《数值计算方法》精彩试题集及问题详解资料

1、数值计算方法复习试题一、填空题:- T一4-10A =A =-14-11、 】0-14 一，则A的LU分解为- 一答案:14-10 1115/4-1-4/151 一56/15 一iA= -1/4:.03、fur -1, f(2) =2,彳二1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为 。答案：-1,L2(x) J(x -2)(x -3) -2(x -1)(x -3)-(x-1)(x -2)2 24、 近似值x* =0.231关于真值0.229有(2 )位有效数字；5、设f(x)可微,求方程x二f(x)的牛顿迭代格式是()；Xn - f(Xn)xn 申 _ xn _ 答案fX

2、)6 对 f(x)=x3x 7,差商 f0,1,2,3=( i ), f0,1,2,3,4 =()；7、 计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差；8、 用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分 n次后的误差限为b _a2* 1210、已知f(1) = 2,f(2) = 3,4)= 5.9,则二次Newton插值多项式中x系数为(0.15 )；11、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)12、为了使计算y =10 二 x_1 (x_1)6(X-1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为_y =10(3 (4 -6t)

3、t)t,t =为了减少舍入误差，应将表达式2-2001 - 一 1999 改写为 _ 20011999 _13、用二分法求方程f(x) =X3 X1 =0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.7514、3x +5x2 = 1求解方程组O2x1 +4X2 =0的高斯塞德尔迭代格式为申=(15x2k)/3(k41)v(k#)=-X1/20 该迭15、16、21、次丄代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=12设 f(0)=0, f(1) =16, f (2) =46，则 h(x) =_h(x) = -x(x-2)_, f(x)的二次牛顿插值多项式为

4、N2(x16x 7x(1)_ 求积公式bna f (x)dx ： 、Akf(Xk)k =0有(2n 1)次代数精度。如果用二分法求方程r 3XS(x) =1 ,的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,x3 x -4 =0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(入丿 I32(X1) +a(x1) +b(x1)+c 1 兰X 兰3 已知2a=(3)， b= (3)，c=(1 0( x), 1 1(x), 1 n (x)是以整数点 X0 , X1,n迟 Xk1 j(Xk) = x(1 )，心(j22、是三次样条函数，则1023、nL(x)=k=024、,Xn为节点的n瓦(X： +j )，当 n -

5、2 时 k=0Lagra nge插值基函数，则X：3)lk(x) =(42八x x 325、区间26、 改a,b】上的三次样条插值函数 S(x)在a,b 1上具有直到变函数f(x) X 7 - X ( X1 )的形式，使计算结果较12阶的连续导数。fXlx 1 X27、若用二分法求方程 次Of X = 0在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分10写出求=1 -1.6x2k=2 0.4x1k 1，解方程组k =01,，迭代矩阵为_x1 .6x2 二 1 -0.4Xi X2 = 2 的0 -1.6 0 一 0.64丿，此迭代法是否收敛收敛_。Gauss-Seidel 迭代公式482

6、-482U =016A25710032、设矩阵136的A = LU，则U =-2.33、若 f（X）=3 x4+ 2 x+1，则差商 f2,4，8,16,32 =39O-O31、设盼3丿，则A 二-1201511X =234、线性方程组-10一13 一的最小二乘解为T321_32们041033A =204002136、设矩阵】135 一分解为A = LU，则U =2 一二、单项选择题:1、Jacobi迭代法解方程组Ax = b的必要条件是C )。A A的各阶顺序主子式不为零(A) - 1C.a -0,i =1,2- ,nD.2-3112、设卩07_,A.2B.4、求解线性方程纟fi AxA.对

7、称阵B.C.任意阵D.5、舍入误差是（A )A.只取有限位数C.观察与测量6、3.141580 是n的有（A.6A05则(A)为(正定矩阵B.5C ).C.7的LU分解法中，A须满足的条件是（B各阶顺序主子式均不为零B.模型准确值与用数值方法求得的准确值D .数学模型准确值与实际值B ）位有效数字的近似值。C.47、用i+x近似表示e所产生的误差是( c)误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是 (A )A .控制舍入误差B .减小方法误差C.防止计算时溢出D .简化计算x9、用1+3近似表示3 1 x所产生的误差是(D )误差。A.舍入B .观测

8、C .模型D.截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A .5B .6C .7D .811、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )A.-0 . 5B . 0 . 5 C . 2D . -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A .3B .4C .5D .2 13、( D )的3位有效数字是 0.236X 102。(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A) 0.0023549 X 103(B) 2354.82 X 10-214、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x

9、)=0表示成x= (x),则f(x)=0的根是 (B )。(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y=，(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y=(x)的交点|3捲 - x2 4x3 = 1J - x1 2x2 _9x3 = 015、 用列主元消去法解线性方程组-4x3x2 x -1，第1次消元，选择主元为(A ) (A) 4(B) 3(C) 4(D) 916、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xnx(x x2)(x xn 1)(x xn)，(B)Rn(X)=f(X)-Pn(X)二f(

10、n 1)()(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,xx0)(x x1)(x x2)(xxn 1)(x xn)，Rn(X)-f(X)Pn(X)_f (半(&饰十(D)(n 1)!18、用牛顿切线法解方程f(x)=O，选初始值x0满足(A)，则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A) f (xo)f (x) 0(B)f(xo)f(x) 0(C) f(Xo)f (x) ：0(D) f (x。)f (x) ： 019、为求方程x3x2仁0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建 立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。2x(A),迭代公式：X

11、k 1x(B)1=12,迭代公式:xk 1x1=12Xk3(C)x二1 - x2,迭代公式:xk d2、1/3=(1Xk )(D)迭代公式：Xk 1 = 1 二 Xk +Xk +1(k卅)D (k)21、解方程组Ax =b的简单迭代格式x = Bxg收敛的充要条件是()。(1) (A) ：1,(B) 1,(3) (A) 1,(4) (B) 123、有下列数表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1) 二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次25、取込：T.732计算x = 3 -1)4，下列方法中哪种最好？()X11.522.5

12、33.5f(Xi)-10.52.55.08.011.5(A)28T6 ,3 ；(B) (4-2 3)2；(C) (4 2 3)2 ；(D) (- 3 1)4。27、由下列数表进行 Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()(D) 2。16 16(A)5 ；(B)4 ；(C) 3 ；29、计算 3的Newton迭代格式为()(A)Xk 1Xk丄3(B) Xk厂厅药；(C)Xk ； (D)3230、用二分法求方程x 4x -10 =0在区间 次数至少为()1 10 二1,2】内的实根，要求误差限为2 ，则对分(A)10 ；(B)12 ；(C)8 ；(D)9。32、设h（x）是以Xk =k

13、（k二0，3、（X! -X。）! -X2）表示在节点X1的二次（拉格朗日）插值基函数。（） 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。311-25 3），9）为节点的Lagrange插值基函数，则k =（）（A） X ;（ B） k ；（ C） i ；（ D） 1。35、已知方程x四、计算题: -2x -5 =0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在X。= 5丿具有严格对角占优不收敛的是（）36、由下列数据(C) xk 1xk -12 X； 5x01234f(x)1243-53匚二 xk - xk - 5 .(D)确定的唯一插值多项式的次数为 （）（A） 4

14、;（B）2 ;（C）1 ；（D）3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）2x2 x3 =11X 4x2 2x3 = 181、已知观察值（Xi，yi）（i二0,1,2,，m）,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn（x）时,Pn（x）的次数n可以任意取。2、用1- 2近似表示cos（产生舍入误差(X - X0 )( X - X2 )2x1x2 5x 22，取 x=（0,0,0）T ,迭代四次（要1、用高斯-塞德尔方法解方程组 求按五位有效数字计算）。答案：迭代格式x1k 1)= (11 2x2k)x3k)4J(18 xi(k *)4k(k)X1(k)X2x3k)000012.75003.8

15、1252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019= 】(22_2xi(k x2k )5x严2、已知Xi1345f (Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式p3(x)，并求f(2)的近似值(保留四位小数)。L(x)_2(x _3)(x _4)(x _5)6(x_1)(x_4)(x _5)答案：3(1-3)(1-4)(1-5)(3 -1)(3 - 4)(3 - 5).5(x-1)(x-3)(x-5) . 4(x-1)(x-3)(x-4)(4 -1)(4 - 3)(4 - 5)

16、(5 -1)(5 - 3)(5 - 4)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014P3(x)二 N3(x) =22(x -1) -(x 1)(x -3)(x -1)(x -3)(x -4)4Xi-2-1012f （Xi）421355、已知f（2） ： P3（2） =5.5求f(x)的二次拟合曲线P2(x)，并求f (0)的近似值答案：解:iXiyi2Xi3Xi4 XiXi yi2Xi yi0-244-816-8161-121-11-2220100r 0r 003131113342548161020E015100343415a0 +10a2 =1510印=3正规

17、方程组为JOa。+34比=4110311a。io,a214P2（X）dXx271014P2（x） 171x107f （0）： p2（0）诗6、已知sinx区间0.4，0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值答案：解：应选三个节点，使误差|R2（x） 口晋| 3（X）|尽量小，即应使3(X)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0-6,0.7最好，实际计算结果SinO.63891 ： 0.596274，且si

18、n 0.63891 -0.5962741兰一|(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3! 0.55032 10*7、构造求解方程ex 10x-2 =0的根的迭代格式Xn(Xn), n二0,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来，1 Xn .1 - xn卜：10 0答案解令 f (x) = ex 10x -2, f (0) = -2 ： 0,f (1) = 10 e 0.将方程且 f (x) =ex 10 0 对-x，(-：)，故 f(x) =0 在(0,1)内有唯一实根f (x) =0变形为x 十ex)则当(0,1)时X e10沽1故迭代格式收敛。取X

19、。=0.5，计算结果列表如下:n0123X0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 |x7-x6|E0.000 000 9510-6 所以 x 0.090525 0088、利用矩阵的LU分解法解方程组| x1 2x2 3x3 = 14* 2x +5x2 +2x3 = 183xi + X2 + 5x3 = 20L-。答案：解:IVi2 1L3 -5 1J231-4-24令 Ly = b得 y = (14,-10, 72)t , U

20、 x = y 得 x = (1,2,3)T9、对方程组3x1 2x210x3 = 15 10X 4x? X3 = 52x1 +10x2 4x3 = 8（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;（2）取初值x珂0,0,0），利用（1）中建立的迭代公式求解，要求| x（k 计）-x（k） |： ：10；解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优110x - 4x? - X3 = 5 2X + 10x2 -4x3 = 8 3X +2x2 +10x3 = 15 故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛迭代格式为(k 1)x2k4xk) xk) 5)4x3k) 8)x3k 1)吩一屮須1）15)取x

21、（）=（0,0,0）T,经7步迭代可得:x* ：- x二(0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)t10、已知下列实验数据Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据解：当 0xv1 时，(x)二 ex，则f(x)兰 e1且-0e dx有一位整数.要求近似值有5位有效数字,只须误差R(n)(f)今 10-4Ri(n)( f) (b)3.fe12n2，只要Ri(n) (ex) e12n2二一丄 10-412n2即可,解得n _ , e 102 = 67.30877 6所以n =68，因此至

22、少需将0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组1-11 I X1 丨-4 |5 4 3 X2 = -121jx 3J1 j解:-1-41-4-12_512-43-12-11-41 1 1143-12-5-43-121128013179555555131791280555 一555 一11回代得-43-121379555_551313X3 二 T，X2 = 6, X1 = 312、取节点Xo =0,X1 =0.5, X2 二1 ,求函数Xf(x)=e在区间0,1上的二次插值多项式(x)，并估计误差P2(x)二屮(xOx 1)e0.5(xOx-1)解：(0一0.5)(0一1)(0.5一

23、0)(0.5一1)ej (x 0)(x 一0.5)(1 -0)(1 -0.5)0 51= 2(x -0.5)(x-1)4e x(x1) 2e x(x0.5)f (x)二 e，f (x)二-eNmaxjf(X)卜1故截断误差|R2(x)|=|e-R(x)$3!|x(x-0.5)(x-1)| 015、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x=1.7,计算三次，保留五位小数。解：.3 是 f (x) =x2 -3 = 0 的正根,f (x) =2x，牛顿迭代公式为x -3Xn 1 二 Xn -2Xn ，即Xn 1 二号二(n =0,1,2，)2 2xnn123xn1.732351.732051.73205

24、取X0=1.7,列表如下:16、已知f (-1)=2, f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1, 5)的近似值, 取五位小数。(x1)(x2)(x+1)(x2)(x + 1)(x1)L2(x)=234 -解：(-1-1)(-1-2)(1 1)(1 - 2)(2 1)(2-1)2 34(x-1)(x-2) (x 1)(x-2) (x 1)(x-1)3 231f(1.5)和 L2(1.5)=一壯 0.041672430(51-31X2-118、用Gauss-Seide迭代法求解线性方程组-14丿X3丿=C8取x()=(0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。

25、解：Gauss-Seide迭代格式为:x(-x3k)+5)3X严)x3k)1)3x3k4l) J(-XiWx2屮-8)_31系数矩阵J0 1-31-14严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x（0）=（0,0,0）T，列表计算如下:k(k)X1x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（8分）用最小二乘法求形如 a bx?的经验公式拟合以下数据:Xi19253038yi19.032.349.073.3at_11 11 1A冷92252312382 一解方程组atac =aty-43391atA= I

26、其中33913529603J2解：=span1,x yT 二 19.0 32.3 49.0 73.31AT?736 1$79980.7 一a = 0.9255577， b = 0.0501025对应迭代格式Xn 1迭代格式Xn1 =x； -1。判断迭代格式在X。二5的收敛性,一 0.9255577解得：-0.0501025所以322、（ 15分）方程x - x-1=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式Xn+=M+ 丄3V Xn ；（ 3）X = X T 对应选一种收敛格式计算 x = 1.5附近的根,精确到小数点后第三位。解:（ 1）1(X) =3(x 1)3Pr(1.5 =

27、0.18 ： 1，故收敛;(2):(x)二 2xM+!/ x (W二3仿1，故发散。x1 =1.3572 x2 =1.3309 X3 =1.3259 x4 ? ? ?x6 =1.3247201,故收敛;2(3)： (x) = 3x选择（1）：X。51.5= 1.3249X5= 1.32476-43124 1A =34-1f =30-14 一,1-2423、（ 8 分）已知方程组AX = f，其中（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。xf1) =】(24-3x2k)4解：Jacobi迭代法:(2X1)冷(30-3xi(k)

28、 x3k)xf 】(-24 x2k)4k 123,乂严=(24_3x2k)4用扣。3x1)+x3k)xjf =(_24 + x25)4Gauss-Seidel 迭代法：、k = 0,1,2,3,Bj D，(L +U) = -3/丨0- 00 % 0.(Bj)二.58(或罟)= 0.790569115的近似值，并利用余项估计误差。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136=10.72275551_)015-100/15-121115-1443!U310

29、0526815 6 29 ： 0.0016333、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:x4x22x3 =24 3x + x2 +5x3 = 342捲 +6x2 + x3 = 273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687512.0000,3.0000,5.0000 T1 3)5、IX1 11 22J 1丿N丿的最小二乘解。z36 X1 l0 A(A A x = Ab6 14 丿込2丿l2丿34、（8分）求方程组若用Householder变换，则:x 二-1.33