平面向量知识点总结

1、平面向量知识点小结、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移举例1已知A(1,2) , B(4,2)，则把向量AB按向量宜丄3)平移后得到的向量是 . 结果：(3,0)2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0，规定：零向量的方向是任意的；Ab3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 )；|AB I4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向

2、量，记作：a 4b，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合; 平行向量无传递性！(因为有B)； 三点 A、B、C共线AC共线.6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作-a .举例2如下列命题：(1)若|a|ib|，则a .(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3 )若AB =zDC，则ABCD是平行四边形.(4 )若ABCD是平行四边形，则 AB zDC .(5 )若 a -b， b =c，贝 U

3、 a -c .(6 )若a/b，b/c则a/C.其中正确的是结果：(4) ( 5)二、向量的表示方法T1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a， b， c等；3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系， 以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j为 基底，则平面内的任一向量 a可表示为2 =xi +yj =(x, y)，称(x y为向量a的坐标，a = (x, y)叫 做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 三、平面向量的基本定理定理 设e1,e2同一平面内的一组基底向

4、量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(&,人)，使 a=%e + 為&.(1)定理核心：a =肩+总；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当ee ,e2时，就说a+決2为对向量的正交分解.举例 3(1)若 a =(1,1)，b =(1, J)，C 二,2)，贝U C=.结果：l3b .2 2结果:(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA HHHHH-HHA. e40,0)，e241,4) B.6=(42)，e=(5,7)C. e=(3,5)，e(6,10)D. q=(2,书，(3)已知AD, BE分别是 ABC的边B

5、C，AC上的中线,且AD -a，BE -b ,则BC可用向量a,b表示为24 -a b .33T T T T (4)已知 ABC中，点D在BC边上，且CD =2DB， CD B sAC，则r亠s二的值是.结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：丄卄r-n4(1)模:|a|T|a| ；(2)方向：当二时， a的方向与 反，当-0时，=o,注意：.a .五、平面向量的数量积a的方向相同，当：0时，幕的方向与a的方向相b，作 OA； , N =b，则把.AOB =d(0 U _ ：)称当v -0时,b同向；当v -二时,2. 平面向量的数量积：如果两个非

6、零向量 叫做a与b的数量积(或内积或点积)规定：零向量与任一向量的数量积是注：数量积是一个实数，不再是一个向量.a， b反向；当 时，a， b垂直.T 2 * a， b，它们的夹角为，我们把数量| a | b | cos1 ，记作：a b，即；b =| 2 | |b | cos n .0.举例 4(1)ABC中，|KB|=3，| AC4，| BC 5，贝U 扁疑=_1(3) 已知博/，|b5，a b亠，则僭閒 _.结果：卩3.(4) 已知a,b是两个非零向量，且|a|ba _b |，则a与a启 的夹角为 . 结果：30.3. 向量b在向量a上的投影：|b|cosv，它是一个实数，但不一定大于

7、0.举例5已知商，|b5，且ab二2，则向量a在向量b上的投影为 .结果：12.彳 + 彳 54. a b的几何意义：数量积a b等于a的模洛|与b在a上的投影的积.5. 向量数量积的性质：设两个非零向量44彳(1) a _b a b =0 ；44444(2) 当a、b同向时，ab=|a|b|，特别地，44 呻 斗斗a|b|是a、b同向的充要分条件；,4呻 斗 4匚a b = -|a| |b |，4呻b 0，且a、丨b ：0，且(2)已知a、b反向时, 当v为锐角时， 当v为钝角时，(3)非零向量结果：-9.,c4kb , d二, c与d的夹角为孑，则k =.a , b，其夹角为二，则:结果：

8、i.a2 =a a -| a |2：= |a 0芋；ab-Tllbl是a、b反向的充要分条件；j* 4b不同向，a b 0是二为锐角的必要不充分条件；H4 4.b不反向；a b ：0是二为钝角的必要不充分条件.; a b -| a | b |.b夹角v的计算公式：cos二=举例6(1)已知a_(，,2), b=(3.,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U 的取值范围是结果:-斗若 a b，则 a或 b J ;若 a bb 则 a J ; 筍 J2 ; a_2b _b ; (a b)2 J2 b2 ; (a J)a2 _2a b b2 其中正确的是_结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地

9、方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两 边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a (b C)=(a b) c，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件&4,；入13 = (a b)2 =(| a | b |)2 二 x2 X2 =0 .若向量a 4x1)，b _(4,x)，当x 时，a与b共线且方向相同b -(4,X)，u-2b， V -b，且 u /v，贝u x -.=k,12)， PB =(4,5)， PC =(10,k)，贝U k 三_时，A,B,C 共线.【

10、的充要条件0 :_、 | a +b |斗 a b 朽为 X2 +% y2 = 0 .(相约);a/b 二举例14 (1)(2) 已知 a 二1,1),(3) 设 PA九、向量垂直a _b ：=特别地举上C结果：2.结果：4.结果：2或11.AB- 辱.(JAB| |AC| 丿(JAB| | AC| 丿举例15 (1)已知OA丄2) , OB 乂3,m)，若 OB ，贝U m =(2) 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,. B 0，则点B(3) 已知n 4a,b)向量n |m，且| n| J：m|，则m -的坐标是十、线段的定比分点1.定义：设点P是直线PP异于P、F2

11、的任意一点，若存在3陀;的坐标是_结果：(b, _a)或(_b,a).结果:结果:（1,3）或（3, - 1）;使 RP =PP2， 则实数 九叫做点P分有向线段RP；所成的比九，P点叫做有向线段 PR的以定比为 人的定比分 占 八、-2. 的符号与分点巳勺位置之间的关系(1) P内分线段竺，即点P在线段PP2上二K 0 ；(2) P外分线段RP2时，点P在线段PP2的延长线上 = 向延长线上二一 1 ： ：0 .注：若点p分有向线段 五所成的比为，则点p分有向线段举例16若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为43. 线段的定比分点坐标公式：结果:-1，点P在线段PP2的反p2p所成的

12、比为-.设P(x,y),卩2(%2)，点P(x,y)分有向线段PP2所成的比为九，则定比分点坐标公式为（一 1）.特别地，当，=1时，就得到线段PP2的中点坐标公式I-X1X2x 二2y十y?y 12L 2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (X,y)，(x,yj、(X22)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2 )在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.举例17(1)若M(J, 2)，N(6,)，且MP =-MN，则点P的坐标为结果：(七,一7);33(2)已知A(a,0)，B(3,2 -a)，直线y Jax与线段AB交于M，且AM

13、 =2辰，则a =.结果：2或-4.2卜一、平移公式如果点P（x,y）按向量a =（h,k）平移至P（x；y），则x去h ,；曲线打約）按向量a=（h,k） 心k+ .平移得曲线f（x_h, y_k） 0 .说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （ 1）按向量a把（2,0平移到（1,_2），则按向量i把点（_7,2）平移到点. 结果：（_8,3）；（2）函数y仝in2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y三os2x半，则a二. 结果：（,1）.4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量

14、，要注意运用；2. 模的性质：国+|b|.（1）右边等号成立条件： 孑、b同向或a、b中有0：=|2 7|=|扌| | b | ；（2）左边等号成立条件：a b反向或a b中有o：=丨a_b|=a| |b| ；（3）当 a、b 不共线=| a | -| b | 弓 a +b 同 a |+|b |.3. 三角形重心公式在 ABC中，若 A（x,yJ ，B（X2,y2），则其 重心的 坐标为X1 X 2 X 3y 讨2 3G(3,.)举例19若厶ABC的三边的中点分别为 A（2,1）、B（,4）、C（ J, J），则 ABC的重心的坐标为结果:I 2 4 f_3,3 .5.三角形“三心”的向量表示(1)PG1(PA PB PC) GABC 的重心，特别地 PA PB PC =0= G 为 ABC 的重心.(2)(3)PA PB =PB PC =PCp 为 AABC 的垂心.I T + T f T| AB |PC | BC | PA |CA| PB =0：=P ABC 的内心；向量AB 淫(，0)所|AB| |AC|1MP :*1MR - MP2-1 T1 I则若M为平面内