 _1)

10、2 t dta2t2-112d(a2t2 -1)3a2t2 -1 2-3a2C当t ：0时可得相同结果2 2a -xr33a x分析：虽然有代换公式但是，存在分母，采用倒代换，消除分母中的变量dx4x2 9人 332令x= tant,则 dx sec tdt2 2原式二3 seC2 tdt23 . (atant)2 111=一 sectdt = ln sect +tant +C 22x =3tant二 tant =2x= sect 二渔 92332 4x2 9-x 3 3Ci11，” 一 In sect + tant 十 G = In 2-= -In 2x +J4x2 +9 +C2分析：这是利

11、用代换，属于第二类代换，也可以用后面提到的公式原式=dxA-1 1 _if21 d x -I 2厶 r251 x _ 41V5sin t,d(x ) cos tdt 2 2 2.5cos tdt原式二；=2J5 +5si n21 442x_1 “二 arcCV5令x-2沁=t (costsint(或 x=a cost)分析：根据1）如果被积函数中含有.a2 -x2 可作变换x=a 想办法出现.a2 -X2，然后通过代换一步步求解补充公式：tan xdx - Tncosxcotxdx =1 n sinx +CJsecxdx = In secx + tanx +CJcscxdx = In csx-

12、cotx +Cdx1丄xarcta nCa adx2 2 x -a1In2ax adxdx、x2 a2dx x 小 =arcs inCa=In x + lx2 a2 +C公式挺多的，熟记可以减少计算，多做做题，然后可以熟悉一下换元法总结：在解答不定积分的时候，用换元法，要么换 d后面的x，要么换前面被积函数，其目的都是 转换成基本形式，然后根据基本公式轻松得出答案。 在第二类换元的时候要注意令被积函数 =u时，要解出dx，就是先解出x=什么，然后对x关于u求导，详细看例题分部积分法利用两个函数乘积的求导法则，则uvdx = uv - u vdx简单归纳为一个公式：udv =uv - vdu如果

13、是两个函数乘积的形式，可以考虑分布积分法例xcosxdx= xd sin x =xsin x- sinxdxx 幕函数 cosx三角函数 保留幕函数二 xsin x cosx C分析：被积函数是两个基本函数即幕函数和三角函数的乘积，考虑分部积分。在使用分部积分的时候，主要是将一个基本函数提到d的后面即对一个基本函数先求导。xexdxxxxXX二 xde xe - e dx 二 xe -e Cx幕函数ex指数函数 保留幕函数x2exdx2 x 2 xx 22 xx .= x de xe-edx xe- 2xe dx=x2ex -2 ixdex =x2ex -2 xex - exdx-x2ex 2

14、xex 2ex C像这个题用到了两遍分部积分法xln xdx1 21212In xdx x In x x d ln x2 2 21 2| 1 .x In x xdx221212x In x x C24x2幕函数ex指数函数保留幕函数x幕函数Inx对数函数保留幕函数xarcta nxdx=- arctanxdx221 22x arctanx- x darctanx21_ 2x2 arcta nx -十x2x ydxx幕函数arctanx反函数保留反函数1 2dxx2 arcta nx二一 i x2 arctanx - 1dx21 x1 2x arctanxx arctanx C这个题涉及到有理式

15、积分，后面会提到，用的方法还是分部积分法 到了这，你可能会有点疑问，遇到两个相乘的，被积函数应该保留哪个，哪个应该提到后面去呢？教你个口诀：反对幕三指 意思是遇到两个基本函数相乘，被积函数保留的考虑顺序是反函数，对数函数，幕函数，三角函数，指数函数。也不能说绝对这样，但是对付你学的应该肯 定没问题，我们解答也是按照这么个顺序来的。这几个基本函数形式应该吧，不知道问度娘,我不给你说明了。然后咱在从第一题来看，我用红字给你标出了 趁热打铁再来几个典型点的题:exs in xdxXX x =sin xde e sin x - e d sin x二 ex sin xex cosxdx=ex sin x

16、 cosxdexX xx .二 e sinx-e cosx - e d cosxXXX二 e sin x-e cosx- e sin xdx到这你会发现等号右边红色的和左边一开始一样则原式=1 ex sin x -eXcosx +C2e Xdx令 x =t，则x =t2,dx 二2tdt,于是原式=2 tetd桎U这里一切就明白了吧sec xdx= secxd tan x= secxtan x- tanxd secx=secxtanx - . tan2 xsecxdx2二 secxtanx - secx sec T dx3=secxtanx - sec dx 亠 isecxdx3 1sec x

17、dxsecxtanx 亠 isecxdx1=-(secxtanx + ln secx + tanx )+CPPT上面到这里两种方法都整理完了，这里面的题不算太难，你看看，然后自己再做一遍， 的题有的有些难度，看不懂的就问我，免费咨询，咨询电后是有理函数的积分 两个多项式的商 P X称为有理函数，又称有理分式Q(X)P x的次数小于Q x称为真分式，否则称为假分式假分式化为真分式利用多项式除法422x21原式=2 x2 -1 +4x2 1真分式La，如果分母可以分解为两个多项式的乘积,Q(x)Q x = Q1 x Q2 x切Q x ,Q2 x没有公因式，那么它可以分拆成

18、两个真分式之和便于计算P(x) R(x)十 B(x)Q x Q1 x Q2 x x 1丄dxx2 -5x 6分母 x2 -5x 6= x -3 x-2则可设等式两边去分母得x 1 =A(x -2) B(x -3) 即 x+1=(A+B)x-2A-3B 对应系数相等A+B=12A+3B=-1A=4,B=-343原式=dx -dx=4ln x 3 -3In x 2 +C x-3 x-2分析：在化成两个有理式相加的时候，系数A，B的确定是关键，本题中分母可以化成两个多项式相乘，取两个多项式分别为两个有理式的分母，因为题目中的分子是一次， 而分子中也只有一次的x，可确定A B中可定没有x的系数，根据对应系数相等得出A B2x4 xx2 1 分子4次，分母为2次，假分式用多项式除法，分子分母同除以2x4 x23=(x21)(2x2 -1) 4 3x -32 dxx1 x -1被