2020-2021学年数学北师大版选修2-1课时作业：第二章空间向量与立体几何 综合测试 Word版含解析

1、单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1设a(x,4,3)，b(3,2，z)，若ab，则xz(b)a4 b9c9 d.解析：ab，.x6，z.xz9.2如图所示，已知四面体abcd，e，f，g，h分别为ab，bc，cd，ac的中点，则()(c)a. b.c. d.解析：()()，又，().3已知a，b，c是空间中的一个基底，则可以与向量ab，a构成基底的向量是(d)ab ba2bcab dbc解析：本题主要考查向量共面的条件因为向量b，a2b，ab均与向量ab，a共面，而向量bc与向量ab，a不共面，故选d.4若向量a，b的坐标满足ab

2、(2，1,2)，ab(4，3，2)，则ab(b)a5 b5c7 d1解析：本题综合考查向量的坐标运算以及数量积运算因为ab(2，1,2)，ab(4，3，2)，所以a(1，2,0)，b(3,1,2)，所以ab1(3)(2)1025，故选b.5已知点a(0,1,0)，b(1,0，1)，c(2,1,1)，点p(x,0，z)若pa平面abc，则点p的坐标为(c)a(1,0，2) b(1,0,2)c(1,0,2) d(2,0，1)解析：由题意知(1，1，1)，(2,0,1)，(x，1，z)因为pa平面abc，所以(1，1，1)(x，1，z)0，即x1z0；(2,0,1)(x，1，z)0，即2xz0.联立

3、解得x1，z2，故点p的坐标为(1,0,2)6如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成的角的余弦值为(d)a. b.c. d.解析：以d为原点，以，方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则a(1,0,0)，m(1，1)，c(0,1,0)，n(1,1，)(1，1)(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|.则cos，.7若正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则直线a1c1到平面acd1的距离为(b)a1 b.c. d.解析：易知a1c1平面acd1，则点a1到平

4、面acd1的距离即为直线a1c1到平面acd1的距离建立如图所示的空间直角坐标系，易知(0,0,1)，平面acd1的一个法向量为n(1,1,1)，故所求的距离为|.8已知正四面体abcd的棱长为a，点e，f，h分别是bc，ad，ae的中点，则的值为(c)a.a2 b.a2c.a2 d.a2解析：如图所示，正四面体abcd的棱长为a，点e，f，h分别是bc，ad，ae的中点，|a，|a，|a，|a，cos，|cos，aaa2.9已知a(0,0，x)，b(1，2)，c(x，2)三点，点m在平面abc内，o是平面abc外一点，且x2x4，则与的夹角为(c)a. b.c. d.解析：本题考查空间向量基

5、本定理与向量的夹角由a，b，c，m四点共面可知x2x41，x1，a(0,0,1)，c(1，2)，(1，1)，(1，1)，cos，即与的夹角为.故选c.10在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m是aa1的中点，则点a1到平面mbd的距离是(a)a.a b.ac.a d.a解析：以d为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0,0,0)，b(a，a,0)，m，a1(a,0，a)(a，a,0)，.设平面bdm的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，得x1，y1.n(1,1,2)，n0.a1到平面bdm的距离为d|n0|a.11正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面内的投影，p为侧棱sd

6、的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角是(a)a30b45c60d75解析：如图，以 o为坐标原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，所以，n60，所以直线bc与平面pac的夹角为906030.12如图，在四面体pabc中，pc平面abc，abbccapc，那么二面角bapc的余弦值为(c)a. b.c. d.解析：如图，作bdap于点d，ceap于点e.设ab1，则易得ce，ep，pap

7、b，可以求得bd，ed.，2222222，.cos，故二面角bapc的余弦值为，选c.二、填空题(每小题4分，共16分)13已知空间向量s，r不共线，若向量atsr，bst2r，a与b(b0)共线，则实数t的值为1.解析：a与b(b0)共线，则存在实数，使得ab，即tsr(st2r)，由s，r不共线，得解得14已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)，若|a|，且a分别与，垂直，则向量a(1,1,1)或(1，1，1)解析：设a(x，y，z)，由题意得解得或a(1,1,1)或a(1，1，1)15如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，底面是以abc为直角的等腰三角形，a

8、c2a，bb13a，d是a1c1的中点，点e在棱aa1上，要使ce平面b1de，则aea或2a.解析：建立如图所示的坐标系，则b1(0,0,3a)，d(，3a)，c(0，a,0)设e的坐标为(a,0，z)，则(a，a，z)，(a,0，z3a)由已知，2a2z23az0，解得za或2a.aea或2a.16如图(1)是一副直角三角板现将两三角板拼成直二面角，得到四面体abcd，如图(2)所示下列叙述：0；平面bcd的法向量与平面acd的法向量垂直；异面直线bc与ad所成的角为60；直线dc与平面abc所成的角为30.其中正确的是.(填序号)解析：以b为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向建

9、立空间直角坐标系，如图所示设bd2，则b(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,2，0)，a(0，)，(2,0,0)，(0，)，(0,2，0)，(2，)，(2，2，0)，(2,0,0)(0，)0，正确；平面bcd的一个法向量为n1(0,0，)，平面acd的一个法向量为n2(，1,1)，n1n20，错误；|，错误；平面abc的一个法向量为(2,0,0)，|，故正确三、解答题(共74分)17(本题满分12分)已知a(3,5，4)，b(2,1,2)求：(1)ab；(2)a与b夹角的余弦值；(3)确定，的值使得ab与z轴垂直，且(ab)(ab)77.解：(1)ab(3,5，4)(2,1,2)3251

10、(4)23.(2)|a|5，|b|3.cosa，b.(3)取z轴上的单位向量n(0,0,1)，ab(5,6，2)依题意，得即化简整理，得解得18(本题满分12分)如图，三棱柱abca1b1c1中，m，n分别是a1b，b1c1上的点，且bm2a1m，c1n2b1n.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若bac90，baa1caa160，abacaa11，求mn的长解：(1)()，又a，b，c，abc.(2)abacaa11，|a|b|c|1.bac90，ab0.baa1caa160，acbc，|2(abc)2(a2b2c22ab2ac2bc)，|.19(本题满分12分)如图，在六面

11、体abcda1b1c1d1中，四边形abcd是边长为2的正方形，四边形a1b1c1d1是边长为1的正方形，dd1平面a1b1c1d1，dd1平面abcd，dd12.求证：(1)a1c1与ac共面，b1d1与bd共面；(2)平面a1acc1平面b1bdd1.证明：由题意可知，da，dc，dd1两两垂直以d为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则有d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，a1(1,0,2)，b1(1,1,2)，c1(0,1,2)，d1(0,0,2)(1)(1,1,0)，(2,2,0)，(1，1,0

12、)，(2，2,0)，2，2.与平行，与平行，a1c1与ac共面，b1d1与bd共面(2)(0,0,2)(2,2,0)0，(2,2,0)(2,2,0)0，即dd1ac，dbac.又dd1与db是平面b1bdd1内的两条相交直线，ac平面b1bdd1.又ac平面a1acc1，平面a1acc1平面b1bdd1.20(本题满分12分)如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值解：(1)证明：易知，ab，ad，aa1两两垂直如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x

13、轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为acbd，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即acb1d.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则sin|cosn，|.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.21(

14、本题满分13分)如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为1的菱形，abc，oa底面abcd，oa2，m为oa的中点，n为bc的中点(1)证明：直线mn平面ocd；(2)求异面直线ab与md的夹角的大小；(3)求点b到平面ocd的距离解：作apcd于点p.如图，分别以ab，ap，ao所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系a(0,0,0)，b(1,0,0)，p(0，0)，d(，0)，o(0,0,2)，m(0,0,1)，n(1，0)(1)证明：(1，1)，(0，2)，(，2)设平面ocd的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0，mn平面

15、ocd.(2)设ab与md的夹角为.(1,0,0)，(，1)，cos.ab与md的夹角为.(3)设点b到平面ocd的距离为d，则d为在向量n(0,4，)上的投影的绝对值由(1,0，2)，得d，点b到平面ocd的距离为.22(本题满分13分)如图，在四棱锥pabcd中，已知pa平面abcd，且四边形abcd为直角梯形，abcbad，paad2，abbc1.(1)求平面pab与平面pcd所成锐二面角的余弦值；(2)点q是线段bp上的动点，当直线cq与dp所成的角最小时，求线段bq的长解：以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)(1)由题意得ad平面pab，所以是平面pab的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，