2020基础生艺体生培优考点题型篇考点10-15平面向量和立体几何专题 学生

1、玩转数学培优题型篇考点 10平面向量的概念和运算 玩前必备1向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量ab的大小叫做向量的长度(或模)，记作|ab|.(2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的(3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可 以移到同一直线上规定：0 与任一向量平行(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的加

2、法(1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2) 法则：三角形法则；平行四边形法则(3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2) 法则：三角形法则(3) 运算律：aba(b)4.向量的数乘(1) 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： |a |a； 当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.(2) 运算律：设 、r，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab1 21 21 1 2 21 21 21 1 2 21 21 12 22 1

3、 2 12 12 11 12 21 2 2 1 玩转数学培优题型篇5. 向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线6平面向量基本定理如果 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 、 ， 使 a e e .我们把不共线的向量 e ，e 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底一个平面向量 a 能用一组基底 e ，e 表示，即 a e e .则称它为向量的分解。当 e ，e 互相垂直时， 就称为向量的正交分解。7平面向量的坐标运算 (1)设 a(x ，y )，b(x ，y )，则ab(x x

4、，y y )，|ab| (xx )2(yy )2.(2)设 a(x ，y )，b(x ，y )，则 ab(x x ，y y )，ab(x x ，y y )，1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2(3)若 a(x，y)，则 a(x，y)；|a| x2y2 .8向量平行的坐标表示设 a(x ，y )，b(x ，y )，其中 b0.abab x y x y 0.玩转典例题型一 平面向量的基本概念例 1 给出下列命题：1 向量ab的长度与向量ba的长度相等；2 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；3 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；4 两个有公共终点的

5、向量一定是共线向量其中不正确命题的个数为( )a. 1 b. 2 c. 3 d. 4例 2 下列命题中，正确的是_(填序号)1 有向线段就是向量，向量就是有向线段；2 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；3 向量ab与向量cd共线，则 a、b、c、d 四点共线；4 如果 ab，bc，那么 ac；5 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小题型二平面向量的线性运算uuur uuur例 3（2015新课标）设 d 为 dabc 所在平面内一点， bc =3cd ，则 ( )1414414131133113rrrrrrrrr玩转数学uuur uuur uuur a ad

6、=- ab + ac3 3 uuur uuur uuurc ad = ab + ac 3 3培优题型篇uuur uuur uuur b ad = ab - ac3 3 uuur uuur uuurd ad = ab - ac 3 3uuur例 4（2018新课标）在 dabc 中， ad 为 bc 边上的中线， e 为 ad 的中点，则 eb =()auuur uuurab - ac4 4buuur uuurab - ac4 4cuuur uuurab + ac4 4uuur uuurd ab + ac 4 4 例 5(2020威海模拟)在平行四边形 abcd 中，e，f 分别为边 bc，cd

7、 的中点，若abxaeyaf(x，yr)， 则 xy_.题型三平面向量坐标运算r r例 6（2015全国）设平面向量 a =( -1,2) ， b =(3, -2) ，则 2a +b =()a (1,0)b (1,2)c (2,4)d (2,2)uuur uuur例 7（2015新课标）已知点 a(0,1) ， b (3,2) ，向量 ac =( -4, -3) ，则向量 bc =()a ( -7, -4)b (7,4)c ( -1,4)d (1,4)r r例 8（2015江苏）已知向量 a =(2,1) ， b =(1,-2) ，若 ma +nb =(9 ， -8)(m ， n r ) ，则

8、 m -n 的值为 题型四 平面向量共线定理例 9 (新课标 ii 理)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _.r uuur r uuur r uuur r例 10（2020上饶一模）已知 a , b 是不共线的向量，oa =la +mb ， ob =2 a -b ， oc =a -2b ，若 a 、 b 、 c 三点共线，则 l、 m 满足 ( )a l=m-3b l=m+3c l=m+2d l=m-2r例 11（2016全国）平面向量 a =( x,3) 与 b =(2, y ) 平行的充分必要条件是 ( )a x =0 ， y =0b x =-3， y =-2c

9、 xy =6d xy =-6例 12(2018全国)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c 则 ( )a.1 1b.4 2c1 d2 玩转练习1对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的( )a充分不必要条件 c充要条件b必要不充分条件d既不充分也不必要条件d.玩转数学培优题型篇 2已知向量aba3b，bc5a3b，cd3a3b，则( )aa，b，c 三点共线 ca，c，d 三点共线ba，b，d 三点共线 db，c，d 三点共线3.如图，在正方形 abcd 中，点 e 是 dc 的中点，点 f 是 bc 上的一个靠近点 b 的三等分点，那么ef等于( )1

10、 1 1 1 a. ab ad b. ab ad 2 3 4 21 1 c. ab da3 21 2 ab ad2 3 4.如图，已知 ab 是圆 o 的直径，点 c，d 是半圆弧的两个三等分点，aba，acb，则ad等于()1 1 aa b b. ab2 23c. 1，2玩转数学培优题型篇1 ca b21d. ab2 1 5已知 m(3，2)，n(5，1)，且mp mn，则 p 点的坐标为( )2a(8,1) 23b. 1，2d(8，1) 6(2020山西榆社中学诊断)若向量abdc(2,0)，ad(1,1)，则acbc等于( )a(3,1) b(4,2) c(5,3) d (4,3)7(2

11、020海南联考)设向量 a(x，4)，b(1，x)，若向量 a 与 b 同向，则 x 等于( )a2 b2 c2 d08已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示 成 cab(， 为实数)，则实数 m 的取值范围是( )a(，2) c(，)b(2，)d(，2)(2，)9在平面直角坐标系 xoy 中，已知 a(1,0)，b(0,1)，c 为坐标平面内第一象限内一点，aoc ，且|oc|4 2，若ocoaob，则 等于( )a2 2 b. 2 c2 d4 2110(2020蚌埠期中)已知向量 m sin a， 与向量 n(3，sin a

12、 3cos a)共线，其中 a 是abc 的内角， 则角 a 的大小为( ) a. b. c. d.6 4 3 211 若三点 a(1，5)，b(a，2)，c(2，1)共线，则实数 a 的值为_12 设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_考点 11平面向量数量积 玩前必备1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作oaa，obb，aob(0180)叫作向量 a 与 b 的夹角，记作 当 0时，a 与 b 同向；当 180时，a 与 b 反向；当 90时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 ab. 2平面向量的数量积1 12 2，1 1

13、1 11 1 2 2r rr rr玩转数学培优题型篇已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 ，我们把|a|b |cos 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab |a|b |cos .3平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos 的乘积ab ab注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos ，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ，投影是一个数量，它可|a| |b|以为正，可以为负，也可以为 0.4平面向量数量积的重要性质(1) abab0；(2

14、)当 a 和 b 同向时，ab|a|b|；当 a 和 b 反向时，ab|a|b |；特别地，aa |a|2，|a| aa；ab(3)cos ；|a|b|5平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量 a，b，a(x ，y )，b(x ，y )，(1) abx x y y (2) |a|21 2 1 2x 2y2或|a| x 2y2. (3) abx x y y 0.1 2 1 2x x y y1 2 1 2(4) cos x 2y 2 x 2y 2玩转典例题型一 平面向量数量积的计算例 1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形 abc 中， acb =uuur uuur uuur uuur)且 bp

15、=2 pa ，那么 cp gca +cp gcb =(p2， ac =bc =2 ，点 p 是斜边 ab 上一点，a -4b -2c2 d4uuur uuur例 2（2020上海）三角形 abc 中， d 是 bc 中点， ab =2 ， bc =3 ， ac =4 ，则 ad gab =uuur uuur uuur uuur uuur例 3（2019新课标）已知 ab =(2,3) ， ac =(3, t ) ， | bc |=1 ，则 ab gbc =()a -3b -2c2 d3r r r例 4（2018新课标）已知向量 a ， b 满足 | a |=1 ， a gb =-1，则 a g

16、(2 a -b ) =(a4 b3 c2 d0)题型二利用数量积求模长rrvr rrr r( )r r( )vvn玩转数学培优题型篇 r例 5 （ 2020 香坊区模拟）已知单位向量 a, b 的夹角为 q ，且 tan )q1 r r r = ，若向量 m = 5a -3b ，则 | m |=(1a 2b 3c 26d 2 或 26v例 6（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） 设 v v v va +b =且 a c ， b / / c ，则_.vx, y r ，向量 a =( x ,1),vb =(2, y ),vc =( -2, 2)，题型三利用数量积求夹角r r r r例 7

17、（2020临汾模拟）已知夹角为 q 的向量 a ， b 满足 a g(a +b ) =2 ，且 | a |=2 | b |=2 ，则向量 a ， b 的关 系是 ( )a互相垂直b方向相同c方向相反d成 120角r r例 8（2020江西省南昌市新建二中高三二模（理）已知向量 a ，b 满足 a =1 ，b = 1, 3 ，若 r r则 a 与 b 的夹角为_.题型四利用数量积求解垂直问题r r r a a -b =2，v v v v例 9（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量 a ， b 满足 | a|=|b |，则“v v a +2b =2 a -b”是v v“ a b ”的

18、（ ）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解:r r r r r r例 10（2020吉林省高三二模（理） 已知 a =(1,3), b =(2, 2), c =( n, -1) ，若 ( a -c ) b ，则 等于（ ） a3 b4 c5 d6题型五利用数量积求射影 例 11(湖北，7)已知点 a(1，1)，b(1，2)，c(2，1)，d(3，4)，则向量ab在cd方向上的投影为( )a.3 2 3 15 3 2 3 15b. c d2 2 2 2玩转练习uuur uuur uuur uuur uuur1.（2020新建区校级模拟）如图，在 dabc 中， ad

19、 ab, dc =3 bd,| ad |=2 ，则 ac gad 的值为 ( )rrrr rr r rr rrrrvv v玩转数学培优题型篇a3 b8 c12 d16r2.（2020内蒙古模拟）已知向量 a +b =(1,2) a1 b -1r r， a -b =( -3,0) ，则 agb =(c3 d -3)r r r3（2020随州模拟）已知向量 a ， b 满足 | a |=|a -b |=2 ，向量 b 在向量 a 方向上的投影为 3，则向量 a 与 r向量 b 的夹角为 ( )a 30b 45c 60d 90uuur uuur4（2020湘潭一模）在平行四边形 abcd 中，bad

20、 =60，ab =3 ad ，e 为线段 cd 的中点，若ae gab =6 ，uuur uuur 则 ac gbd =()a -4b -6c -8d -9r r5（2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量a ， b 的夹角为 120，c =ta +(t -1)b 若 a gc =1 值为 ( )则实数 t 的a1 b -1c2 d -2ur uur ur uur ur ur uur6.（2020福州一模）已知两个单位向量 e , e ，若 ( e -2e ) e ，则 e , e 的夹角为 ( )1 2 1 2 1 1 22p p p p a b c d3 3 4 6v v p7.（2020湖

21、南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量 a 和 b 的夹角为3v v(2 a -b )( a +2b ) =（ ），且v a =2, b =3，则a -10b -7c -4d -1r r r r8（2020江西省名高三第二次大联考（理） 若 a =1 ， b =2 ，则 a +b 的取值范围是（ ）a1,9b(1,9)c1,3d(1,3)( )xr玩转数学培优题型篇uuur9（2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理） 已知在边长为 3 的等边 dabc 中， bd = uuur uuur（ ）ad ac =12uuurdc，则a6 b9 c12 d6r r10（2020河南省实验中学高三二

22、测（理） 若 | a |=3 ， | b |=2 ， _.r ra +2b = 37r r，则 a 与 b 的夹角为11（2020北京市西城区高三一模）若向量 _.r ra = x 2，2 ，b=(1，x)r r满足 a b3 ，则实数 的取值范围是uuur12（2020四川省成都市树德中学高三二诊（理）已知向量 abuuur uuur uuur=（1，2），ac =（-3，1），则ab bc =_r r r r r13（2020广西师大附属外国语学校高三一模（理） 已知 a , b 为两个单位向量，且向量 a -b 与 b 垂直，r2 a +3b则=_14（2020江西省南昌市第十中学校高三

23、模拟（理）设vx, y r ，向量 a =( x,1),vb =(2, y ),vc =( -2, 2)，v v v v v v且 a c ， b / / c ，则 a +b =_. 15.（2020福建省泉州市高三质检（理） 已知向量va =(x,2)，vb =(2,1)v v v，且 a / b ，则 a =_考点 121. 空间几何体的结构特征空间几何体表面积和体积 玩前必备多面体旋转体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行 且相似的多边形圆柱

24、可由矩形绕其任意一边旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到圆台 圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转1 23玩转数学培优题型篇得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球球可以由半圆或圆绕直径旋转得到2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式3.空间几何体的表面积与体积公式s 2rl s rl s (r r )l 圆柱侧 圆锥侧 圆台侧几何体柱体(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)球名称表面积s s 2s 表面积 侧 底s s s 表面积 侧 底s s s s 表面积 侧 上 下s4r2体积vs h底1v s h3

25、底1v (s s s s )h 上 下 上 下4v r33玩转典例题型一 简单几何体的概念例 1 以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为( )a0 b1 c2 d3例 2 给出下列四个命题：1 21 21 1 1 11 1 1玩转数学培优题型篇1 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；2 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；3 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；4 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其

26、中不正确的命题为_(填序号)题型二 简单几何体的表面积例 3 (2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 o ，o ，过直线 o o 的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )a12 2 c8 2b12d10例 4（2019全国）已知平面a 截球 o 的球面所得圆的面积为 p ，o 到 a 的距离为 3，则球o 的表面积为 例 5（2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形研究发现，该金字塔底面周长除以 2 倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率 该金字塔的侧棱长为 ( )355113p若胡夫金字塔的高为 h ，则a 2

27、p2 +1hb2p28+4 hcp2+16h4d2p2 +16 h 4题型三简单几何体的体积例 6(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 s，母线 sa，sb 互相垂直，sa 与圆锥底面所成角为 30.若sab 的面积为 8，则该圆锥的体积为_例 7(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为( )ac.23b4d4例 8.(2018天津卷)如图，已知正方体 abcd a b c d 的棱长为 1，则四棱锥 a bb d d 的体积为_玩转数学培优题型篇题型四简单几何体切接问题例 9（2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一

28、球面上，则该球面的表面积为 ( )a 12pb323pc 8pd 4p例 10（ 2017新课标）已知三棱锥 s -abc 的所有顶点都在球 o 的球面上， sc 是球 o 的直径若平面 sca 平面 scb ， sa =ac ， sb =bc ，三棱锥 s -abc 的体积为 9，则球 o 的表面积为 例 11（2020眉山模拟）已知腰长为 3，底边长 2 为的等腰三角形 abc ， d 为底边 bc 的中点，以 ad 为折 痕，将三角形 abd 翻折，使 bd cd ，则经过 a ， b ， c ， d 的球的表面积为 ( )a 10pb 12pc 16pd 20p玩转练习1.(2015新

29、课标全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米 依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一 个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )4.cc1玩转数学培优题型篇a14 斛c36 斛b22 斛d66 斛2.（2020凯里市校级模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱

30、垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥 的体积为 ( )a140 立方尺b280 立方尺c2803立方尺d1403立方尺3.（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ： 若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为( )a16 b16 3c163d12834.（2020陕西省西安中学高三三模（理） 把边长为 4 的正方形 abcd 沿

31、对角线 ac 折起，当直线 bd 和平 面 abc 所成的角为 60o 时，三棱锥 d -abc 的体积为( )a8 23b4 63c8 63d16 235.（2019 江苏 9）如图，长方体 积是.abcd -a b c d1 1 1 1的体积是 120，e 为 的中点，则三棱锥 e-bcd 的体2 5玩转数学培优题型篇6.(2019江西重点中学联考)算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，1该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 v 的近似公式 v l2h

32、，它实际上是将圆锥体积公式3625中的圆周率 近似取 3，那么，近似公式 v l2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取( )94222a.7157c.5025b.8355d.1137（2019 天津理 11）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.8.(2018 天津)已知正方体 abcd -a b c d1 1 1 1的棱长为 1，除面 abcd 外，该正方体其余各面的中心分别为点 e，f，g，h，m(如图)，则四棱锥 m -efgh的体积为 d1mc1a1ehb1gdfcab9.

33、(2018 江苏)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 10.（2020咸阳二模）正四棱锥 p -abcd 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为 6 ，高为 3，则它玩转数学的外接球的表面积为 ( )培优题型篇a 4pb 8pc 16pd 20p考点 13空间点、直线、平面的位置关系和平行证明玩前必备1. 空间点、线、面之间的位置关系直线与直线 图形语言平行关系直线与平面平面与平面符号语言图形语言ab a 相交关系符号语言图形语言aba aa l独有关系符号语言a，b 是异面直线a 2 直线与平面平行的判定与性质定义判定定理性质图形条件结论aaa ，b，ab

34、b aaa，a， bab玩转数学培优题型篇3.面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件结论a，b，ab p，a，b，a，bab，aa玩转典例题型一 点线面的位置关系例 1 如图所示，在长方体 abcdabcd中，如果把它的 12 条棱延伸为直线，6 个面延展为平面， 那么在这 12 条直线与 6 个平面中：(1) 与直线 bc平行的直线和平面分别有哪几个？(2) 与直线 bc垂直的直线和平面分别有哪几个？ (3)与平面 bc平行的平面有哪几个？(4)与平面 bc垂直的平面有哪几个？题型二 线面平行的判定和性质例 2 （2020北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱adf -bce中，平面 a

35、bcd 平面 abef ，侧面abcd为平行四边形，侧面 abef 为正方形，ac ab ， ac =2 ab =4， m 为 fd 的中点.玩转数学培优题型篇（1）求证： fb / /平面acm；例 3 （2020厦门模拟）如图，四边形 abcd 是边长为 2 的菱形， bf ， de ， cg 都垂直于平面 abcd ， 且 cg =2 bf =2 ed =2 （1）证明： ae / /平面 bcf ；例 4（2020龙岩一模）如图，在棱长为 2 的正方体 abcd -a b c d 中， e ， f ， m 分别是棱 ab ， bc ，1 1 1 1ad 的中点（1）证明： d m /

36、/1平面 a ef ；11 1 1 11 11玩转数学培优题型篇例 5 如图，四边形 abcd 是平行四边形，点 p 是平面 abcd 外一点，m 是 pc 的中点，在 dm 上取一点 g， 过 g 和 ap 作平面交平面 bdm 于 gh.求证：pagh.题型三面面平行的判定和性质例 6 如图所示，在直四棱柱 abcda b c d 中，底面是正方形，e，f，g 分别是棱 b b，d d，da 的 中点求证：平面 ad e平面 bgf.玩转数学培优题型篇例 7(2020合肥质检)如图，在多面体 abcdef 中，四边形 abcd 是正方形，bf平面 abcd，de平面 abcd，bfde，m

37、 为棱 ae 的中点(1)求证：平面 bdm平面 efc；玩转练习1.（2019 全国理 7）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是a 内有无数条直线与 平行c， 平行于同一条直线b 内有两条相交直线与 平行 d， 垂直于同一平面2.(2018 浙江)已知平面 a，直线 m ， n 满足 m a ， n a ，则“ m n ”是“ m a”的a充分不必要条件c充分必要条件b必要不充分条件d既不充分也不必要条件3.（2019江苏）如图，在直三棱柱 abc -a b c 中， d ， e 分别为 bc ， ac 的中点， ab =bc 1 1 1求证：（1） a b / /1 1平面 dec ；11

38、 1 111玩转数学培优题型篇4.(新课标全国，18)如图，四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 为矩形，pa平面 abcd，e 为 pd 的中点(1)证明：pb平面 aec；5.(新课标全国，18)如图，直三棱柱 abca b c 中，d，e 分别是 ab，bb1的中点.(1)证明：bc 平面 a cd；6.(2016新课标全国，19)如图，四棱锥 pabcd 中，pa底面 abcd，adbc，ab adac3，pabc4，m 为线段 ad 上一点，am2md，n 为 pc 的中点.1 1玩转数学(1)证明：mn平面 pab；培优题型篇7.(江苏，16)如图，在直三棱柱 abc-a b c

39、 中，已知 acbc，bccc .设 ab 的中点为 d，1 1 1 1 1b cbc e.1 1求证：(1)de平面 aa c c；8.(山东，18)如图，三棱台 def-abc 中，ab2de，g，h 分别为 ac，bc 的中点 (1)求证：bd平面 fgh；9.（2018 江苏）在平行六面体abcd -a b c d1 1 1 1中，aa =ab1，ab b c1 1 1a1d1b1c1adbc求证：(1)ab平面a b c1 1；10.（2017 浙江）如图，已知四棱锥p -abcd，dpad是以ad为斜边的等腰直角三角形，bc ad，cd ad，pc =ad =2 dc =2cb，e

40、为pd的中点玩转数学培优题型篇（）证明：ce平面pab；peadb c11.（2020桥东区校级模拟）如图，在直三棱柱 abc -a b c 中， ab =ac = 2 ， bc =aa =2 ， o ， m 分1 1 1 1别为 bc ， aa 的中点1（1）求证： om / /平面 cb a ； 1 11直线与平面垂直判定考点 14直线、平面垂直的判定与性质 玩前必备图形条件结论ab，b (b 为 内的任意直线) a玩转数学培优题型篇am，an，m、n，mno aab，a ba，b ab性质a，b2两个平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相

41、垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言ab判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线那么这两个平面互相垂直l l(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面 allla玩转数学培优题型篇玩转典例题型一线面垂直的判定与性质例 1 （2020湖北模拟）如图，ab 为o 的直径，pa垂直于o 所在的平面，m为圆周上任意一点，anpm， n 为垂足(1) 求证：an平面 pbm.(2) 若 aqpb，垂足为 q，求证 nqpb.例 2 （2019北京）如图，在四棱锥 p -abcd 中

42、， pa 平面 abcd ，底面 abcd 为菱形， e 为 cd 的中 点（）求证： bd 平面 pac ；（）若 abc =60，求证：平面 pab 平面 pae ；题型二平面与平面垂直的判定与性质例 3 （2020梅河口市校级模拟）如图，在四棱锥 p -abcd 中，pd 平面 abcd ，ab / / cd ，ab bc ， ab =bc =4 ， cd =2ce =2 （1）证明：平面 pad 平面 pde ；11 11111 111玩转数学培优题型篇例 4 （2020咸阳二模）如图，在直角梯形 abcd 中， ab / / dc ， abc =90，ab =2 dc =2 bc ， e 为ab 的中点，沿 de 将 dade 折起，使得点 a 到点 p 位置，且 pe eb ， m 为 pb 的中点， n 是 bc 上的动 点（与点 b ， c 不重合）（1）求证：平面 emn 平面 pbc ；玩转练习1.(天津，17)如图，已知 aa 平面 abc，bb aa ，abac3，bc2 5， aa 7，bb 2 7，点 e 和 f 分别为 bc 和 a c 的中点