基本不等式题型归纳

1、基本不等式题型归纳【重点知识梳理】1基本不等式：.ab -_-2(1) 基本不等式成立的条件：a 0, b 0.(2) 等号成立的条件：当且仅当a b时，等号成立.2 几个重要的不等式：22b a(1) a b 2ab ( a, b R);(2) 2 ( ab 0);a b(3) ab (復b)ab2、已知x 2y 1，则2x 4y的最小值为 3、设0 x 3，则函数y 4x(5 2x)的最大值为 ( a, b R) ；(4) 2(a2 b2) (a b)2 ( a,b R).3 算术平均数与几何平均数设a 0, b 0，则a,b的算术平均数为 已上，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个

2、正数的算2术平均数不小于它们的几何平均数.已知a 0,b0，则(1)如果积ab是定值p，那么当且仅当ab时，ab有最小值是2P(简记:积定和最小)(2)如果和ab是定值p，那么当且仅当a b时，ab有最大值是2P(简记：和疋积最大)4 利用基本不等式求最值问题4题型一览4、若x0，则x4的最小值为x;若x 0，贝U x -的最大值为x5、若x2，则x1的最小值为x 21;若x 2，则x 的最大值为x 2若函数f(x)x a处有最小值，则a6、已知a,b R，且2a b 2，则 1 a-(基上)的最小值为b ab，此时a,b的值分别是7、已知x 0 , y 0 ,- 丄 2 ( x 2y 2xy

3、或x 2y 2xy 0 )，则x 2y的最小值为 x y8、已知a 0,b 0，如果不等式- m 恒成立，那么m的最大值等于 a b 2a b9、几个分式的变形:(1)若x 0，则函数yx 1的最小值是x92 1 7，9当且仅当(x 2)，即x 1时取等号,x 22故函数y -竺5 (x 0)的最小值为7x 22(2)已知t 0,则函数yt分析：因为 x y 1，所以 x 1 y 13，即(x 1) (y 1)1， 4t 1的最小值为t2x +5x+15(3)函数y二(x 0)的最小值为x 2分析：变形得y今宁1 1 1 1 1 所以()1(x 1) (y 1) (x 2)： ； 2 9 (x

4、 2)代1 22) xa2 b2(4)已知b a 0 , ab 2，则a一的取值范围是 a b解:(a 川 2ab (a b)2 因为非负实数x, y，所以x 10,y 10, (a b)丄(b a)亠 4a ba ba ba bb a(5)设 f(x)x 4则f (x)的最大值为(6)已知a 0,b0，贝U a2 3ab b2的最小值是a2 2ab b2(7)已知a,b都是负实数，则a 2b的最小值是a b解： aba2 2ab 2b2a 2b a b a2 3ab 2b21 a_2 2a 3ab 2b1 1 ，a 2b 3b aa 竺 3 22 3,4的最小值为y 1b aa 2b a b

5、10、( 1)已知非负实数 x, y满足x y 1，则丄x 11y14(x1)14 3x1y1当且仅当LA4(X 12，即 y12(x1),x 1 y 11cy 14(x 1)、1 、9J5 2,:(5 4)33 .;x 1 y 133x 0,y1时取等号，所以14的最小值为3x 1y 128(2)已知实数x, y满足x y 0,且x y1 2 1，贝y的最小值为2 x 3y x y解：【法一】由题知(2)已知x,y均为正实数，x3yxy 9，则 x3y的最小值为解:因为x, y均为正实数，所以x 3y xy3y 1x3y x 3y 1 ()2，33212、(1)若正实数x, y满足xxy1，

6、则y的最大值是解:xy1，得1(xy)2xy，(xy)2 1 xy 1 S，41尹 3y) (x y)，则(x 3y) (x y) 12 1 2 1()(x 3y) (x y)x 3y x yx 3y x y3 (2(x y)x 3yx 3y) 3 22x y【法二】令 x y t， x 3y s ( t 0,s0)1 1则x 4(s 3t)，y 4(s t)，由xy1，可得s t21，则212 1212ts(-)(s t) 3 (- -)3 2，x3yx ys ts ts t当且仅当s2t 2、-时，等号成立11、( 1)已知x, y均为正实数，且 xy x y 3，则xy的最小值为解：因为

7、x, y均为正实数，所以x y 2 xy， xy x y 3可化为xy 2 xy 3，即G. xy 3)(. xy 1) 0，所以, xy3,xy 9,故当且仅当x y时，xy取得最小值9(2)设x,y为实数,若4x2xy1，则2x y的最大值是解：由4x2xy 1 得 14x2xy (2x y)2 3xy (2x y)2- 2x y21(2x y)3 2x y 23(亍)5-(2xy)213、若 x, y(0,2且xy 2，使不等式a(2x y) (2x)(4 y)恒成立，则实数a的取值范围为a 2C. a分析:由 x, y (0,2,xy 2 ,(2x)(4 y)2x y102 2x y2

8、x y102x y又2x2、跖4 由，二 a1，选 D .214、0,b4，则下列不等式恒成立的是(分析:ab因为C.ab 2a2 b20利用基本不等式有2”；ab4,ab当且仅当a b时等号成立，C错；由,ab2得,1aba2 b2 (ab)22ab 168，当且仅当a b时，等号成立，D正确;bab当且仅当ab时等号成立,B错；综上可知，选D .15、设正实数2x, y,z满足x3xy4y2翌取得最大值时,z-的最大值为x y z答案：由3xyz1，当且仅当x1y(2013天津理b2 ,设a14)bxyzx2x24y23xy 4y2,0得z2y时等号成立，此时z 2y216、解:因为a所以1 = 22|a|a|ba b22|a|a|b0时,12|a|a|bb4|a|4，+1,4|a|号取得最小值.a3 ilai 3当a 0时，+