多问一个“为什么”——数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨

1、多问一个 “为什么 ”数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨数学发端于古代人们计数与度量的实际需要。现代的许多数学理论尽 管具有非常抽象的形式，但它同时也是现实世界空间形式和数量关系 的深刻反映，因此可以广泛地应用于自然科学、社会科学和技术的各 个部门，对人类认识自然和改造自然，起着重要的作用。在我国中小学的课程设置中， 数学作为一门主课， 被赋予大量的课时 在大学，不仅理工科的学生要学习高等数学，许多文科专业也开设了 高等数学。这是数学重要性的体现。然而，在我们的数学教学中，过 于注重按部就班地讲述教科书上现有的数学定义和数学命题，介绍各 种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习

2、题，却忽视了与数 学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是数学基础和数学哲学 问题。前不久，中央电视台 10套的一档节目中， 嘉宾提出这样一个问题： “有理数多还是无理数多？ ”有三个答案供在场的学生选择：（A）有理数多，（B）无理数多，（C） 一样多。结果，绝大多数学生选择了 B,嘉宾表 示了肯定。这一问题看似浅显，但要真正理解它提出的知识背景，并作较深入的阐述，并不那么容易，因为它与某些数学概念、数学理论赖以成立的 基本前提有关，涉及了数学基础和数学哲学研究中的一个重要问题 “无限观 ”，即应该如何看待数学中出现的无限多的对象 （如无限多 的自然数、有理数、无理数）的问题。在数学的研究中

3、，有两种 “无限观”。当学生们作 “无理数多”的解答时， 是根据学过的集合论的有关知识来回答的。集合论是一百多年前德国 数学家康托尔创立的，这种理论建立在一种 “无限观 ”实“无限”的基 础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看 待。在集合论中用N= （n： n是自然数表示全体自然数的集合就是 如此。然而，集合论之前的几千年的数学发展史中，数学研究中占主导地位 的却是古希腊哲学家亚里士多德所主张的另一种无限观 “潜无限 的观念，即把 “无限 ”看作一个不断发展着的、 又永远无法完成的过程来 看待。把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列 1,2,3,n, 就是如此。如

4、果采用 “潜无限”的观念， “有理数多，还是无理数多？ 这一问题就没有什么意义, 因为有理数和无理数都为数无穷, 而 “无限 是一个不断发展着的、又永远无法完成的过程,不能加以比较。正如 伽利略所说： “等于 、 大于和小于 诸性质不能用于无限,而只能用 于有限的数量。 ”还需要说明的是,尽管现在集合论已进入中学和大学的数学教科书, 成为全部经典数学的理论基础,但是它并非无懈可击。人们已先后发 现了一系列的 “集合论悖论 ”,这说明集合论隐含着逻辑矛盾, 使用集合 论和采用 “实无限”观念来研究数学, 可能会出问题。 这也从一个侧面说 明了数学理论只具有相对的真理性。学习数学理论如此，对数学方

5、法同样要多思考。初中学习平面几何， 学生就接触了公理方法，这种常用的数学方法源于古希腊数学家欧几 里德的几何原本，它具有严格、高度概括的特点。然而，为什么要 选择这些公理而不选另一些呢？公理方法有没有什么限度呢？正是对 几何原本中公理选择方式的质疑，导致了后来的 “非欧几何”的创建； 对公理化方法的限度的讨论，则推动了近代的数理逻辑和数学哲学的 发展。可见，学会提出问题、思考问题是多么重要， “问题 ”是科学发展 的推动力。笔者学了多年数学，大学本科读的是数学专业，可是，直到投入程其 襄教授门下，就读数理逻辑专业的研究生，才刚刚接触本文前述的那 些数学基础问题。记得研一时读的一本英文书中某一节

6、的标题是： “ Whatistw？o ”（2 是什么？），读罢茅塞顿开：原来自然界中有的只是 一个个具体的事物，如1把椅子、2张桌子等等，却找不到1、2、 之类的数。自然数是人们观念的产物，是思维中的对象。看似简单、 从小就熟悉的自然数，要真正理解却并不简单。数学基础是研究数学的对象、性质和方法的学科，它以数学本身为研究对象，考察重要的数学概念、数学理论和数学方法赖以成立的背景 和条件，探究数学的真理性，涉及一系列数学研究中的根本问题，包 括数学哲学问题。可以这么说，数学基础是让我们在学习或研究数学 的时候，对最基本的数学概念、 数学理论和数学方法再问一个 “为什么 我以为，这将使我们的数学学习或研究有更高的立足点。笔者近年来承担了 1999 年版辞海和正在编纂的大辞海 （数学 卷）数学基础数理逻辑”分科词条的撰写，深知数学基础和数学哲学 的重要性。向公众、特别