根轨迹法习题和答案

1、第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为G(s)H(s)K(s 1)(s 2)(s 4)试证明 s11 j 3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益 K *和开环增益 K 。解 若点 s1 在根轨迹上，则点 s1 应满足相角条件G(s)H(s)对于 s 1G(s1)H(s1)( 1 j 3(2k 1) ，如图所示。 j 3 ，由相角条件 j 3 1) j 3 4)2)0236 满足相角条件，因此 将 s1 代入幅值条件：s11 j 3 在根轨迹上。G(s1)H(s)1j31解出 ： K * 12KK8b 从零变化到无穷大时的根轨4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数 迹

2、方程，并写出 b 2 时系统的闭环传递函数。1) G(s)20(s 4)(s b)2) G(s)10(s 2b)s(s 2)(s b)解 (1) G (s)b(s 4)2s* 2 4s 20b(s 4)(s 2 j4)(s 2 j4)(s)G(s)1 G(s)(2) G (s)G(s)1 G(s)b(s2 2s 20) b(s 1 j 19)(s 1 j 19) 2=s(s2 2s 10) s(s 1 j3)(s 1 j3)10(s 4)32s 4s 14s 404-3 已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)2s(s 4)(s b)试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出 s=-2 这

3、一点对应的闭环传递函数。解 G (s) b(s 4)s(s 6)根轨迹如图。s 2时 b 4，2s 2s(s) 2s2 10s 16 (s 2)(s 8)4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 G(s)ks(0.2s 1)(0.5s 1)(2) G(s)k(s 1)s(2s 1)(3) G(s)k* (s 5)s(s 2)(s 3)(4) G(s)k* (s 1)(s 2)s(s 1)解 G(s)Ks(0.2s 1)(0.5s 1)10Ks(s 5)(s 2)三个开环极点：p10,p22 ,p3实轴上的根轨迹：, 5 , 2,00257渐近线：a33(2k1) ,a33

4、,分离点：1110dd5d2解之得： d1 与虚轴的交点：特征方程为0.88 ，d2 3.7863 (舍去)。32D(s) s3 7s2 10s 10k 02令 ReD( j ) 7 2 10k 0ImD(j ) 3 10 0解得10k7与虚轴的交点（ 0， 10 j ）。根轨迹如图所示。K(s 1) G(s) s(2sK(s 1)根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 分离点：1)解之得： d 0.293,d2s(s,1112)0.5,01d 0.51.707根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：5,3,2,0023( 5)a0渐近线：2(2k1)a22分离点：1111dd2d3d5用试探法可得d0.

5、886。根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。(4) 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 0, 1,-1,-21 111分离点： 1 111d d 1 d 1 d 2 求解得： d1 0. 37， d 21.37根轨迹如图所示。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s) s(0.02s 1)(0.01s 1)要求： (1) 绘制系统的根轨迹； (2) 确定系统临界稳定时开环增益 k 的值；(3) 确定系统临界阻尼比时开环增益(1) G(s) s(0.02s 1)(0.01s 1)实轴上的根轨迹： 0, -50,-100,- 1 1 1 0100分离点：d d 50 dk 的值。5000k求解得

6、 d121.13， d 2 渐近线：50，根轨迹如图所示。s(s 50)(s 100)78.8760o，180(2)系统临界稳定时 k750000， k 150(3)系统临界阻尼比时 k48112.5， k 9.624-6已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)s(s2 8s 20) ，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益 k 的取值范围。解 G(s)H(s)2s(s2 8s 20) 实轴上的根轨迹：,0 渐近线：0 ( 4 j2) ( 4 j2) (2k 1)分离点：解之得：2,d4 j23.33d 4 j232s 8s 20s k与虚轴交点：D(s)0.84-7 单位反馈系统

7、的开环传递函数为G(s)k(2s 1)(s 1)2(47s 1)k 值范围。试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的解 ：根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0.5，7 / 4 渐近线：1 1 7/4 ( 0.5) 12 (2k 1) a2 与虚轴交点：闭环特征方程为D(s) 4s3 1s2 (2k 10)s把 s j 代入上方程，Re(D(j ) K 令Im( D( j ) (2K1127170)437解得：0根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的 K 值范围为4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹(要求求出起始角)G(s)H(s)K( s 2)22(s2 4s 9)2解 根轨迹绘

8、制如下： 实轴上的根轨迹： , 2 渐近线：2 j 5 2 j 5 ( 2)3(2k 1),33, 分离点：22d 2 j 5 d 2 j 51d2解之得： d 3.29 d 0.71 (舍去 )D(s) (s224s 9) 2 K(s 2) 0把 s j 代入上方程，令 Re(D(j) 434 281 2K0Im(D(j) (72K)8 3 0解得：21K96 起始角：90 (2 p1290 ) (2k 1)解出p145 , p2135根轨迹如图所示。 与虚轴交点：闭环特征方程为已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以4-9a和 T 为变化参数的根轨迹。(1)G(s) 1/24(s a) s2

9、 (s 1)， a 0 ； (2) G(s)2.6s(0.1s 1)(Ts 1) ，T 0(1)G (s) a/4 2s(s 0.5) 2实轴上的根轨迹：，0)渐近线：1/3，分离点： d1/6根轨迹如图所示。(2)Ts2(s10)G (s) s2 10s 2660o，180 实轴上的根轨迹： 起始角终止角：11 tg 1 ) 52(180o解得起始角tg，0)11 ( p 90o )180o78.7o2 z 0o( tg15 tg 1 15) 180o55解得终止角90o根轨迹如图所示。G(s)H(s) k (s 1)(s21) 2(s 18)实轴上的根轨迹： 18，1分离点： d14.22

10、，d2a 与虚轴交点： s1,2 根轨迹如图所示。渐近线：7.5， a1.86j，6.2890od1处k* 116.6 ， d2处k* 117.6，37.7k k /184-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，k 的值。并求出所有根为负实根时开环增益 k 的取值范围及系统稳定时结论： 6.48 k 6.53时所有根为负实根， k 2.095 时系统稳定。4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数 T 变化时系统的根轨迹，并分析参 数T 的变化对系统动态性能的影响。解： G(s) Ts3 1s020 20s作等效开环传递函数 G* (s)1 T(s2 20s 100)

11、根轨迹绘制如下： (注意：k* 1/T) 实轴上的根轨迹：(, 10 , 10,03 分离点： 32解得 d 30 。dd10根据幅值条件，对应的T0.015 。 虚轴交点：闭环特征方程为D (s) Ts 3 s 2 20 s 100 0j 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：Re(D(j )10020Im(D(j )20T3010解得：T0.2起始角：p160把s参数 T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！ )s右半从根轨迹图可以看出，当 0 T 0.015 时，系统阶跃响应为单调收敛过程； 0.015 T 0.2 时，阶跃响应为振荡收敛过程； T 0.2 时，有两

12、支根轨迹在 平面，此时系统不稳定。若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：G (s)Ts32 s2 20s 100三条根轨迹中两条起于 -10，一条起于，均终止于原点 实轴上的根轨迹： ( , 10 , 10,032-10 处为两个开环极点，原点处为3 个开 分离点： d3 d 210 解得 d 30。其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是环零点，根轨迹方向与图中一样。4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(k* 0)。解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的根轨迹：3 分离点： 3d2, 2 ,1d11,解得 d 0.5 起始角：根据相角条件，p1ii160 ，j 2kj1p260 ，p3180 。根轨迹如图所示。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) ks(s(1 2s)，试绘制其根轨迹， 并求出使系统产生重实根和纯虚根的 k 值。解 由开环传递函数的表达式知需绘制 0 根轨迹。)； 分离点： 1 d11d2d1解得： d10.732, d22.732将 s d10.732 ,s d22.732 代 入幅值条件得：K d10.54,K d27.46 实轴上的根轨迹： 2,0, 1, 与虚轴交点：闭环特征方程为D (s) s(s 2) K