排列组合和项式定理9课组合

1、课 题： 10 3 组合 （三 ）教学目的：1 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质； 2能够解决一些组合应用问题，提高合理选用知识的能力 教学重点： 组合应用问题 教学难点： 组合应用问题 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教 具 ：多媒体、实物投影仪 内容分析 ：学生易于辨别组合、 全排列问题， 而排列问题就是先组合后全排列 . 在求解 排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先 要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进 行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如 果不需要，是组合问题；否则是排列问题

2、.排列、 组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述 . 也可以说解排列、 组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质， 抽象出“按部就班”的处理问题的过程 . 据笔者观察， 有些同学之所以学习中感 到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考 虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常 理或常规的做法） . 要解决这个问题， 需要师生一道在分析问题时要根据实际情 况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说 明问题 . 久而久之

3、，学生的逻辑思维能力将会大大提高 .排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同 的解法 . 若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解. 教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行 认识思考，才能得到最优方法 .教学过程 ：一、复习引入：1 分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2mn 种不同的方法2. 分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步

4、有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，做第 n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事有 N m1 m2mn 种不同的方法3排列的概念： 从n个不同元素中，任取 m(m n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个 元素的 一个排列4排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m ( m n )个元素的所有排 列的个数叫做从 n个元素中取出 m元素的排列数 ，用符号 Anm表示5排列数公式： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) ( m,n N ,m n ) 6 阶乘： n!表示正整数 1到n的连乘积，叫做 n的阶乘

5、 规定 0! 1 7排列数的另一个计算公式： Anm= n!n (n m)!8 组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素并成一 组，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合 说明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同9组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有组合的 个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的 组合数用符号 Cnm 表示10组合数公式：Cm Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) Cn Ammm!或 C mnn! (n,m N , 且m n)n m!(n m)!11 组合数的性质 1： Cnm

6、 Cnn m规定： Cn0 1 ；12组合数的性质 2：Cnm1Cnm+Cnm 1二、讲解范例：例 1 100 件产品中，有 98 件合格品， 2 件次品 从这 100 件产品中任意抽出 3 件( 1)一共有多少种不同的抽法；2 ）抽出的 3 件都不是次品的抽法有多少种？3）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？4）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的取法有多少种？ 解：（1）C1300 161700；（2） C938 152096；（ 3） C21C928 2 4753 9506；4）解法一：（直接法） C21C928 C22C918 9506 98 9604 ；解法二：（间

7、接法） C1300 C938 161700 152096 9604 5 个球，使得这 5例 2 从编号为 1，2，3， 10，11 的共 11 个球中，取出 个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解：分为三类： 1奇 4偶有C61C54 ； 3 奇2偶有 C63C52 ； 5 奇1偶有C65， 一共有 C16C54+C63C52 +C65 236例 3 现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工作；有 4 名青年能胜任德 语翻译工作 （其中有 1 名青年两项工作都能胜任） ，现在要从中挑选 5 名青年承 担一项任务，其 中 3 名从事英语翻译工作， 2 名从事德语翻译工作，则

8、有 多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类： 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C42C32 ； 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C43C31 ； 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C43C32 ， 一共有 C42C32+C43C13+C43C32 42种方法例 4 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙 不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法） C62C42 2C51C42 C14C31 42解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有C42C32 ； 另一类为甲不值周一，但值周六，有 C41C42 ， 一共有

9、 C4C4 +C4C3 42 种方法例 5 6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本，有多少种不同的送书方法？ 解：第一步：从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个元素有 C62 种 方法；第二步：将 5 个“不同元素（书） ”分给 5 个人有 A55 种方法根据分步计数原理，一共有 C62 A55 1800 种方法三、课堂练习 ：1有两条平行直线 a和b ，在直线 a上取 4个点，直线 b上取 5个点，以这些 点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A70 B 80C82D842 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案有 （

10、）种A C142C84C44B 3C142C84C44C C142C84A33DC142C84C3 5 本不同的书，全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为A480 B240C120D 964已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛成 员的组成共有 种可能5在一次考试的选做题部分，要求在第1 题的 4 个小题中选做 3 个小题，在第2 题的 3 个小题中选做 2 个小题，第 3 题的 2 个小题中选做 1 个小题，有 种 不同的选法6从 1，3，5，7，9中任取 3 个数字，从 2，4，6，8中任取 2个数字，一共 可以组成 个没有重复数字的五位数

11、7正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 8从 5 名男生和 4名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 （1）如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有 种选法；（ 2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（ 3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1 人在内，有 种选法；（ 4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有种选法9在 200件产品中，有 2件次品 从中任取 5 件，（1）“其中恰有 2 件次品”的抽法有 种；（2）“其中恰有 1 件次品”的抽法有种；（ 3）“其中没有次品”的抽法有种；（ 4）“其中至少有 1 件次品”的抽法有种 10某科技小组有 6

12、 名同学，现从中选出 3 人去参观展览，至少有 1名女生入选 时的不同选法有 16 种，求该科技小组中女生的人数答案： 1. A 2. A 3. B 4. C84 2 4900 5. C32C43C21 246. A55C53C42 7200 7. C73 3 328. C5C4 60 C7 21 C9 C7 91 C9 C4 C5 1209. C1398 1274196 2C1498 124234110 C1598 2410141734 C2500 C1598 12550830610. 女生的人数是 2 思路：分 n 3和 3 n 4两种情况讨论四、小结 ：排列、组合问题解题方法比较灵活，问

13、题思考的角度不同，就会得 到不同的解法 . 若选择的切入角度得当， 则问题求解简便， 否则会变得复杂难解 . 教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题 进行认识思考，才能得到最优方法五、课后作业 ：1以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个解：正方体有 8 个顶点，任取 4 个顶点的组合数为 C84 70 个，其中四点共面的情况分 2 类：构成表面的有 6 组；构成对角面的有 6 组， 所以，能形成四面体 70 12 58 （个）2以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线共有 对解： 由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有58 个，每个四面体的四条棱可以组成

14、3 对异面直线，因此以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线 共有 3 58 174 对另解： 3 2C43C41 C42C42 10 174 对3 6 本不同的书全部送给 5 人，有多少种不同的送书方法？5 本不同的书全部送给 6 人，每人至多 1 本，有多少种不同的送书方法？5 本相同的书全部送给 6 人，每人至多 1 本，有多少种不同的送书方法？答案： 56 15625 ； A65 720； C65 6六、板书设计 （略）七、课后记：第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支 球队有幸参加，他们先分成 8 个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队 赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军， 此外还要决出第三、 四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？ 答案是： 8C42 8 4 2 2 64 ，这题如果作为习题课应如何分析解：可分为如下几类比赛：小组赛，每组有 C42 场， 8 个小组共有 8C42 场；8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据抽签规则，将每两个小组的第一与第 二名共 4 个队组成新的组，可分为 4 组，在每一个新的组中的第一与第二名交 叉比赛有 2 场，可以决出