几种常用连续型随机变量

1、几种常用的连续型随机变量 给出一个新概念：广义概率密度函数。设连续型随机变量 的概率密度函数为 (x), 那么任何与之成正比的函数 f(x)(x), 都叫做 的广义概率密度函数 , 或者说 , 一个函数 f(x)是 的广义概率密度函数 , 说明存在着一实 数 a, 使得(1)(x)=af(x)而知道了广义概率密度函数 , 的概率密度函数就可以根据性质(x)dx 1, 求出将(1) 式代入得 :(x)dx af(x)dx 11则af (x)dx因此 , 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了 . 因此也不必关于那个常数是什么4.4 指

2、数分布 指数分布的概率密度函数为(x)exx0 其它它的图形如下图所示它的期望和方差如下计算0xe x0E x (x)dx x e xdx xd e00x1e xdxeE 2 x2 (x)dx x2 e xdx x2d e x002| 2xe xdx 2 E00D E 2 (E )22122指数分布常用来作为各种 寿命 分布的近似4.5 -分布如果一个随机变量只取正值 , 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方 xk乘上指数函数 e-,x 即f (x)kxxe0x 0(k 1, 0) 其它那么就称 服从 -分布了 . 上式中之所以要求 k-1, 0, 是因为广义积分f (x)dxxk

3、e xdx0只有在这种条件下才收敛 .此外 , 传统上为了方便起见 , 用另一个常数 r=k+1, 因此广义概率密度函数写为f (x)xr 1e xx 0(r 0, 0) 其它而真实的概率密度函数 (x)=af(x), 可以给出常数 a 由下式计算1axr 1e xdx这样 , 计算的关键就是要计算广义积分0xr 1e xdx, 作代换 t=,x 则 x=t/, dx=dt/, 01xe dx1 dt1 r 1 trtr 1e tdt ,问题就转成怎样计算广义积分 tr 1e tdt, 这个积分有一个参数 r0, 在 r 为一些特定 0的参数时 , 如当 r=1时, 上面的广义积分还是可以计算

4、的 , 但是当 r为任意的正实数时 , 此广 义积分就没有一般的公式 , 一般的原函数表达式 . 在这种情况下数学家常用的办法就是定义 一个新的函数 . 比如说 , 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示 , 因此就发 明了 sin, cos这样的记号来代表三角函数 . 同样 , 上面的广义积分的取值只依赖于参数 r, 每 给定一个 r 值就有一个积分值与之对应 , 因此也可以定义一个函数 , 叫 -函数 , 定义为(r)t r 1etdt因此, 分布的概率密度函数的形式为(x) (r)xr 1e xx 0(r 0, 0)记作 (,r)其它函数的一个重要性质是(r 1)r (r) (

5、r0)成立证:(r 1)tre tdttrde tt re te tdtrrt r 1e t dt r (r)上式用到了定积分的分部积分公式budv uv|avdu此外, (1)=1, 因 (1)t1 1e tdtte t |0 1则 (2)=(1+1)=1, (3)=2 (2)=2, (4)=3 (3)=3 21=3! ，般地有 (n 1) n!-分布的数学期望和方差计算如下r0x (r) x e dxxr e xd( x)0 (r)E2x20(r) 0tre tdt (r 1) r(r)(r)r1 xr 1e xdx 12 0 ( x()rr)1e xd( x)1 r 1 t (r 2)2

6、 (r) 0 t e dt 2 (r)(r 1)r (r)(r 1)r2 (r)D E 2 (E )22(r 1)r r r当 r=1时, -分布就是指数分布 , 当 r 为正整数时 ,(x) (r 1)!其它为 r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布 (Erlang ), 在排队论中用到 , 如 , 在接完一个电话之后又 接了 r 次电话所需要的时间 , 在设备出了一次故障之后又出了 r 次故障的时间 .当 r=n/2(n 是正整数 ), =1/2 时 ,nx1 2 1 2nx 2 e 2 x 0(x) 22 (n)0 2 其它称为具有 n个自由度的 2-分布 , 是数理统计中最重要的几个常用统计量之

7、一 . 一个重要结论 , 当有若干个参数 都相同的相互独立的服从 -分布的随机变量相加得到 新的随机变量 , 则此新的随机变量也服从 -分布, 其 参数仍然不变 , 而 r 参数则是各个随 机变量的 r 参数相加 .即如果 1(,r1), 2(,r2), ,n(,rn)两两相互独立 , 则 =1+2+n(,r1+r2+rn)此性质最常用到的地方 , 就是当有 k个相互独立的服从自由度为 n1,n2,nk的 2-分布的 随机变量 1,2, ,k 相加得到的随机变量 = 1+2+k 服从自由度为 n=n1+n2+nk 的 2- 分布标准正态分布4.6 正态分布 正态分布也叫高斯分布，是最常用 的一

8、种分布，用来描述许多误差或者大 量随机变量之和的分布。x2在讨论正态分布之前，先讨论标准 正态分布。说随机变量 服从标准正态 分布，是指它的概率密度函数为0(x)证明 0 (x)dx 1如下：10(x)dx21 e 2 dxx令 u ,dx 2du , 则12上式= 1e u2du上式利用了普阿松广义积分公式e x dx普阿松积分公式的证明：假设 I e x dx则I2x2y2e x dx e y dy22e (x2 y2 )dxdy积分范围在整个平面，作极坐标变换，令x rcos , y rsin ,dxdy rdrd2r2 1 r 2 上式= e r rdrd 2 e r | 0 0 2 0因此 I由于 0(x)为偶函数 , 因此 E=0,x2e 2 dx利用定积分的分部积分公式budv uvaba vduax 2x2令v e 2 ,则 dv xe 2Dx222ex22|x221 e 2 dx 12因此标准正态分布的数学期望为 0, 方差为 1.一个一般定理 , 如果 (x), =+x, 0, 则 E=E+, 的分布函数为xxF (x) P x P x P F ( )对两边求导得