函数的单调性

1、1.3.1函数的单调性观察下列图像，你能说说它们分别反映了函数的哪些变化规律吗？问题:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象，并且观察函数图像是怎样变化的？如图1-3-1-9所示:Key:函数y=x+2的图象,从左向右看是上升的；函数y=-x+2的图像，从左向右看是下降的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧也是下降的。问题函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？Key:函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小问题如何理解图象是上升的？K

2、ey:按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了随着自变量的增大函数值增大.问题试从解析式的角度（即符号语言）描述“函数f(x)=x2在区间(0,+)上，随自变量x的增大，函数值增大”？Key:在区间(0,+)上，任取x1、x2，得到，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2).我们就说函数f(x)=x2在区间(0,+)上是增函数问题那么，你能用准确的数学符号语言给增函数下个定义吗？增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:区间，在区间D

3、上任意取两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，其中D叫做函数f(x)的增区间问题类比增函数的定义，请给出减函数的定义吗？减函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:区间，在区间D上任意取两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，其中D叫做函数f(x)的减区间如果函数 y =f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间例1判断下列说法哪些是正确的。（1）.函数，取，则，满足当时，有，则在定义域内是增

4、函数；（2）是增函数；（3）在上是减函数； 在上是减函数； 在上是减函数；（4）在上是减函数。说明：a.函数单调性是函数的局部性质（有些函数在整个定义域内具有单调性；有些函数只在定义域内的某个或某些子区间上具有单调性）； b.区间端点的写法（若区间端点有意义，写开写闭都可以）； c.两个及两个以上的区间用“和”或“逗号”链接。一、函数的单调区间例2.如图1-3-1-3是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例3：已知函数f(x)(5a1)x2在R上是增函数，则a的取值范围是_例4 求下列函数的单调区间并指出函数在此单调区间

5、上是增函数还是减函数(1)y5x2；(2)y3|x|；(3)yx22x3.【小结】(1)由图象的升降可判断函数的单调性；(2)熟练掌握常见函数的单调性：一次函数ykxb的单调性由参数k决定：当k0时，该函数在R上是增函数；当k0时，该函数在R上为减函数二次函数yax2bxc(a0)，当a0时，在(，)上单调递增，在，)上单调递减；当a0时，在(，)上单调递减，在，)上单调递增二、用定义证明函数的单调性例5利用函数单调性的定义（1） 证明函数f(x)-在区间0，)上是减函数（2） 证明函数在R上是增函数 总结：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 1. 任取x1，x2D，

6、且x1x2 2 .作差f(x1)f(x2)； 3 .变形（通常是因式分解、配方、通分、有理化等） 4 .定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）5 .下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） 例6.（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-,m上是增函数时，求实数m的取值范围.练习1.求证在(0,1)上是减函数，在是增函数.思考：函数 的单调性。三、函数单调性的运用例7已知f(x)是定义在(0，)上的减函数，若f(a1)f(14a)成立，求a的取值范围变式：已知函数yf(x)在0，)上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大小1.3.1函数的最值与值域画出函数的草图，并根据图象解答下列问题1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ (一)函数单调性的定义最大值：(1)设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得