《二项式定理》教学设计

1、二项式定理教学设计课 题二项式定理时 间2011.3【课型】： 新 授 【课时】： 1 课时本 节 课 的 性 质 地 位 及 作 用二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式 二项式的 乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下 的作用 .学习本小节的意义主要在于：（1） 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一 二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识 .（2） 由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识 .（ 3） 基于二项

2、式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用 .（4） 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法 .学 情 分 析（1）学生已经学会了（ a+b）2 （a+b）3的展开式，但不知道（ a+b）n （n3,n为整数）的展 开式。（2）该班学生在学习上具有坚毅、勤奋、刻苦的优良品德，自主学习数学的热情很高。教 学 目 标识技目 知与能标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些 指定的项 .过程 与方 法目 标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力 .情感 态度 价值 观目 标激发学生学习

3、兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论 联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识 .教 学 重教学 重点二项定理的推导及运用点教学难点难点（1）二项式定理及通项公式的运用（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别教学过程设计教教学手设计宗学段与方教师教授活动学生学习活动旨与意内法图容【创设问题情境】今天是星期天， 15 天【回答】15 天和 30 天后（1）星后是星期几， 30 天后， 8100 天后呢？【思考】8100 天后是星期几？期几以 7 为周期 计算（2）【问题 1】： （ a+b） 2 =（ a+b）（ a+b） 的展8100开式

4、有多少项？=(1+7) 100启为引入发（a+b）n提做准备问【问题 2】：亲自展开为后面新( a+b)3 =( a+b)( a+b)( a+b) 的展开式有多的证明少项？做准备课【问题 3】：（ a+b） 4=（ a+b）（ a+b）（ a+b）（ a+b） 的展开式有多少 项？ 你能准确的写出这些项吗？学【启发类比】 4 个袋子中各有红球 a 白球理解袋子和括号的相同点为证明b 各一个，每次从 4 个袋子中各取一个球，二项式有什么样的取法？ 各种取法有多少种？定理做在 4 个括号（袋子）中铺垫（ 1）若每个括号都不取 b习讲授只有一种方法得到 a4,即 种。探 究（2）若只有一个括号取 b

5、 共有种方法取到 a4b。（3）若只有两个括号取 b 共有种方法取到 a2b2。（4）若只有三个括号取 b 共有种方法取到 a1b3。（5）若只有四个括号取 b 共有种方法取到 a0b4。新课 学 习引导学生发现： 原始展开式中确实有同类 型存在，且可合并因此：【问题 4】：的合并后的展开式中 的系数是多少？有何理由？根据 展开式归纳这是后 面证明 的关键那么该如何轻松清 晰的将 展 开？请同学们归纳猜想。学生很轻松的根据前面的过程写出其展开式合 作 探 究【证明思路】：主要运用数学计数原理（1）展开式中为什么会有哪几种类型的 项？（2）展开式中的各项的系数是怎么得来 的？学生根据袋子中取球的

6、例子回答。讲授【板书】 ：一般的对于任意正整数 n 下面 的关系式成立：说明：（ 1）公式的左边叫二项式，右边 叫二项展开式（2）二项式中的 a，b 只是一种符号，可 以是任意的数或者式子， 只要是两项和的 n 次幂的形式都可以用二项式定理展开。归纳展开式的特点：（1 ）项数是 n+1 项（2）系数 都是组合数 ,依次为 C ,C ,C , ,C（3） 指 数 的 特 点 a 的 指 数 由 n 0（降幂 ）。b的指数由 0n（升幂） 。a和 b 的指数和为 n 。（1） 板 书 的示范 作用（2） 归 纳 出系数 的特点 才能记 住二项 式定理【学以致用】 ：你现在能知道 8100 天后是

7、星期几吗？（星期四）学生会很快得出8100=（1+7） 100 展开进行计算【例 1】求（ 1+2i ）5的展开式学生先练，二项式老师后讲定理的（1+2i）5=C +C 2i+C （2i） 2+直接应例=1+10i-40-80i+80+32i用启=41-38i（完整板书）题【例 2】若（ 1+2x ）7分清本题的由这个发2 3 4 5 6 7=a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x +a6x +a7x ，求各项的系数恒等式（1）展开式中各项系数和。和 和 二 项a，b 取值（2）a0+a2+a4+a6 的值。式的系数和的任意讲解：（ 1）利用赋值法，令 x=1 ，得的区别性，我们讲

8、（1+2）7可以令=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （1）a，b 分别令 x=-1 ，取一些练（1-2）7不同的授=a0+a1 -a2+a3-a4+a5 -a6+a7=-1（ 2）值来解（1）+（2），得决某些2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186问题，这即 a0+a2+a4+a6=1093就是我（完整板书）们所说的 “赋 值法”。【练习】：根据式子的赋值法启特点用平方的应用（+2x ） 3=a0+a1x+a2x2+a3x3，差公式展发求（ a0+a2）2-（a1+a3）2 的值。开，发现是答案： -1正负交替出现，自然想到赋值，令（学生书写）x=1 和 x=-1进行求解。（ 1）这个式定理的【例 3】： 求 1-90C +（ -1） k90C + +90C 除以子是二项式逆向应板书设计88 的余数。解： 1-90C + +（-1） k90C +90C =（ 1-90）=（ 88+1）1010=C 8810+C 889+ C 88+C所以原式除以 88 的余数为 1（学生书写）1 本节主要学习了 二项式定理的展开式的特点和证 明方法。2 学习了二项式定理在解题中的应用。 其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应