基于MATLAB汉明码设计与实现

1、实验报告书 汉明码设计与实现汉明码编译码器系统班级： 学号：一. 实验原理描述1.1 汉明码编码原理一般来说，若汉明码长为 n，信息位数为 k，则监督位数 r=n-k 。若希望用 r 个监督位构造出 r 个监督关系式来指示一位错码的 n 种可能位置，则要求2r 1 n或 2r 1 k r 1（1）下面以（ 7，4）汉明码为例说明原理：设汉明码（ n,k ）中 k=4，为了纠正一位错码，由式（ 1）可知，要求监督位 数 r 3。若取 r=3, 则 n=k+r=7。我们用 a6a5a4a3a2a1a0来表示这 7 个码元，用 s1s2s3 的值表示 3个监督关系式中的校正子， 则 s1s2s3的值

2、与错误码元位置的对应关系 可以规定如表 1 所列。表 1 校正子和错码位置的关系s1s2s3错码位置s1s2s3错码位置001a0101a4a1110a5100a2111a6011a3000无错码则由表 1 可得监督关系式 ： ?1= ?6 ?5 ?4 ?2 (2)?2 = ?6 ?5 ?3 ?1（3）?3 = ?6 ?4 ?3 ?0（4） 在发送端编码时，信息位 a6a5a4a3 的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监督位 a2、a1、a0应根据信息位的取值按监督关系来确定， 即监督位应使式（ 2）式（ 4）中 s1、 s2、 s3 的值为 0（表示编成的码组中应无错码）?6?5?4?2

3、=0 ?6?5?3?1 =0(5)?6?4?3?0 =0式（5）经过移项运算，接触监督位?2 =?6?5?4 ?1 =?6?5?3(6)?0 =?6?4?3式（5）其等价形式为：?6?51110100?40110101 0?3 =0(7)1011001?2?1?00式（ 6）还可以简记为? ? ?(8)H? = 0?或A? = 01110100其中H= 110101 0 A= ?6?5?4?3?2?1?010110011110100P= 1101 ? = 010 0 = 0001011001所以有H= P?(9)式( 6)等价于111110 ?2?1? = ?6 ?5 ?4 ?3 1 0 1

4、= ?6 ?5 ?4?3?(10)011其中 Q为 P 的转置，即Q PT (11)式( 10)表示, 信息位给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵 Q就产生出监督位。 我们将 Q的左边加上一个 kk 阶单位方阵，就构成一个矩阵 G1000111?G= ? =0 1 0 0 1 1 0(12)0 0 1 0 1 0 10001011G称为生成矩阵，因为由它可以产生整个码组，即 有?6?5?4?3?2?1?0 = ?6?5?4?3 ?(13)或者A= ?6?5 ?4 ?3 ?(14)式 (13) 即汉明码的编码原理1.2 汉明码纠错原理当数字信号编码成汉明码形式(本文中即 A)后在信道中传输，由于信道中

5、 噪声的干扰， 可能由于干扰引入差错， 使得接收端收到错码， 因此在接收端进行 汉明码纠错，以提高通信系统的抗干扰能力及可靠性。一般来说接收码组与 A不一定相同。若设接收码组为一 n 列的行矩阵 B，即B= ?6?5?4?3?2?1?0(15)则发送码组和接收码组之差为B- A= E(16)E就是传输中产生的错码行矩阵E= ?6?5?4?3?2?1?0(17)若 ei=0，表示接收码元无错误，若 ei =1，则表示该接收码元有错。式（ 16） 可改写成B= A+ E （18）若 E=0，即接收码组无错 , 则 B A E A ，将它代人式（ 8），该是仍 成立，即有?B? = 0（19）当接收

6、码组有错时， E0，将 B 带入式（8）后，该式不一定成立。 在未超过检错能力时，式（ 19）不成立。假设此时式（ 19）的右端为 S,即?B? = ?（20）将B= A+ E代入式（ 20），可得? ?S= （A+ E）? + ?由式（ 8）可知，所以?S= E? （21）此处 S 与前面的 s1s2s3有着一一对应关系，则 S能代表错码位置。因此，纠错原理即，接收端收到码组后按式（ 20）计算出 S,再根据表 1 判断 错码情况，进行差错纠正。二. 实验仪器1. 通信原理综合实验系统一台2. 电脑-MATlab一台三. 实验目的1. 熟悉掌握汉明码的原理与实现2. 观察了解汉明距离的作用3

7、. 通过已经知道的汉明码监督方程为传输的编码进行纠错也验证四. 实验容1. 汉明码编码规则 汉明码是 1950 年由美国贝尔实验室提出来的， 是第一个设计用来纠正一位误码的线性分组码， 汉明码及其变型已广泛应用于数字通信和数据存储系 统中作为差错控制码。汉明码的原始设计思想来自于前面讨论的奇偶监督码。 通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。设分组码 (n,k) 中 k = 4。为了纠正一位错码，按汉明不等式可得 r3，若取r =3 ，则n= kr=7。我们用a6a5a4a3a2 a1a0a2a6a5a4a1a6a5a3a0a6a4a32. 编码的检验与纠错用 S1，S2， S3 表示三

8、个监督关系式式中的校正子， 监督方程为：S1 =a6 a5 a4 a2S2 =a6 a5 a3 a1S3 =a6 a4 a3 a0则 S1，S2， S3 的值与错码位置的对应关系可以规定如下表： 五. 实验要求1.编写 7位汉明码的程序，输出汉明码 function f=hammingencod(a)G=1 0 0 0 1 1 1;0 1 0 0 1 1 0;0 0 1 0 1 0 1;0 0 0 1 0 1 1; a=input( 输入信息元序列 : ); c=mod(a*G,2);disp( 编码后序列为 : );disp(c); x=.01:.01:4;m,n=size(a*ones(1

9、,100); y=reshape(a*ones(1,100),1,m*n);plot(x,y)axis(0 4 0 1.5);set(gca, XTick ,0:1:4); set(gca, YTick ,0:0.5:1.5); title( hanmingencode ) xlabel( value ) ylabel( value ) end输入信息元序列 :1101编码后序列为 :100 0111010 0110001 0101000 10112. 任意输入一个 7位编码使用程序判断编码是否正确，如果错误，指出错位并纠正function g=hammingdecod(B)H=1 1 1 0

10、 1 0 0 ;1 1 0 1 0 1 0;1 0 1 1 0 0 1;B=input( 输入接收序列 B= );S=mod(B*H,2);%计算 B的伴随式if S=0disp( 接收到的码字无错误。 );E=dec2bin(0,7);endfor i=1:1:7if S=H(:,i)E=dec2bin(2(7-i),7);%计算 R的错误图样fprintf( 错误出现在第 %1.0f位 n ,i); break ;endenda=mod(B-E,2);%计算原发送码序列disp( 原发送码字为 : );disp(a)x=.01:.01:7; m,n=size(a*ones(1,100);

11、y=reshape(a*ones(1,100),1,m*n); m,n=size(B*ones(1,100); z=reshape(B*ones(1,100),1,m*n);plot(x,y)hold on;plot(x,z, -r )axis(0 7 0 1.5);set(gca, XTick ,0:1:7);set(gca, YTick ,0:0.5:2.5);set(gca, ZTick ,0:0.5:2.5);title( hanmingdecode )xlabel(value)ylabel(value)zlabel(value)end输入接受序列为 1 1 0 1 0 1 0 译码后的仿真图如下 :hanmingdecode1.5eula0.500123