2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案解析

1、2020-2021 中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案解析 一、平行四边形1在四边形abcd中，b +d =180，对角线ac平分 bad .（1）如图 1，若dab =120，且b =90，试探究边 ad 、 ab 与对角线ac的数量关系并说明理由.（2）如图 2，若将（1）中的条件“ 由.b =90”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理（3）如图 3，若dab =90，探究边 ad 、 ab 与对角线ac的数量关系并说明理由.【答案】（1）ac =ad +ab.证明见解析；（2）成立；（3）ad + ab =2 ac.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：ac

2、=ad+ab，只要证明 ad=1 1ac，ab= ac 即可解决问题； 2 2（2） （1）中的结论成立以 c 为顶点，ac 为一边作 ace=60， ace 的另一边交 ab 延 长线于点 e，只要证 dac bec 即可解决问题；（3） 结论：ad+ab 2 ac过点 c 作 ceac 交 ab 的延长线于点 e，只要证 ace 是 等腰直角三角形 dac bec 即可解决问题；试题解析：解：（1）ac=ad+ab理由如下：如图 1 中，在四边形 abcd 中， d+ b=180， b=90， d=90， dab=120，ac 平分 dab， dac= bac=60， b=90， ab1

3、1ac，同理 ad ac 2 2 ac=ad+ab（2）（1）中的结论成立，理由如下：以 c 为顶点，ac 为一边作 ace=60， ace 的另 一边交 ab 延长线于点 e， bac=60， aec 为等边三角形， ac=ae=ce， d+ abc=180， dab=120， dcb=60， dca= bce， d+ abc=180， abc+ ebc=180， d= cbe， ca=ce ， dac bec， ad=be， ac=ad+ab（3）结论：ad+ab 2ac理由如下：过点 c 作 ceac 交 ab 的延长线于点 e， d+ b=180， dab=90， dcb=90， ac

4、e=90， dca= bce，又 ac 平分 dab， cab=45， e=45 ac=ce又 d+ abc=180， d= cbe，2 cda cbe， ad=be， ad+ab=ae在 ace 中， cab=45， ac ae ac cos 45ad +ab 2 ac .2如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 abcd，点 p 为正方形 ad 边上的一点（不与点 a、点 d 重合），将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交 dc 于 h， 折痕为 ef，连接 bp、bh（1） 求证： apb= bph；（2） 当点 p 在边 ad 上移动时，求证 pdh

5、的周长是定值；（3） 当 be+cf 的长取最小值时，求 ap 的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出 pbc= bph，进而利用平行线的性质得出 apb= pbc 即可得出答案；（2） 首先证 abp qbp，进而得 bch bqh，即可得出 pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8；（3） 过 f 作 fmab，垂足为 m，则 fm=bc=ab，证 efm bpa，设 ap=x，利用折 叠的性质和勾股定理的知识用 x 表示出 be 和 cf，结合二次函数的性质求出最值 试题解析：（1）解：如图 1， pe=be，

6、ebp= epb又 eph= ebc=90， eph- epb= ebc- ebp即 pbc= bph又 ad bc， apb= pbc apb= bph（2）证明：如图 2，过 b 作 bqph，垂足为 q由（1）知 apb= bph， 又 a= bqp=90，bp=bp，abp qbp 中，apb =bpha =bqp =90 bp =bp， abp qbp（aas）， ap=qp，ab=bq，又 ab=bc， bc=bq又 c= bqh=90，bh=bh， bch 和 bqh 中， bc =bqc =bqh =90 bh =bh， bch bqh（sas）， ch=qh phd 的周长为

7、：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8 pdh 的周长是定值（3）解：如图 3，过 f 作 fmab，垂足为 m，则 fm=bc=ab又 ef 为折痕， efbp efm+ mef= abp+ bef=90， efm= abp又 a= emf=90，efm 和 bpa 中，efm =abpemf =a fm =ab， efm bpa（aas） em=ap设 ap=x在 ape 中，（4-be）2+x2=be2解得 be=2+x 28， cf=be-em=2+x 28-x， be+cf=x 2 1-x+4= （x-2）2+3 4 4当 x=2 时，be+cf 取最小值， ap

8、=2考点：几何变换综合题3如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如 图 2，分别 abc 的边 ab、ac 为边向外作正方形 abde 和 acgf，则图中的两个三角形 就是互补三角形（1） 用尺规将图 1 中 abc 分割成两个互补三角形；（2） 证明图 2 中 abc 分割成两个互补三角形；（3） 如图 3，在图 2 的基础上再以 bc 为边向外作正方形 bchi已知三个正方形面积分别是 17、13、10，在如图 4 的网格中（网格中每个小正方形的边长为 1）画出边长为 、 、的三角形，并计算图 3 中六边形 defghi 的面积 abc 的面积为 2，

9、求以 ef、di、hg 的长为边的三角形面积efm abc【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）62；6 【解析】试题分析：（1）作 bc 边上的中线 ad 即可（2） 根据互补三角形的定义证明即可（3） 画出图形后，利用割补法求面积即可平 chg 到 amf，连接 em，im，则 am=ch=bi，只要证明=3s 即可试题解析：（1）如图 1 中，作 bc 边上的中线 ad abd adc 是互补三角形（2）如图 2 中，延长 fa 到点 h，使得 ah=af，连接 eh 四边形 abde，四边形 acgf 是正方形， ab=ae，af=ac， bae= caf=90， eaf+ b

10、ac=180， aef abc 是两个互补三角形 eah+ hab= bac+ hab=90， eah= bac， af=ac， ah=ab，aeh 和 abc 中，六边形 abc aeh abc，aefaeh abc（3）边长为 、 、的三角形如图 4 所示abc=3421.53=5.5， s=17+13+10+45.5=62如图 3 中，平 chg 到 amf，连接 em，im，则 am=ch=bi，设 abc=x， am ch，chbc， ambc， eam=90+90x=180x， dbi=3609090x=180x， eam= dbi， ae=bd， aem dbi， dbi abc

11、 中，db=ab，bi=bc， dbi+ abc=180， dbi abc 是互补三角形，aemaef afm=2，efm=3s =6考点：1、作图应用与设计，2、三角形面积4如图，在平行四边形 abcd 中，addb，垂足为点 d，将平行四边形 abcd 折叠，使点 b 落在点 d 的位置，点 c 落在点 g 的位置，折痕为 ef，ef 交对角线 bd 于点 p（1） 连结 cg，请判断四边形 dbcg 的形状，并说明理由；（2） 若 aebd，求 edf 的度数【答案】（1）四边形 bcgd 是矩形，理由详见解析；（2） edf120【解析】【分析】（1） 根据平行四边形的性质和折叠性质以

12、及矩形的判定解答即可；（2） 根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可 【详解】解：（1）四边形 bcgd 是矩形，理由如下， 四边形 abcd 是平行四边形， bc ad，即 bc dg，由折叠可知，bcdg， 四边形 bcgd 是平行四边形， adbd， cbd90， 四边形 bcgd 是矩形；（2）由折叠可知：ef 垂直平分 bd， bdef，dpbp， adbd， ef ad bc，ae pd= =1be bp aebe， de 是 adb 斜边上的中线， deaebe， aebd， debdbe， dbe 是等边三角形， edb dbe60， ab dc，

13、dbc dbe60， edf120【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用 定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5现有一张矩形纸片 abcd（如图），其中 ab4 cm，bc6cm，点 e 是 bc 的中点将纸 片沿直线 ae 折叠，点 b 落在四边形 aecd 内，记为点 b，过 e 作 ef 垂直 bc，交 bc 于 f（1） 求 ae、ef 的位置关系；（2） 求线段 bc 的长，并 bec 的面积【答案】（1）见解析；（2）s b ec10825【解析】【分析】（1） 由折线法及点 e 是 bc 的中点，可证 bec 是

14、等腰三角形，再有条件证明 aef=90 即可得到 aeef；（2） 连接 bb，通过折叠，可知 ebb= ebb，由 e 是 bc 的中点，可得 eb=ec， ecb= ebc，从而可 bbc 为直角三角形，在 aob 和 boe 中，可将 ob，bb 的长求出，在 bbc 中，根据勾股定理可将 bc 的值求出.【详解】（1）由折线法及点 e 是 bc 的中点， ebebec， aeb aeb， bec 是等腰三角形，又 efbc ef 为 bec 的角平分线，即 bef fec， aef180（ aeb+ cef）90，即 aef90，即 aeef；（2）连接 bb交 ae 于点 o，由折线

15、法及点 e 是 bc 的中点， ebebec， ebb ebb， ecb ebc；又 bbc 三内角之和为 180， bbc90； 点 b是点 b 关于直线 ae 的对称点， ae 垂直平分 bb；在 aob 和 boe 中，bo2ab 将 ab4cm，be3cm，ae5cm，2ao2be2（aeao）2 ao bo16cm，5ab 2 -ao2 125cm ，24 bb2bocm，5 在 bbc 中，bcbc2-bb2 185cm，由题意可知四边形 oefb是矩形， efob125， s bec12b1 18 12 108 c *ef = =2 5 5 25【点睛】考查图形的折叠变化及三角形

16、的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用关键是要 理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大 小不变，只是位置变化6如图，点 o 是正方形 abcd 两条对角线的交点，分别延长 co 到点 g，oc 到点 e，使 og=2od、oe=2oc，然后以 og、oe 为邻边作正方形 oefg（1）如图 1，若正方形 oefg 的对角线交点为 m，求证：四边形 cdme 是平行四边形 （2）正方形 abcd 固定，将正方形 oefg 绕点 o 逆时针旋转，得到正方形 oefg，如图 2，连接 ag，de，求证：ag=de，agde；（3）在（2）的条件下，正方形

17、oefg的边 og与正方形 abcd 的边相交于点 n，如图 3， 设旋转角为 （0180）， aon 是等腰三角形，请直接写出 的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 的值是 22.5或 45或 112.5或 135 或 157.5【解析】【分析】（1）由四边形 oefg 是正方形，得到 me=12ge，根据三角形的中位线的性质得到cd ge，cd=12ge，求得 cd=ge，即可得到结论；（2）如图 2，延长 ed 交 ag于 h，由四边形 abcd 是正方形，得到 ao=od， aod= cod=90，由四边形 oefg 是正方形，得到 og=oe， eog=90，由旋转

18、的性质 得到 god= eoc，求得 aog= coe，根据全等三角形的性质得到 ag=de， ago= deo，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明： 四边形 oefg 是正方形， me=12ge， og=2od、oe=2oc， cd ge，cd=12ge， cd=ge， 四边形 cdme 是平行四边形；（2）证明：如图 2，延长 ed 交 ag于 h， 四边形 abcd 是正方形， ao=od， aod= cod=90， 四边形 oefg 是正方形， og=oe， eog=90， 将正方形 oefg 绕点 o 逆时针旋转，得到

19、正方形 oefg， god= eoc， aog= coe，ago ode中，oaodaogdoe ogoe， ago ode ag=de， ago= deo， 1= 2， ghd= goe=90， agde；（3）正方形 oefg的边 og与正方形 abcd 的边 ad 相交于点 n，如图 3，、当 an=ao 时， oan=45， ano= aon=67.5， ado=45， = ano- ado=22.5；、当 an=on 时， nao= aon=45， ano=90， =90-45=45；正方形 oefg的边 og与正方形 abcd 的边 ab 相交于点 n，如图 4，、当 an=ao

20、时， oan=45， ano= aon=67.5， ado=45， = ano+90=112.5； 、当 an=on 时， nao= aon=45， ano=90， =90+45=135，、当 an=ao 时，旋转角 a= ano+90=67.5+90=157.5，综上所述： aon 是等腰三角形时， 的值是 22.5或 45或 112.5或 135或 157.5 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性 质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论 aon 是等腰三角形时，求 的度数是本题 的难点7定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好

21、三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图， abc 中，cd 是 ab 边上的中线，那 acd bcd 是“友好三角形”，并且acd bcd应用：如图，在矩形 abcd 中，ab=4，bc=6，点 e 在 ad 上，点 f 在 bc 上，ae=bf，af 与 be 交于点 o（1） 求证 aob aoe 是“友好三角形”；（2） 连接 od， aoe 和 doe 是“友好三角形”，求四边形 cdof 的面积探究： abc 中， a=30，ab=4，点 d 在线段 ab 上，连接 cd acd bcd 是“友 好三角形”， acd 沿 cd 所在直线翻折

22、，得 acd， acd abc 重合部分的面积等 abc 面积的 ，请直接写 abc 的面积【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2 或 2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形 abfe 是平 行四边形，然后根据平行四边形的性质证得 oe=ob，即可证 aoe aob 是友好三角 形；（2） aoe 和 doe 是“友好三角形”，即可得到 e 是 ad 的中点，则可以求 abe、 abf 的面积，根据 s四边形cdof=s矩形abcd-2s abf即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形 adcb 是平行四边形，求出 bc 和 ad 推 出

23、acb=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高 cq，求 adc 的面积即可求abc 的面积试题解析：（1） 四边形 abcd 是矩形，docabc bdc adc adc ad bc， ae=bf， 四边形 abfe 是平行四边形， oe=ob， aoe aob 是友好三角形 （2） aoe 和 doe 是友好三角形，aoedoe，ae=ed= ad=3， aob aoe 是友好三角形，aob，aoe aoe fob，aoe，fobaodabf， s四边形cdof=s矩形abcd-2s abf=46-2 43=12探究：解：分为两种情况：如图 1，acdbcd ad=bd= ab， 沿 c

24、d 折叠 a 和 a重合， ad=ad= ab= 4=2， acd abc 重合部分的面积等 abc 面积的 ，= = = = ， do=ob，ao=co， 四边形 adcb 是平行四边形， bc=ad=2，过 b 作 bmac 于 m， ab=4， bac=30，docabc bdc adc adc adc adc bm= ab=2=bc，即 c 和 m 重合， acb=90，由勾股定理得：ac= abc 的面积是 bcac= 22 如图 2，=2；acdbcd ad=bd= ab， 沿 cd 折叠 a 和 a重合， ad=ad= ab= 4=2， acd abc 重合部分的面积等 abc

25、面积的 ，= = = = ， do=oa，bo=co， 四边形 abdc 是平行四边形， ac=bd=2，过 c 作 cqad 于 q， ac=2， dac= bac=30， cq= ac=1，abc=2s =2s =2 adcq=2 21=2；abc 的面积是 2 或 2考点：四边形综合题8（1）问题发现：如图，在等边三角形 abc 中，点 m 为 bc 边上异于 b、c 的一点，以 am 为边作等边三 角形 amn，连接 cn，nc 与 ab 的位置关系为 ；（2）深入探究：如图，在等腰三角形 abc 中，ba=bc，点 m 为 bc 边上异于 b、c 的一点，以 am 为边 作等腰三角形

26、 amn，使 abc= amn，am=mn，连接 cn，试探究 abc 与 acn 的数量 关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形 adbc 中，ad=ac，点 m 为 bc 边上异于 b、c 的一点，以 am 为边作正 方形 amef，点 n 为正方形 amef 的中点，连接 cn，若 bc=10，cn= 2 ，试求 ef 的长【答案】（1）nc ab；理由见解析；（2） abc= acn；理由见解析；（3） 2 41 ； 【解析】分析：（1）根 abc amn 为等边三角形，得到 ab=ac，am=an 且 bac= man=60从而得到 bac- cam= man- cam，即

27、 bam= can，证明 bam can，即可得到 bm=cn（2）根 abc， amn 为等腰三角形，得到 ab：bc=1：1 且 abc= amn，根据相似三角形的性质得到ab acam an，利用等腰三角形的性质得到 bac= man，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）如图 3，连接 ab，an，根据正方形的性质得到 abc= bac=45， man=45，根据相似三角形的性质得出bm abcn ac，得到 bm=2，cm=8，再根据勾股定理即可得到答案详解：（1）nc ab，理由如下： abc 与 mn 是等边三角形， ab=ac，am=an， bac= man =60， bam

28、= can，abm 与 acn 中，ab =acbam =can，am =an abm acn（sas）， b= acn=60， anc+ acn+ can= anc+60+ can=180， anc+ man+ bam= anc+60+ can= ban+ anc=180， cn ab；（2） abc= acn，理由如下：ab am=bc mn=1 且 abc= amn， abc amnab acam an， ab=bc， bac=12（180 abc）， am=mn man=12（180 amn）， abc= amn， bac= man， bam= can， abm acn， abc= a

29、cn；（3）如图 3，连接 ab，an， 四边形 adbc，amef 为正方形， abc= bac=45， man=45， bac mac= man mac 即 bam= can，ab am= =bc anab ac，am an2， abm acnbm abcn accn ac=bm ab，2=cos45= ，22 2= ，bm 2 bm=2， cm=bcbm=8， 在 amc，am=ac2+mc2= 102+82=2 41， ef=am=241 点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的 性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理

30、等知识；本 题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键9小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：对折矩形纸片 abcd(abbc)，使 ab 与 dc 重合，得到折痕 ef，把纸片展平；沿折痕 bg 折叠纸片，使点 c 落在 ef 上的点 p 处，再折出 pb、pc，最后用笔画 pbc(图 1)（1）求证：图 1 中的pbc 是正三角形：（2）如图 2，小明在矩形纸片 hijk 上又画了一个正三角形 imn，其中 ij=6cm，且 hm=jn1 求证：ih=ij2 请求出 nj 的长；（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为 6cm，当另一边的长度 a 变化时，在矩形纸

31、片 上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同请根据小明的发现，画出不同情形的示 意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的 a 的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；12-6 3 （3）3 3 a4 3 ，a 4 3【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出 pb=pc，pb=cb，得出 pb=pc=cb 即可；（2）利用“hl”证 ihm ijn 即可得；ij 上取一点 q，使 qi=qn，由 ihm ijn 知 him= jin=15，继而可得 nqj=30 ，设 nj=x，则 iq=qn=2x、qj= 3 x，根据 ij=iq+qj 求出 x 即

32、可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可 （1）证明： 对折矩形纸片 abcd(abbc)，使 ab 与 dc 重合，得到折痕 ef pb=pc 沿折痕 bg 折叠纸片，使点 c 落在 ef 上的点 p 处 pb=bc pb=pc=bc pbc 是正三角形：（2）证明：如图 矩形 ahij h= j=90 mnj 是等边三角形 mi=ni在 mhi 和 jni 中mi =nimh =nj mhi jni（hl） hi=ij在线段 ij 上取点 q，使 iq=nq ihm ijn， him= jin， hij=90、 min=60， him= jin=15

33、，由 qi=qn 知 jin= qni=15， nqj=30，设 nj=x，则 iq=qn=2x，qj= qn2-nj2= 3 x， ij=6cm， 2x+3 x=6， x=12-63 ，即 nj=12-6 3 （cm）（3）分三种情况： 如图：设等边三角形的边长为 b，则 0b6，则 tan60=3=ab，2 a=3b2， 0b如图6 32= 3 3 ；当 df 与 dc 重合时，df=de=6， a=sin60de=6 32= 3 3 ，当 de 与 da 重合时，a= 3 3 a 4 3 ； 如图6 6= =4 3sin60 3 ，2 def 是等边三角形 fdc=30 df=6 6=

34、=4 3cos30 32 a 4 3点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的 性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性 强，难度较大10如图，p 是边长为 1 的正方形 abcd 对角线 bd 上一动点（p 与 b、d 不重合）， ape=90，且点 e 在 bc 边上，ae 交 bd 于点 f（1）求证： pab pcb；pe=pc；（2）在点 p 的运动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设 dp=x，当 x 为何值时，ae pc，并判断此时四边形 pafc 的形状【答案】（1）见解

35、析；（2）（3） x=；1；四边形 pafc 是菱形【解析】试题分析：（1）根据四边形 abcd 是正方形，得出 ab=bc， abp= cbp，再根据 pb=pb，即可证 pab pcb，根据 pab+ peb=180， pec+ peb=180，得出 pec= pcb，从而证出 pe=pc； （2）根据 pa=pc，pe=pc，得出 pa=pe，再根据 ape=90，得出 pae= pea=45，即可求出 ；（3）先求出 cpe= pea=45，从而得出 pce，再求出 bpc 即可得出 bpc= pce，从而证出 bp=bc=1，x=1，再根据 ae pc，得出 afp= bpc=67.

36、5， pab pcb得出 bpa= bpc=67.5，pa=pc，从而证出 af=ap=pc，得出答案试题解析：（1） 四边形 abcd 是正方形， ab=bc， abp= cbp= abc=45 pb=pb， pab pcb （sas） pab pcb 可知， pab= pcb abe= ape=90， pab+ peb=180， 又 pec+ peb=180， pec= pab= pcb， pe=pc的值不改变（2）在点 p 的运动过程中，pab pcb 可知，pa=pc pe=pc， pa=pe，又 ape=90， pae 是等腰直角三角形， pae= pea=45，=（3） ae pc

37、， cpe= pea=45， 在 pec 中， pce= pec= （18045） =67.5pbc 中， bpc=（180 cbp pce）=（1804567.5）=67.5 bpc= pce=67.5， bp=bc=1， x=bdbp=1 ae pc， afp= bpc=67.5， pab pcb 可知， bpa= bpc=67.5，pa=pc， afp= bpa， af=ap=pc， 四边形 pafc 是菱形考点：四边形综合题11已知点 o abc 内任意一点，连接 oa 并延长到 e，使得 ae=oa，以 ob，oc 为邻边 作 obfc，连接 of 与 bc 交于点 h，再连接 ef

38、（1） 如图 1， abc 为等边三角形，求证：efbc；ef= bc；（2） 如图 2， abc 为等腰直角三角形（bc 为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成 立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3） 如图 3， abc 是等腰三角形，且 ab=ac=kbc，请你直接写出 ef 与 bc 之间的数量 关系【答案】（1）见解析；（2）efbc 仍然成立；（3）ef=bc【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等边三角形的性质得到 ab=bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah= bc，即可；（2） 由平行四边形的性质得

39、到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等腰直角三角形的性质得到 ab= bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah=bc，即可；（3） 由平行四边形的性质得到 bh=hc= bc，oh=hf，再由等腰三角形的性质和ab=ac=kbc 得到 ab=bc，ahbc，根据勾股定理得到 ah= 试题解析：（1）连接 ah，如图 1，bc，即可 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等边三角形， ab=bc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab2bh2， ah= oa=ae，oh=hf，=bc， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef， efbc，bc

40、= ef， efbc，ef=bc；（2）efbc 仍然成立，ef=bc，如图 2， 四边形 obfc 是平行四边形， bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等腰三角形， ab= bc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab 2bh2=（ ah=bh= bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef， efbc， bc= ef， efbc，ef=bc；（3）如图 3，bh）2bh2=bh2， 四边形 obfc 是平行四边形，1 21 22 1 bh=hc= bc，oh=hf， abc 是等腰三角形， ab=kbc，ahbc，在 abh 中，ah2=ab

41、 2bh2=（kbc）2（ bc ah=bh= bc， oa=ae，oh=hf， ah oef 的中位线， ah= ef，ah ef，）2=（k2- ）bc2， efbc，bc= ef， ef= bc 考点：四边形综合题12如图， abc 中，ab=7，tana= ， b=45点 p 从点 a 出发，沿 ab 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 b 运动（不与点 a、b 重合），过点 p 作 pqab交折线 ac- cb 于点 q，以 pq 为边向右作正方形 pqmn，设点 p 的运动时间为 t（秒），正方形 pqmnabc 重叠部分图形的面积为 s（平方单位）（1） 直接写出正方形 pq

42、mn 的边 pq 的长（用含 t 的代数式表示）（2） 当点 m 落在边 bc 上时，求 t 的值（3） 求 s 与 t 之间的函数关系式（4） 如图，点 p 运动的同时，点 h 从点 b 出发，沿 b-a-b 的方向做一次往返运动，在 b-a 上的速度为每秒 2 个单位长度，在 a-b 上的速度为每秒 4 个单位长度，当点 h 停止运 动时，点 p 也随之停止，连结 mh设 mh 将正方形 pqmn 分成的两部分图形面积分别为 s 、s （平方单位）（0s s ），直接写出当 s 3s 时 t 的取值范围【答案】(1) pq=7-t(2) t=(3) 当 0t时，s=当 t4，当 4t7 时

43、， （4）或或【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当点 q 在线段 ac 上时，当点 q 在线段 bc 上时 （2）根据 ap+pn+nb=ab，列出关于 t 的方程即可解答；（3） 当 0t（4）时，当或t4，当 4t7 时；或 试题解析：（1）当点 q 在线段 ac 上时，pq=tanaap= t 当点 q 在线段 bc 上时，pq=7-t（2）当点 m 落在边 bc 上时，如图，由题意得：t+ t+ t=7，解得：t=当点 m 落在边 bc 上时，求 t 的值为（3）当 0t时，如图，s=当t4，如图，当 4t7 时，如图，（4）或或 考点：四边形综合题.13数学活动课上，老师给出如

44、下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高 ac 剪开，得到等腰直角三角 abc 与 efd， efd 的直角顶点在直线 bc 上平移，在平 移的过程中，直线 ac 与直线 de 交于点 q，让同学们探究线段 bq 与 ad 的数量关系和位 置关系请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长 bq 与 ad 交于点 h我们可以证明 bcq acd，从而易得 bq=ad，bqad小慧：根据图甲，当点 f 在线段 bc 上时，我们可以验证小慧的说法是正确的但当点 f 在 线段 cb 的延长线上（如图乙）或线段 cb 的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的 正确性表示怀疑（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由 （选择图乙或图丙的一种情况说明即可）（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是 拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取 ab、bd、dq、aq 的中点 m、n、p、t则四边形 mnpt 是什么样的特殊四边形？请说明理由【答案】成立；分类讨论思想；正方形.【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 bq=ad， bqad；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类