导数求切线方程-(有答案)-12

1、 用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 P(X。，y。)及斜率，其求法为：设 P(X。，y。)是曲线y f (x)上的一点，则以 P的切点的切线 方程为：y y。 f (xo)(x Xo).若曲线y f(x)在点P(x。，f(x。)的切线平行于y轴(即导 数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x X。. 下面例析四种常见的类型及解法. 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数f (x)，并代入点斜式方程即可. 例1曲线y x3 3x2 1在点(1, 1)处的切线方程为() A.y3x4B.y3x2 C

2、.y4x3D.y4x5 解：由f (x) 3x 6x则在点(1 1)处斜率k f (1)3，故所求的切线方程为 y ( 1)3(x 1)，即 y 3x 2，因而选 B. 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决. 例2 与直线2x y 4 o的平行的抛物线 y 2 X的切线方程是( ) A. 2x y 3 o B. 2x y 3 o C. 2x y 1 o D. 2x y 1 o 解: 设P(xo, yo)为切点，则切点的斜率为 y lx xo2Xo2 . xo 1 . 由此得到切点(1,1).故切线方程为y 12(x 1)，即2x y 10,故选D

3、. 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y 2x b , 代入y x2，得x2 2x b 0 ,又因为 0 ,得b 1，故选D. 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法. 例3求过曲线y x3 2x上的点(1, 1)的切线方程. 解：设想P(x。，yo)为切点，则切线的斜率为y|xxo 3x。2 2 . 切线方程为 y yo (3xo2 2)(x Xo). 32 y (Xo2Xo) (3Xo2)(x Xo). 又知切线过点(1 1)，把它代入上述方程，得1 (Xo3 2xo) (3xo22)

4、(1 Xo). 解得Xo 1，或X0-. 2 故所求切线方程为y (1 2)(3 2)(x 1),或y - 1-2 x -，即 842 x y 20,或 5x 4y 10 . 评注：可以发现直线5x 4y 10并不以(1, 1)为切点，实际上是经过了点(1, 1)且以 1 7 1，7为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用 2 8 待定切点法. 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解. 1 例4求过点(2,0)且与曲线y丄相切的直线方程. x 解：设P(x, y)为切点，则切线的斜率为 y良x 1 2 . 1 切线方

5、程为y y2 (x x)，即y 1 X0 2 (X X0). X0 X0 X0 又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程， 得 1 1 2 (2 怡) 1 解得 X01, y01，即 x y 20 . X0X0 Xo 评注：点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充 分反映出待定切点法的高效性. 例5已知函数y x3 3x，过点A(016)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程. 解：曲线方程为 y x3 3x，点A(016)不在曲线上. 设切点为M (x0, y0), 则点M的坐标满足y0 x)3 3x0 . 因 f (x)3(x021), 故切线的方程为y y 3(x)2 1)(x怡). 点 A(0,16)在切线上，则有 16(X。3 3X0)3他2 1)(0 x). 化简得x038，解得x02 . 所以，切点为 M( 2,2)