初三圆的证明专题训练(教案)

1、下载试卷文档前说明文档: 1. 试题左侧二维码为该题目对应解析； 2. 请同学们独立解答题目，无法完成题目或者对题目有困惑的，扫描二维码查 看解析，杜绝抄袭； 3. 只有老师通过组卷方式生成的二维码试卷，扫描出的解析页面才有“求老师 讲解”按钮，菁优网原有的真题试卷、电子书（习题集）上的二维码试卷扫 出的页面无此按钮。学生点击该按钮以后，下载试卷教师可查看被点击的相 关统计数据。 4. 自主组卷的教师使用该二维码试卷后，可在“菁优网 -我的空间-我的收藏 -我的下载”处点击乂和图标查看学生扫描的二维码统计图表，以便确定讲解 重点。 5. 在使用中有任何问题，欢迎在“意见反馈”提出意见和建议，感

2、谢您对菁优 网的支持。 第1页（共32页） 九年级数学组的初中数学组卷 （扫描二维码可查看试题解析） 解答题（共17小题） 1. （2014?辽阳）如图，在 ABC , AB=AC，以AB为直径的OO分别交AC、BC 于占 J 八、 D、E,点F在AC的延长线上，且 / CBF / CAB . 2 (1) (2) 求证：直线BF是O O的切线； 若 AB=5 , sin/ CBF=!，求 BC 和 BF 5 的长. D 2 . （2014?吉林）如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O为圆心，OA为半径的圆 交AB于点D，延长AO交OO于点E,连接 题： （1）求证：CD是O O的切线；

3、（2 ）若BC=3, CD=4，求平行四边形 OABC CD , CE,若CE是O O的切线，解答下列问 的面积. D为O O上一点，点 C在直径BA的延长线上，且 / CDA= / CBD. （1 ）判断直线CD和OO的位置关系，并说明理由. （2）过点B作O O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2 , O O的半径是3，求BE的长. 4. (2013?德州)如图，已知 O O的半径为1, DE是OO的直径，过点 D作O O的 切线AD , C是AD的中点，AE交OO于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1 )求AD的长； (2) BC是OO的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由.

4、第13页(共32页) 5. (2013?荷泽)如图，BC是O O的直径，A是O O上一点，过点 C作O O的切线, 交BA的延长线于点 D，取CD的中点E, AE的延长线与BC的延长线交于点 P. (1)求证：AP是O O的切线； 6. (2013?聊城)如图，AB是OO的直径，AF是OO切线，CD是垂直于 AB的弦, 垂足为E,过点C作DA的平行线与 AF相交于点F, CD=隔 丄BE=2 .求证: (1) 四边形FADC是菱形； (2) FC是O O的切线. 7. (2012?北京)已知：如图, AB是O O的直径，C是O O上一点，OD丄BC于点 D，过点C作O O的切线，交OD的延长线

5、于点E,连接BE. (1) 求证：BE与O O相切； (2) 连接AD并延长交 BE于点F,若OB=9 , sin / ABC=，求BF的长. 3 9. (2012?德阳)如图，已知点 C是以AB为直径的OO上一点，CH丄AB于点H , 8. (2012?济宁)如图，AB是O O的直径，AC是弦，OD丄AC于点D，过点A作 OO的切线AP , AP与OD的延长线交于点 P,连接PC、BC . (1) 猜想：线段 OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论. (2) 求证：PC是O O的切线. 过点B作O O的切线交直线 AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F, 直线CF交A

6、B的延长线于G. (1) 求证：AE?FD=AF?EC; (2) 求证：FC=FB; (3) 若FB=FE=2，求O O的半径r的长. 10. (2012?黔南州)已知：如图，点 C在以AB为直径的O O上，点D在AB的延 长线上，/ BCD= / A . (1) 求证：CD为O O的切线； (2) 过点C作CE丄AB于E.若CE=2 , cosD=_，求AD的长. 11. (2012?广安)如图，在 ABC中，/ ABC= / ACB，以AC为直径的O O分别 交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且 / CAB=2 / BCP . (1) 求证：直线CP是O O的切线. (2) 若

7、 BC=2 口，sin/ BCP= !，,求点 B 到 AC 的距离. 5 (3) 在第(2)的条件下，求 ACP的周长. 12. (2012?黄冈)如图，在 ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆 OO,交AC 于点D，过点D作DE丄BC,垂足为点 E. (1) 求证：DE为O O的切线； (2) 求证:BD2=AB ?BE . 13. (2011?芜湖)如图，已知直线 PA交O O于A、B两点，AE是O O的直径，点 C为OO上一点，且 AC平分/ PAE,过C作CD丄PA,垂足为 D. (1) 求证：CD为O O的切线； (2) 若DC+DA=6 , OO的直径为10,求AB的长度.

8、15. (2011?乐山)如图, D为O 0上一点，点 C在直径BA的延长线上，且 14. (2011?凉山州)如图，已知 ABC，以BC为直径，0为圆心的半圆交 AC于点 F,点E为；的中点，连接 BE交AC于点M , AD ABC的角平分线，且 AD丄BE,垂 足为点H. (1)求证：AB是半圆0的切线； (2 )若 AB=3 , BC=4，求 BE 的长. / CDA= / CBD. (1) 求证：CD是O 0的切线； (2) 过点B作O0的切线交 CD的延长线于点 E,若BC=6 , tan/CDA=，求BE的长. 16. (2011?广安)如图所示，P是O O外一点，PA是O O的切

9、线，A是切点，B是 O O上一点，且 PA=PB，连接AO、BO、AB,并延长 BO与切线PA相交于点 Q. (1) 求证：PB是O O的切线； (3) 设 / AOQ= a,若 4 5 OQ=15，求AB的长. (2) 求证：AQ?PQ=OQ?BQ ; 17. (2012?达州)如图, C是以AB为直径的OO上一点，过 O作OE丄AC于点E, 过点A作O O的切线交OE的延长线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点 P. (1)求证：PC是O O的切线. (2 )若 AF=1 , OA= 比求 PC 的长. 2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一.解答题(

10、共17小题) 1. ( 2014?辽阳)如图，在 ABC , AB=AC，以AB为直径的OO分别交AC、BC于点D、 E,点F在AC的延长线上，且 / CBF=丄/ CAB . 2 (1) 求证：直线BF是O O的切线； (2) 若 AB=5 , sin/CBF=Z_L，求 BC 和 BF 的长. 考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角 形. 专题：几何综合题. 分析：(1)连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角 形两锐角相等得到直角，从而证明/ ABF=90 (2)利用已知条件证得 AGC ABF，禾U用比例式求得线段

11、的长即可. 解答：(1)证明：连接AE , / AB是O O的直径， / AEB=90 / 1 + / 2=90 / AB=AC , / 1/ CAB . 2 / / CBF=A/ CAB , / 1 = / CBF / CBF+ / 2=90 即 / ABF=90 / AB是O O的直径， 直线BF是O O的切线. (2)解：过点C作CG丄AB于G. / sin/CBF=J, / 1 = / CBF , 5 sin/ 仁工, 5 在 RtA AEB 中，/ AEB=90 AB=5 , .BE=AB ?sin/ 仁., / AB=AC , / AEB=90 .BC=2BE=2 .匚 在Rt A

12、BE中，由勾股定理得 AE= ,二-q 1=2 .二 .sin/2 J, cos/ 2丄=7 , AB. 5 BCAB 5 BC 在 Rt CBG 中，可求得 GC=4, GB=2 , .AG=3, / GC / BF , . AGCABF , .二. r -.； GC-AB. 20 AG | 3 i 1-、 4 2 .BF= C Bf 点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生 掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题. 2. ( 2014?吉林)如图，四边形 OABC是平行四边形，以 O为圆心，OA为半径的圆交 AB 于点D，延长AO交O O

13、于点E,连接CD , CE，若CE是O O的切线，解答下列问题： (1)求证：CD是O O的切线； (2 )若BC=3, CD=4，求平行四边形 OABC的面积. 考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质. 专题：证明题. 分析：(1)连接 OD，求出/ EOC= / DOC，根据SAS推出 EOC DOC，推出 / ODC= / OEC=90 根据切线的判定推出即可； (2)根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出 OA=3，根据 平行四边形的面积公式求出即可. 解答：(1)证明：连接0D , / OD=OA , / ODA= / A , 四边形

14、OABC是平行四边形， OC / AB , / EOC= / A , / COD= / ODA , / EOC= / DOC , 在 EOC和 DOC中 OEOE Zeoc=Zdoc oc=oc EOCBA DOC (SAS), / ODC= / OEC=90 即OD丄DC , CD是O O的切线； (2)解：/ EOCA DOC , CE=CD=4, 四边形OABC是平行四边形， OA=BC=3 , 平行四边形 OABC的面积S=OA CE=3用=12. E 、 占 5 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此 题的关键是推出 EOCDOC . 3.

15、(2014?天水)如图，点D为O O上一点，点C在直径BA的延长线上，且/CDA= / CBD . (1 )判断直线CD和OO的位置关系，并说明理由. (2)过点B作O O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2 , O O的半径是3，求BE的长. 考点：切线的判定与性质. 专题：几何图形问题. 分析：(1)连接0D ,根据圆周角定理求出 / DAB+ / DBA=90 求出/ CDA+ / ADO=90 根据切线的判定推出即可； (2)根据勾股定理求出 DC，根据切线长定理求出 DE=EB，根据勾股定理得出方程， 求出方程的解即可. 解答：解：(1)直线CD和O O的位置关系是相切， 理由是：

16、连接OD, / AB是O O的直径， / ADB=90 / DAB+ / DBA=90 / / CDA= / CBD , / DAB+ / CDA=90 / OD=OA , / DAB= / ADO , / CDA+ / ADO=90 即OD丄CE , 直线CD是O O的切线， 即直线CD和O O的位置关系是相切； (2) / AC=2 , O O 的半径是 3, OC=2+3=5 , OD=3 , 在Rt CDO中，由勾股定理得： CD=4 , / CE 切 OO 于 D, EB 切O O 于 B , DE=EB , / CBE=90 设 DE=EB=x , 在Rt CBE中，由勾股定理得：

17、CE2=BE2+BC2, 则(4+x) 2=x2+ ( 5+3) 2, 解得：x=6 , 即 BE=6. 点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的 性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中. 4. (2013?德州)如图，已知OO的半径为1 , DE是O O的直径，过点D作O O的切线AD , C是AD的中点，AE交O O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1 )求AD的长； (2) BC是OO的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由. 考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质. 专题：计算题. 分析：(1)连

18、接BD，由ED为圆0的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到/ DBE为 直角，由BCOE为平行四边形，得到 BC与0E平行，且BC=0E=1，在直角三角形 ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可； (2)连接0B,由BC与0D平行，BC=OD，得到四边形 BCDO为平行四边形，由 AD为圆的切线，利用切线的性质得到 0D垂直于AD，可得出四边形 BCDO为矩形, 利用矩形的性质得到 0B垂直于BC,即可得出BC为圆0的切线. 解答：解：(1)连接BD , / DE是直径/ DBE=90 /四边形BC0E为平行四边形， BC / 0E, BC=0E=1 , 在R

19、t ABD中，C为AD的中点, BC=3aD=1 2 则 AD=2 ; (2)是，理由如下： 如图，连接 0B . / BC / 0D , BC=0D , 四边形BCD0为平行四边形, / AD为圆0的切线， 0D 丄 AD , 四边形BCD0为矩形， 0B 丄 BC , 则BC为圆0的切线. 点评：此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判 定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键. 5. (2013?荷泽)如图，BC是O 0的直径，A是O 0上一点，过点 C作O0的切线，交BA 的延长线于点 D，取CD的中点E, AE的延长线与BC的延长线交于点 P

20、. （1）求证：AP是O O的切线； （2）OC=CP , AB=6，求 CD 的长. 考点：切线的判定与性质；解直角三角形. 分析：（1）连接AO , AC （如图）欲证AP是O O的切线，只需证明 （2）利用（1）中切线的性质在 Rt OAP中利用边角关系求得 Rt BAC、Rt ACD中利用余弦三角函数的定义知 AC=2 . :, 解答：（1）证明：连接AO , AC （如图）. / BC是O O的直径， / BAC= / CAD=90 E是CD的中点， CE=DE=AE . / ECA= / EAC . / OA=OC , / OAC= / OCA . CD是O O的切线， CD 丄

21、OC . / ECA+ / OCA=90 / EAC+ / OAC=90 OA 丄 AP . T A是O O上一点， AP是O O的切线； （2）解：由（1）知OA丄AP . 在 Rt OAP 中，/ / OAP=90 OC=CP=OA，即 OP=2OA , OA丄AP即可； / ACO=60 .然后在 CD=4 . OA 1 / P=30 / AOP=60 / OC=OA , / ACO=60 在 Rt BAC 中，/ BAC=90 AB=6 , / ACO=60 又在 Rt ACD 中，/ CAD=90 / ACD=90ACO=30 CD= 第17页（共32页） 点评：本题考查了切线的判定

22、与性质、解直角三角形注意，切线的定义的运用，解题的关 键是熟记特殊角的锐角三角函数值. 6. ( 2013?聊城)如图，AB是OO的直径，AF是OO切线，CD是垂直于 AB的弦，垂足 为E,过点C作DA的平行线与 AF相交于点F, CDj = , BE=2 .求证： (1) 四边形FADC是菱形； (2) FC是O O的切线. 考点：切线的判定与性质；菱形的判定. 专题：压轴题. 分析： (1) 首先连接 OC,由垂径定理，可求得 CE的长，又由勾股定理，可求得半径 OC 的长，然后由勾股定理求得 AD的长，即可得 AD=CD，易证得四边形 FADC是平行 四边形，继而证得四边形 FADC是菱

23、形； (2) 首先连接 OF,易证得 AFOCFO，继而可证得 FC是O O的切线. 解答: 证明：(1)连接OC, / AB是O O的直径，CD丄AB , CE=DE=CD=4.；=2 二， 2 |2 设 OC=x , / BE=2 , OE=x - 2, 在 Rt OCE 中，OC2=OE2+CE2, x2= (x - 2) 2+ (2 二)2, 解得：x=4 , OA=OC=4 , OE=2 , AE=6, 在 Rt AED 中，AD=.-=4 . 一；, AD=CD , / AF是O O切线， AF 丄 AB , / CD 丄 AB , AF / CD , / CF / AD , 四边

24、形FADC是平行四边形， / AD=CD , 平行四边形FADC是菱形； (2)连接 OF, AC , 四边形FADC是菱形， FA=FC, / FAC= / FCA , / AO=CO , / OAC= / OCA , / FAC+ / OAC= / FCA+ / OCA , 即 / OCF= / OAF=90 即OC丄FC , 点C在O O上, FC是O O的切线. 点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三 角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应 用. 7. （ 2012?北京）已知：如图， AB是OO的直径，C是O

25、 O上一点，0D丄BC于点D ,过点 C作O0的切线，交 0D的延长线于点 E,连接BE . （1）求证：BE与O 0相切； (2)连接AD并延长交 BE于点F,若0B=9 , sin / ABC=：，求BF的长. 3 第25页(共32页) 考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形. 专题：几何综合题. 分析：(1)连接0C,先证明 OCE OBE，得出EB丄0B,从而可证得结论. (2)过点D作DH丄AB，根据sin / ABC=2，可求出 0D=6, 0H=4 , HB=5，然后由 ADHAFB，禾U用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长. 解答：证明：(1)连接

26、0C, / 0D 丄 BC , / C0E= / B0E , 在厶0CE和厶0BE中， OC=OB ZCOE=ZBOE , OEOE 0CEBA 0BE , / 0BE= / 0CE=90 即 0B 丄 BE , / 0B是O 0半径， BE与O 0相切. (2)过点D作DH丄AB，连接AD并延长交BE于点F, / / D0H= / B0D , / DH0= / BD0=90 ODH sOBD , 一 一丄 DH 0D BD 又 sin/ABC=2, OB=9 , 3 OD=6 , 易得 / ABC= / ODH , sin/ODH=2，即鱼 2, 3 OD 3 OH=4, - dh=Jod2

27、 oh虧, 又/ ADH s AFB , 地因 365 FB= ，1 g=T， | 13 | 点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切 线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用. (2)连接OC,设OP与OO交于点E,可以证得 OAP OCP，利用全等三角形 的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：/ OCP=90 即OC丄PC,即可等证. (1)猜想：OD / BC, od4bc . 证明：/ OD丄AC , AD=DC / AB是O O的直径, OA=OB 2 分 OD是厶ABC的中位线, OD BC , Of (2)证明：

28、连接 OC,设OP与OO交于点E. OD丄AC , OD经过圆心 O, AOE= / COE 在 OAP和 OCP中， OA=OC ZAOPZCOP , OP=OP OAP 也厶 OCP, / OCP= / OAP / PA是O O的切线， / OAP=90 / OCP=90 即 OC 丄 PC PC是O O的切线. 点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的问 题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题. 9. ( 2012?德阳)如图，已知点 C是以AB为直径的O O上一点，CH丄AB于点H，过点B 作O O的切线交直线 AC于点D，点E为CH

29、的中点，连接AE并延长交BD于点F,直线 CF交AB的延长线于G. (1)求证： AE?FD=AF?EC; (2)求证： FC=FB; (3)若FB=FE=2，求O O的半径r的长. 考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中 线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质. 专题：证明题；几何综合题；压轴题. 分析：(1)由BD是O O的切线得出 / DBA=90 推出CH / BD，证 AEC AFD，得 出比例式即可； (2) 连接 0C, BC,证 AEC AFD , AHE ABF，推出 BF=DF，根据直角 三角形斜边上中线性质得出CF=DF

30、=BF即可； (3) 求出 EF=FC,求出 / G= / FAG,推出 AF=FG ,求出 AB=BG ,求出 / FCB= / CAB 推出CG是OO切线，由切割线定理得出(2+FG) 2=BG G=2BG2，在Rt BFG中, 由勾股定理得出 BG2=FG2- BF2,推出FG2-4FG- 12=0，求出FG即可. 解答：(1)证明：/ BD是O O的切线， / DBA=90 / CH 丄 AB , CH / BD , AEC AFD , .AE_CE AT= DF， AE?FD=AF?EC. (2)证明：连接OC, BC , / CH / BD , AEC AFD , AHE ABF

31、, C E=AE AE=E H DF=AF，鼠 ef， CE AE= EH DF= AF= CE=EH （ E 为 CH 中点）， BF=DF, / AB为O O的直径， / ACB= / DCB=90 / BF=DF , CF=DF=BF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 即 CF=BF. （3）解：/ BF=CF=DF （已证），EF=BF=2 , EF=FC, / FCE=Z FEC, / / AHE= / CHG=90 / FAH+ / AEH=90 / G+ / GCH=90 , / / AEH= / CEF , / G=Z FAG, AF=FG , / FB 丄 AG ,

32、AB=BG , / BF 切 O O 于 B , / FBC= / CAB , / OC=OA , CF=BF , / FCB= / FBC , / OCA= / OAC , / FCB= / CAB , / / ACB=90 / ACO+ / BCO=90 / FCB+ / BCO=90 即OC丄CG, CG是O O切线， GBA 是 O O 割线，AB=BG （已证）， FB=FE=2 , 由切割线定理得：（2+FG） 2=BG AG=2BG 2, 在Rt BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2- BF2, FG2- 4FG - 12=0, 解得：FG=6, FG= - 2 （舍去）， 由

33、勾股定理得： AB=BG= J? _, O O的半径是2.1 点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综 合性比较强，有一定的难度. 10. (2012?黔南州)已知：如图，点 C在以AB为直径的O O上，点D在AB的延长线上, / BCD= / A. (1) 求证：CD为O O的切线； (2) 过点C作CE丄AB于E.若CE=2 , cosD=-，求AD的长. 考点：切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形.分析：(1)先连接CO,根据AB是O O直径，得出/ 1 + / O

34、CB=90 再根据AO=CO，得 出/ 1 = / A，最后根据/ 4= / A，证出OC丄CD，即可得出 CD为O O的切线； (2)根据 OC丄CD，得出/ 3+/D=90 再根据 CE丄AB，得出/ 3+ / 2=90 从而 得出cos/ 2=cosD，再在 OCD中根据余弦定理得出 CO的值，最后根据 O O的半径 为土即可得出AD的长. 2 解答：证明：(1)连接CO, / AB是O O直径 / 1 + / OCB=90 / AO=CO , / 1 = / A . / / 4= / A , / 4+ / OCB=90 即 / OCD=90 OC 丄 CD . 又/ OC是O O半径，

35、 CD为O O的切线. (2) / OC 丄 CD 于 C, / 3+ / D=90 CE丄AB 于 E, / 3+ / 2=90 / 2= / D . cos/ 2=cosD, 在厶 OCD 中，/ OCD=90 cos/ 吩， / cosD=2 CE=2, 5 2 = 4 CO， tanD= I T CO= :, O O的半径为上. OD= oc tanD 1 10 |1 3 AD= 35 点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆 心与这点(即为半径)，再证垂直即可，同时考查了三角函数的知识. 11. (2012?广安)如图，在 ABC中，/ ABC

36、= / ACB，以AC为直径的O O分别交 AB、 BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且 / CAB=2 / BCP . (1) 求证：直线CP是O O的切线. (2) 若 BC=2 !，, sinZ BCP= !l,求点 B 到 AC 的距离. 5 (3) 在第(2)的条件下，求 ACP的周长. 考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直 角三角形. 专题：几何综合题；压轴题. 分析：(1)根据 Z ABC= Z ACB 且 Z CAB=2 Z BCP,在 ABC 中 Z ABC+ Z BAC+ Z BCA=180 得到 2Z BCP+2 Z BCA

37、=180 从而得到 Z BCP+ Z BCA=90 证得直线 CP是O O的切线. (2) 作BD丄AC于点D，得到BD / PC,从而利用sin Z BCP=sin Z 求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4. (3) 先求出AC的长度，然后利用BD / PC的比例线段关系求得 CP的长度，再由勾 股定理求出AP的长度，从而求得 ACP的周长. 解答：解：(1) / Z ABC= Z ACB 且 Z CAB=2 Z BCP，在 ABC 中， Z ABC+ Z BAC+ Z BCA=180 2Z BCP+2 Z BCA=180 Z BCP+ Z BCA=90 又C点在直径上， 直

38、线CP是O O的切线. (2)如右图，作 BD丄AC于点D, / PC丄 AC BD / PC / PCB= / DBC BC=2 . ., sin/ BCP=d : 5 sin/ BCP=sin / DBC= 解得：DC=2 , 由勾股定理得：BD=4 , 点B到AC的距离为4. (3)如右图，连接 AN , / AC为直径， / ANC=90 亠CNCN V5 RtACN 中，AC=5， g 又 CD=2 , AD=AC - CD=5 - 2=3. / BD / CP, 二亠 在 Rt ACP fCP 2=25 3 AC+CP+AP=5+=20, ACP的周长为20. 点评：本题考查了切线

39、的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大. 12. (2012?黄冈)如图，在 ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆 O O,交AC于点D, 过点D作DE丄BC ,垂足为点 E. (1) 求证：DE为O O的切线； (2) 求证：BD2=AB ?BE . 考点：切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质. 专题：证明题. 分析：（1）连接0D、BD，根据圆周角定理可得 / ADB=90 继而得出点 D是AC中点， 判断出0D是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质得出/ ODE=90 这样可判 断出结论. （2）根据题意可判断 BEDBDC，从而可得BD2=BC?BE,将

40、BC替换成AB即 可得出结论. 解答：证明：（1）连接0D、BD，则/ ADB=90 （圆周角定理）， / BA=BC , CD=AD （三线合一）， 又/ AO=OB , 0D是厶ABC的中位线， 0D / BC , / / DEB=90 / ODE=90 即 0D 丄 DE, 故可得DE为O 0的切线； （2） / / EBD= / DBC , / DEB= / CDB , BED BDC , 匹型 BC-五， 又/ AB=BC , 昱型 忑-五， 2 故 BD =AB ?BE . 点评：此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，解 答本题的关键是得出点 D是

41、AC中点，求出/ ODE是直角，有一定难度. 13. (2011?芜湖)如图，已知直线 PA交OO于A、B两点，AE是O O的直径，点C为OO 上一点，且 AC平分/ PAE,过C作CD丄PA,垂足为 D. (1) 求证：CD为O O的切线； (2) 若DC+DA=6 , OO的直径为10,求AB的长度. P 考点：切线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理. 专题：几何综合题. 分析：(1)连接0C,根据题意可证得 / CAD+ / DCA=90 再根据角平分线的性质，得 / DCO=90 贝U CD为O O的切线； (2)过O作OF丄AB，则/ OCD= / CDA= / OF

42、D=90 得四边形 OCDF为矩形，设 2 2 AD=x，在Rt AOF中，由勾股定理得(5 - x) + (6 -x) =25,从而求得x的值， 由勾股定理得出 AB的长. 解答：(1)证明：连接OC, / OA=OC , / OCA= / OAC , / AC 平分 / PAE, / DAC= / CAO , / DAC= / OCA , PB/ OC, / CD 丄 PA, CD丄OC, CO为O O半径， CD为O O的切线； (2)解：过O作OF丄AB，垂足为F, / OCD= / CDA= / OFD=90 四边形DCOF为矩形， OC=FD , OF=CD . / DC+DA=6

43、 , 设 AD=x，贝U OF=CD=6 - x , / O O的直径为10 , DF=OC=5 , AF=5 - x , 在Rt AOF中，由勾股定理得 AF2+OF2=OA2. 即(5 -x) 2+ (6 - x) 2=25, 化简得 x2- 11x+18=0, 解得x仁2 , x2=9 . T CD=6 - x大于0,故x=9舍去, / x=2, 从而 AD=2 , AF=5 - 2=3, OF丄AB，由垂径定理知，F为AB的中点, AB=2AF=6 . 点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础 知识要熟练掌握. 14. (2011?凉山州)如图，

44、已知 ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交 AC于点F,点 E为 的中点，连接 BE交AC于点M , AD ABC的角平分线，且 AD丄BE，垂足为点 H. (1)求证：AB是半圆O的切线； (2 )若 AB=3 , BC=4，求 BE 的长. 考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质. 专题：几何综合题；压轴题. 分析：(1)连接EC, AD ABC的角平分线，得 /仁/ 2,又AD丄BE,可证/ 3=7 4, 由对顶角相等得 7 4= 7 5，即/ 3= 7 5，由E为的中点，得7 6= 7 7,由BC为直径 得 7 E=90 即 7 5+ 7 6=90 由

45、AD / CE 可证 7 2=7 6,从而有 7 3+ 7 7=90 证明结 论； （2）在Rt ABC中，由勾股定理可求 AC=5，由7 3= 7 4得AM=AB=3，贝U CM=AC -AM=2，由（1）可证 CME BCE，利用相似比可得 EB=2EC，在Rt BCE中, 根据 BE2+CE2=BC2，得 BE2+ （一一） 2=42，可求 BE . 2 解答: （1）证明：连接EC , / AD 丄BE 于 H ,7 1 = 7 2, 7 3= 7 4 （1 分） / 7 4= 7 5, 7 4= 7 5= 7 3, （2 分） 第29页(共32页) 又/ E为亦的中点， r=., /

46、 6= / 7, （ 3 分）， / BC是直径， / E=90 / 5+ / 6=90 又/ / AHM= / E=90 AD / CE , / 2= / 6= / 1 , / 3+ / 7=90 又/ BC是直径， AB是半圆0的切线；（4分） （2）解：/ AB=3 , BC=4, 由（1）知，/ ABC=90 ACm 苛二；=5（5 分） 在厶ABM 中，AD丄BM于H , AD平分/ BAC , AM=AB=3 , CM=2 （6 分） / 6= / 7 , / E为公共角， CME BCE,得 丄亠（7 分） EB CB 4 2，（ 2 2 2 ?-） 2=42, 解得BE= （8

47、 分） EB=2EC ,在 Rt BCE 中，BE +CE =BC , 点评：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的 运用关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出 相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解. 15. （2011?乐山）如图，D为O 0上一点，点C在直径BA的延长线上，且/CDA= / CBD （1）求证：CD是O O的切线； CD的延长线于点 E,若 BC=6 , tan/CDA=，求 BE 的长. 3 考点： 专题： 分析： 切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质. 几何综合题；压轴题.

48、(1) 连OD , OE,根据圆周角定理得到 / ADO+ /仁90 而/ CDA= / CBD , / CBD= / 1，于是 / CDA+ / ADO=90 (2) 根据切线的性质得到 ED=EB , OE丄BD，则/ ABD= / OEB，得到 tan/ CDA=tan / OEB= 二，易证 Rt CDOsRt CBE，得到一! =!亠，求得 BE| 3CB BE BE 3 CD，然后在Rt CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长. 解答： (1)证明：连OD , OE ,如图， / AB为直径， / ADB=90 即 / ADO+ / 仁90 又/ / CDA= / CBD , 而

49、/ CBD= / 1 , / 1 = / CDA , / CDA+ / ADO=90。，即 / CDO=90 CD是O O的切线； (2)解：/ EB为O O的切线, ED=EB , OE 丄 DB , / ABD+ / DBE=90 / OEB+ / DBE=90 / ABD= / OEB , / CDA= / OEB . 而 tan/ CDA=二， 3 tan/ OEB= / Rt CDO s Rt CBE , .CD=0D=QE=2 C B=BE=BE=3， CD 4 在 Rt CBE 中，设 BE=x , (x+4) 2=x2+62, 解得X=：. 2 即BE的长为世. 2 点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考 查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质. 16. ( 2011?广安