外接球专项训练带详细答案

1、一 .选择题外接球专项训练参考答案1、已知球0的半径为2,圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面,M和圆N的面积分别为2和，则| MN |A. 13 C . 2 D .,5【答案】【解析】由球心距与截面圆的半径之间的关系得di2d；R2R2di2d；8 3 5，故MNd12 d；5，应选 Do考点：球的几何性质及运算。2、在三棱锥 P ABC 中，AB BC, AB BC 2,PA PC 2, AC 中点为cosPMB33，则此三棱3锥的外接球的表面积为(A. 32【答案】【解析】C如图，易知BM AC21, PM22 1 ,3 ,由余弦定理可得PB_.,r3/3 232，因PB2 AB2PA2，

2、故 PBBA;同理PB2 CB2 PC2，故PB BC，所以P,代B,C是棱长为、.2的正方体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R 2，所以外接球的面积为 S 4 - 62 4应选C。考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。ABC的中心故0P詐233，当三棱锥的体积最大时，其高为PD2舟3 2.32;（）（亍）1，故三棱锥的体积的最大值为 丄 33422 13，应选A。33、球0的球面上有四点S,AB,C，其中O,A,B,C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面 SAB 面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为（)A.B .3,3C . 2、3 D.4【答案】A【解析】设球心和

3、ABC的外心为0 ,延长CO交AB于点P，则由球的对称性可知 PD AB，继而由面SAB 面ABC可得PDABC所在的平面，所以 PD是三棱锥的高；再由 O,A,B,C四点共面可知 0是考点：几何体的外接球等有关知识的运用【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内.3。容。本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，2屆先确定球心0的位置是三角形ABC的外心，再求外接球的半径R 2 3并确3定当PD为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为4、已知在三棱锥P

4、 ABC中，PA 面ABC， PC AB，若三棱锥 P ABC的外接球的半径是S ABCS ABPS ACP，则S的最大值是（A. 36 B . 28C . 26 D . 18【答案】D【解析】因为 PA 面ABC，所以PA AB , PA AC，又因为PC AB ,所以AB 平面PAC，所以AB AC , 所以有 AB2 AC2 AP2 （2 3）2 36 , 则由基本不等式可得S Sabc Sabp Sacp 1（AB AC AB AP AP AC） 1（AB2 AC2 AP2） 18 , 当 且仅当2 2AB AC AP时等号成立，所以S的最大值是36,故选D.考点：1.线面垂直的判定与

5、性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式，中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2） 将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3 ）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解.5、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）rMKI AVA. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为 2 2，表面积为4 （2 &）23

6、2，选 c.考点：三视图，外接球（一般为接、切点）或线作【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点截面，把空间问题转化为平面问题， 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程 （组）求解 6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，贝够几何体外接球的表面积为（）A.3193【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥2.如图所示，0为球心，F为等边三角形BCD的外心，由图可知 R2 OF2 CF2-3 219，故外接球面积为

7、1923123B考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 x ,常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心 ，可利用正弦定理来求若长方体长宽高分别为 a,b,c则其体对角线长为 a2 b2 c2 ;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心7、如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某四面体的三视图，贝【J该四面体的外接球半径为（）7.23、一 11 2.3【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正 MNP的边长为4.

8、 2 ,其外接圆的4（2半径A 3,同样正 M1N1R的外接圆的半径是 Q2 2 ,由球的对称性可知球心 O必在正方体的对角线AC 上,且 AOi hiCO2 h294 3卩，该球经过六个点M ,N,P,M1,N1,R ,设球心O到平面9M 1N1P1的距离为 d1 ;球心O到平面 MNP的距离为d2 ,而两个平面 MNP和Mf 之间的距离为d 43 (hih2)33 d1 d2,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得32 .2 2 2 .2 2 R d1 a , R d2 a所以 d| d12r12r228 ,即 d/d128 ,又d1d2-,将其代入 d|3d128 可得 d2d12、3,由

9、此可得d2 口，所以R2d； r222583311,所以外接球的半径3 333R 11,应选 C.M考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景 ，提供了一个三棱锥的几何体的三视图 ，要求求其外接球的半径， 是一道较为困难的难题难就难在无法搞清其几何形状，只知道是一个三棱锥(四面体)是没有任何用的通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正 MNP的边长为4 2 ,其外接圆的半径r1 4 2 ,2J2同样正 MF的外接圆的半径是r2,由球的对称性可知球心0必在对角线上，且经过六个点V3M,N,P,M1, N1,P1,设球心O到平面 MjNF

10、的距离为d1;球心0到平面 MNP的距离为d2,而两个平面MNP和MF之间的距离为d 4 3 (h1h2)433d1 d2,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得2.2 22.22 2.2R d1r1 , R d2 D,所以 d2 d122小r1r28 ,即 d； d128 ,又d1d2R4 3X ,将其代入3d； d12 8可得d2 d12-一 3,由此可得d2R2 d； r2225333311 ,所以外接球的半径R .11,其中计算h1, h2时可用等积法进行0的表面上，则球0的半径为& 一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球【答案】A【解析】球O的半径满足R（2）2诗3）2 R子考点：

11、外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线 作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的 几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解示，则此几何体的表面积是9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所A. 24 nC. 24 n + 4 - nD. 32 n答案：C10、已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB 2,SA SB SC 2,则三棱锥的外接球的球心到平

12、面ABC的距离是（A）(B) 1(C)J3【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC 2 ,S在面ABC内的射影为AB中点H ,SH 平面ABC , SH上任意一点到A, B,C的距离相等.Q SH 3 , CH 1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO，则O为S ABC的外接球球心.Q SC 2 SM 1 OSM 30so Aoh 33，即为O到平面ABC的距离，故选A.考点：球内接多面体；点到面的距离的计算.【名师点睛】（1） 一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何 体各元素之间的关系.(2) 若球面

13、上四点P, A, B, C中PA PB PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体 确定直径解决外接问题.(3) 一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上.11、 已知三棱锥S ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB 2,SA SB SC 2,则三棱锥的外 接球的球心到平面ABC的距离是()(A)(B) 1(C) . 3(D)匸3 2【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是()A. 17 B . 34 C . 17 34 D . 17 3423【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个

14、顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径为长方体对角线，即2R .32+32+42，表面积是4 R2 34 .选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线 作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的 几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.13、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 0的球面上， ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且 SC=2则此棱锥的体积为A 2B .3C .2 D .266

15、32【答案】A【解析】连接OA,OB,OC，则由已知得OA OB OC AB BC AC 1，可知三棱锥O ABC是棱长为1的正四面体，其高为上6 ,则三棱锥S ABC的高为红6 ,所以三棱锥S ABC的体积为331 仝 乂 .23 436 考点：三棱锥外接球.14、半径为1的三个球 A, B,C平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球D，由四个球心A, B,C, D构成一个新四面体，则该四面体外接球0的表面积为（）A. 24323243921 6923【答案】【解析】由已知条件可知,该四面体是底面边长为2的等边三角形，且侧棱长为3 该四面体外接球半径计算公式为Rx2 h22h ，中x

16、为底面外接圆半径，h为高本题4 23R 69969 g,S46R2 4空更竺4 23 2323考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥S ABC中，M是SC的中点，且AM SB,底面边长 AB 2、2，则正三棱锥S ABC的外接球的表面积为（）A. 6B. 12C. 32D. 36【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACL SB,结合SB丄AM得到SB丄平面SAG因此可得SA SB SC三条侧棱两两互相垂直. 最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积.取AC中点，连接 BN SN T N为AC中点，SA=SC二ACL SN,同理 ACL

17、BN T SNQ BN=N 二 AC丄平面 SBN SB 平面 SBN 二 ACL SB, v SB丄 AM且 ACQ AM=A SB丄平面 SAC? SB SA且 SBL AQv三棱锥S-ABC是正三棱锥， SA SB SC三条侧棱两两互相垂直.v底面边长AB 2、2, 侧棱SA=2,正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R 2.3 R 3,正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是 S 4 R212,故选：B.考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥 P ABC,在底面 ABC中，AB 1 A 60o,BC .3, PA 面ABC, PA 2.3 ,则此三棱 锥的外接球的表面

18、积为（）A. 16 B . 4、3 C .建 D . 163【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得AC 2 , AB2 BC2 AC2,满足勾股定理， ABC 900, PA 底面ABC,所以PA BC ,那么BC 平面PAB ,所以BC PB ,那么直角三角形 PAC, PBC有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点O, PC是其外接球的直径，PC 4,所以外接球的表面积S 4 R216 ,故选 D.考点：球与几何体17、已知直三棱柱C1 1C1的6个顶点都在球的球面上，若3, C 4,C ,1 12 ,则球的表面积为为()A. 153B 160C 169D 360

19、【答案】C【解析】由题意，三棱柱C !心!为直三棱柱，底面C为直角三角形，把直三棱柱C !心!补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，A所以外接球半径为 丄 42122213则三棱柱C 1 1C11外接球的表面积是4 R2 169 cm2.故选C.考点：几何体的外接球18、如图，ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体,S ABCD是高为1的正四棱锥若点 S， A-i, B), C1, D1 在同一个球面上，则该球的表面积为(A.9162549【答案】D16168116【解析】按如图所示作辅助线，0为球心，设OG, x，则0B_,SO 2 x，同时由正方体的性质知B1G1则在 Rt

20、OB1G1 中，0B；G1B12 OG2，即 2x22 ，解得x 7 ,所以球的半径R OB1 -，2 8 8所以球的表面积为S 4 R2 81 ，故选D.16考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式19、在平行四边形 ABCD中，AB BD , 4AB2 2BD2 1，将此平行四边形沿 BD折成直二面角，则三棱 锥A BCD外接球的表面积为（）A. _ B . C . 2 D . 42【答案】A【解析】因为平行四边形 ABCD中，AB BD，沿BD折成直二面角A BD C，所以三棱锥A BCD的1外接球的直径为 AC，且AC2 AB2 BD2 CD2 2AB2 BD2-,所以三棱锥A

21、 BCD的外接球的半径2为一2，所以三棱锥A BCD的外接球的表面积为4;故选A.4 16 2考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合.20、如图,在菱形 ABCD中,BAD 60o, AB23,E为对角线 BD的中点，将 ABD沿BD折起到PBD的位置，若PEC 120o,则三棱锥PBCD的外接球的表面积为（）A. 28B . 32.16.12【答案】【解析】设M,N分别是等边三角形PBD,CBD的外心，贝V O1N1,NC 2画出图象如下图所示，由图象可知， MO1N 120o, OO1N 60o,故 ON 1 tan60o .3 , R OC . ON2 NC23 4,7,外接

22、球面积为4 R24728考点：球的内接几何体.21、已知从点P出发的三条射线PA , PB , PC两两成60角，且分别与球0相切于A , B , C三点.若球0 的体积为36 n，则O, P两点间的距离为（）（A）3.2（ B）3 3（ C）3（ D） 6【答案】B【解析】连接0P交平面ABC于0，由题意可得:ABC和PAB为正三角形，所以OA因为AO PO, OA PA，所以 空 空，所以OP 0A 空 .30A 又因为球的体积为 36 ，所以半 OA AOAO径 OA 3，所以 OP 33 考点：点、线、面间的距离计算.【思路点睛】连接 OP交平面ABC于O由题意可得:OA由 AO PO

23、, OA PA可得OP 匕，根据球的体积可得半径 OA 3,进而求出答案.OA AO22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A, B, C, D 且 AB CD xBC DA y , CA BD z，则x2 y2 z2 等于（）A. 16【答案】B【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a,b, c，贝【J a2 b2 c2 22 4，根据题意，得y2 z2 2(a2 b2 c2) 8;故选 B.2 , 2 2,2 2 2 2 2 2 2a b x ,b c y ,a c z，贝9 x考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优

24、美的几何体. 它由完全相 同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上， 好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其 直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 当其正视图和侧视图完全相同时， 它的俯视图 可能是（ ）【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆， 所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选 B.考点：三视图.24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（A. 13 B 16 C 25D . 27【答案】C线长

25、为【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为4正方形高为3正四棱柱，故其对角I.32 42 5 2R,故该几何体的外接球的面积为 S 4 R2 25 ,选C.考点：三视图与几何体的外接球.25、如图，边长为 FD折起，使A, B,2的正方形 ABCD中，点E, F分别是边 AB, BC的中点 AED EBF, FCD分别沿 C三点重合于点A ,若四面体A EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（DE, EF,)A. 2C.【答案】【解析】因为折起后A,B,C三点重合，所以AE, AF,AD两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为1,1,2 的长方体的外接球，球半径 R满足4R2121

26、2226,R,故选D.2考点：几何体外接球的性质 26、已知三棱锥 S- ABC满足 SAL SB SB丄SC SCL SA 且 SA=SB=SC若该三棱锥外接球的半径为是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（)3A. 3B.2C3D.3【答案】D【解析】因为三棱锥SABC 中，SASB,SB SC, SCSA,且SA SB SC,所以三棱锥的外接球即为以SA SB, SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为 3 ,所以正方体的对角线长为 2 3 ,所以球心到平面ABC的距离为1乙! 一3，所以点Q到平面ABC的距离的最大值为 3二 4-3，故23333选D.考点

27、：球的性质及组合体的应用.27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表msA. 2020 53C . 25D . 25 5【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱柱为底面为顶角为23两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接2圆直径为4，半径为2，设该三棱柱的外接球的半径为R，则R222115，所以该三棱柱的外接.2sin球的表面积为S 4 R220 ，故选A.考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积.【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是 数学的基本功，空间想象能力是数

28、学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力.1的正方形，则此四面体的外接球的体积为28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为( )A.【答案】B【解析】由题意此四面体是棱长为 2的正四面体，其外接球半径为42 考点：三视图，外接球，球体积.【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：(1)正四面体的内切球，如图.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合;数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为h ;球的半径为R，这时有4R h丄6 a ;(可以利用体积桥证明)3（2）正

29、四面体的外接球，如图 5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为h ;球的半径为R，这时有4R 3h . 6a ；（可用正四面体 高h减去内切球的半径得到）A29、如图所示，在直三棱柱CC 中，C C， C2 , C 4，点 是线段 的中点，贝三棱锥C的外接球的体积是（）A. 36 B20.5【答案】A1【解析】由题意可知ma MB AB . 6 ,取AB的中点D ,连接MD,CD,在直角 MCD中，2MC . MD2 CD26 ,所以点M在平面ABC内的射影是 ABC的外心，即为 AB的中点，设三棱锥C的外接球的球心为 0,由球的截面性质可得 MD r 2 CD2 r2，即1 r 2 5 r2，解得r 3， 所以其外接球的体积为V 4 R336 ,故选A.3考点：棱锥与球的组合体及球的体积【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的