1.3空间几何体的表面积和体积

1、1.3 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 正方体和长方体的表面积正方体和长方体的表面积与其展开图有何与其展开图有何关系？关系？ 几何体表面积几何体表面积展开图面积展开图面积 空间问题空间问题 平面问题平面问题 各个面的面积和各个面的面积和 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体， 它们的侧面展开图和底面都是平面图形，它们的侧面展开图和底面都是平面图形， 它们的它们的表面积就是它的各

2、个侧面面积和底面面积之和表面积就是它的各个侧面面积和底面面积之和 h n棱柱的展开图棱柱的展开图是由是由n个平行四边形和个平行四边形和 两个全等的两个全等的n多边形组成的平面图形多边形组成的平面图形 n棱锥的展开图棱锥的展开图是由是由n个三角形个三角形 和一个和一个n多边形组成的平面图形多边形组成的平面图形 n棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是由是由n个梯形和个梯形和 两个相似的两个相似的n多边形组成的平面图形多边形组成的平面图形 求棱柱、棱锥、棱台表面积问题就分别转化为求棱柱、棱锥、棱台表面积问题就分别转化为 求平行四边形、三角形、梯形和底边多边形的面积问题求平行四边形、三角形、梯形和底边多

3、边形的面积问题 例例1.已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC 求它的表面积求它的表面积 D B C A S 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成 因为因为BC=a，aSBSD 2 3 60sin SDBCS SBC 2 1 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积是的表面积是 交交BC于点于点D 解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 SBCBCSD 2 3a 2 4 3 2 3 2 1 aaa O O r )(222 2 lrrrlrS 圆柱 l r2 圆柱的侧面展开图是

4、矩形圆柱的侧面展开图是矩形 rlS2 侧 2 2 rS 底 圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形 )( 2 lrrrlrS 圆锥 r2 l O r rllrS2 2 1 侧 2 rS 底 )( 22 rllrrrS 圆台 r2 l O r O r 2 r 圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环 )( 22 rrS 底 lrrS)22( 2 1 侧 lrr)( l O r OO r l O r l O O r rlS 锥侧 lrrS)( 台侧 圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系？ rr 上底缩小上底缩小 r0 上底缩小上底

5、缩小 rlS2 柱侧 lrr)( 1.圆柱的侧面展开图是边长为圆柱的侧面展开图是边长为6和和4的矩形的矩形, 求圆柱的全面积求圆柱的全面积. 2 :6424.S 圆柱侧 解 22 2 6,4, 24 ,2.22422 248 . rrSSS 侧全底 以边长为的边为轴时为圆柱的底面周长 22 2 4,6, 26 ,3.22423 2418 . rrSSS 侧全底 以边长为的边为轴时为圆柱的底面周长 22 2482418 .S 全 或 O B S A D C E 2.已知正四棱锥底面正方形的边长为已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高与斜 高的夹角为高的夹角为300,求正四棱锥的侧面积和表面求

6、正四棱锥的侧面积和表面 积积. 32;S 棱锥侧 48.S 表面积 3.已知正四棱台上底面边长为已知正四棱台上底面边长为6,高和下底面边高和下底面边 长都是长都是12,求它的侧面积求它的侧面积. A B/ A/ D C B D/C/ O/ O E E/ H 3 17 108 17S 棱台侧 3 33 12 1.3.2 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 正方体、长方体以及圆柱的体积公式可以统一为：正方体、长方体以及圆柱的体积公式可以统一为： ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是： ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积， h为棱柱的

7、高为棱柱的高 高高h h 底面积底面积S S ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： ( (1 1) )相同的几何体的体积相等相同的几何体的体积相等, ,与放置位置无关；与放置位置无关； ( (2 2) )一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； ( (3 3) )等底面积等高的两个等底面积等高的两个同类同类几何体的体积相等；几何体的体积相等； (4)(4)体积相等的两个几何体叫做体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . VS h= 柱底h S底 S底S底 h 圆锥的体积公式：圆锥的体积公式

8、： ShV 3 1 （其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 3 1 ShV 3 1 （其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）棱锥的体积是否也是棱锥的体积是否也是 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥， 那么这三个三棱锥的体积有什么关系？那么这三个三棱锥的体积有什么关系？ 它们与三棱柱的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ShV 3 1 （其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 由于圆台由

9、于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的，截成的， 因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台 ( (棱台棱台) )的体积公式的体积公式( (过程略过程略) ) 根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ A B A B C D C D P S S h DCBAPABCDP VVV hSSSS)( 3 1 棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式 hSSSSV)( 3 1 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台 （棱台）的高（棱台）的高 S S 柱体、锥体、台体的体积公式之

10、间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ hSSSSV)( 3 1 ShV 0S ShV 3 1 SS 上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 S S、SS分别为上下底分别为上下底 面面积，面面积，h h为台体高为台体高 例例1.圆柱的侧面展开图是长为圆柱的侧面展开图是长为12cm,宽为宽为4cm 的矩形的矩形,求这个圆柱的体积求这个圆柱的体积. 33 288192 cmcm 或 例例2 . 已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为10cm，它的侧面，它的侧面 展开图扇形的圆心角是展开图扇形的圆心角是1200,求圆锥的体积求圆锥的体积 l 2 3 30 20 2h 3 2000 2

11、3 cm 10 20 1111 1 1 .ABCD-A B C D,AB=4,BC=3, AA =2 , EFABBC D-A EF. 例3 在长方体中 、 分别为棱、的中点,求三 棱锥的体积 A A1 D C B D1 C1 B1 F E 4 3 2 111 4 32 32 1.54 1.5 222 4.5. DEFADEBEFCDFABCD SSSSS 矩形 11 1 1 3 1 4.5 23. 3 D A EFADEFDEF VVSAA 1.3.2 球的表面积和体积球的表面积和体积 1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积 1. 球的体积球的体积 . 3 4 3 RV 2.球的表面积

12、球的表面积 半径是半径是R的球的表面积是的球的表面积是 2 4.SR 半径是半径是R的球的体积是的球的体积是 例例1.(1)把球的半径扩大为原来的把球的半径扩大为原来的3倍，则表倍，则表 面积扩大到原来的面积扩大到原来的_倍倍,体积扩大为原体积扩大为原 来的来的_倍倍. (2)把球的表面积扩大到原来的把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体倍，那么体 积扩大为原来的积扩大为原来的_倍倍. (3)三个球的表面积之比为三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的，则它们的 体积之比为体积之比为_. (4)三个球的体积之比为三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表，则它们的表 面积之比为面积之比为_. 9

13、 27 22 33:22:1 9:4:1 球的截面性质问题球的截面性质问题 用一个平面用一个平面去截一个球去截一个球O. 用一个平面用一个平面去截一个球去截一个球O. 用一个平面用一个平面去截一个球去截一个球O. O 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆; 球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆小圆. 截面性质： 1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d，球的半径为R， 截面圆半径为r,则 O O/ P dR r 222 drR O 球面上两点之间的最短连线的长度球面上两点之间的最短连线的长度, 把这个弧长叫做把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离. P Q 飞机飞机,轮船都是尽可轮船都是尽可 能能 以大圆弧为航线航行以大圆弧为航线航行. 就是经过这两点的大圆在这两点间的就是经过这两点的大圆在这两点间的 一段劣弧的长度一段劣弧的长度. 例例1.在球心同侧有相距在球心同侧有相距9cm的两个平行截面的两个平行截面, 它们的面积分别是它们的面积分别是49cm2和和400cm2,求球的求球的 表面积表面积. O A B O1 O2 2500cm2 例例2.已知球面上的三点已知球面上的三点A、B、C,且且AB=6cm, BC=8cm,AC=10cm,球的半径为