2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积学案 新人教B版必修第四册

1、2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积学案 新人教b版必修第四册2020-2021学年高中数学 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积学案 新人教b版必修第四册年级：姓名：11.1.6祖暅原理与几何体的体积必备知识自主学习导思1.等底、等高的两个柱体体积相等吗?2.如何解决柱体的体积问题?3.如何推导锥体和台体的体积公式?4.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?一、祖暅原理1.几何体的体积一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积.2.祖暅原理夹在两个平行平面间的两个

2、几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等.(1)如果某个柱体底面积与长方体的底面积相等,高也相等,体积相等吗?提示:相等.依据祖暅原理可知,两者的体积相等.(2)柱体的体积可以转化为长方体的体积吗?提示:可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转化为长方体的体积.(3)祖暅原理可以解决什么问题?提示:祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法.二、柱体、锥体、台体的体积公式其中s,s分别表示上、下底面的面积,h表示高,r和r分别表示上、下底面圆的半径.名称体积(v)柱体棱柱v=sh圆柱v=r2h锥体棱锥v=sh圆锥v=r

3、2h台体棱台v=h(s+s)圆台v=h(r2+rr+r2)将台体的上底面缩小或扩大,分析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么?提示:三、球的体积如果一个球的半径为r,那么球的体积公式为:v=r3.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)球是曲面几何体,其体积公式不会推导出来.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥.()提示:(1).虽然球是曲面几何体,但可以利用祖暅原理推导其体积公式.(2) .锥体的体积等于底面面积与高之积的.(3).沿着三棱柱的三个面对角线,其中有两对共点,将三棱柱割开,则这三个三棱锥的体积相等,所以该命题

4、正确.2.(教材二次开发:例题改编)若圆台两底面周长的比是14,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是()a.b.c.1d.【解析】选d.由题意设上、下底面半径分别为r,4r,截面半径为x,圆台的高为2h,则有=,所以x=r,则=.3.若一个球的直径是12 cm,则它的体积为cm3.【解析】由题意,知球的半径r=6 cm,故其体积v=r3=63=288(cm3).答案:2884.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为.【解析】如图,在opa中,因为pa=3,oa=2,所以正四棱锥的高h=1,故正四棱锥的体积为v=sh=.答案:关键能力合作学习类型一旋转体的体积(直观想

5、象、数学运算)【典例】1.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为a,则这个圆台的体积是()a.a3b.a3c.a3d.a32.在一个如图所示的直角梯形abcd内挖去一个扇形,e恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线de旋转一圈,求所得几何体的表面积和体积.【思路导引】1.求圆台的体积可依据圆台的体积公式寻求解题思路,求出圆台的上下底面半径和高即可.2.图形旋转之后得到的几何体为下方一个圆柱挖出了一个半球体,上方一个圆锥,即可求得表面积和体积.【解析】1.选d.由ad=a,ab=2a,bd=a知adb=90,分别过d点、c点作dhab,cgab.知dh=a,所以hb=

6、a,所以de=hf=a,所以v圆台=a=a3.2.平面图形旋转之后得到上方一个圆锥,下方一个圆柱内部挖掉一个半球体,所以其表面积为s=33+233+432=(9+36),体积为v=323+323-33=18.所以该几何体的表面积为(9+36),体积为18.求旋转体的体积的求解技巧一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题;二是利用三角形全等、相似等关系求出所需的量;三是利用体积公式求体积.1.半径为r的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是()a.r3b.r3c.r3d.r3【解析】选a.设圆锥的底面半径为r,则2r=l=r.所以r=r.所以圆锥的高h=r.所以v锥=r2h=r=r3.2.如

7、图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为cm.【解析】设半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱的高分别为h1 cm和h2 cm,则由题意知32h2+12(20-h2)=12h1+32(28-h1),整理得8(h1+h2)=232,所以h1+h2=29.答案:29类型二棱柱、棱锥、棱台的体积(直观想象、数学运算)角度1等积法求体积【典例】如图,已知abcd-a1b1c1d1是棱长为a的正方体,e为aa1的中点,f为c

8、c1上一点,求三棱锥a1-d1ef的体积. 【思路导引】三棱锥a1-d1ef的高不易求出,可以转换为求三棱锥f-a1d1e的体积.【解析】由= ,因为=ea1a1d1=a2,又三棱锥f-a1d1e的高为cd=a,所以=aa2=a3.=a3.角度2公式法、割补法求体积【典例】1.如图所示,在多面体abcdef中,已知四边形abcd是边长为1的正方形,且ade,bcf均为正三角形,efab,ef=2,求该多面体的体积.2.如图所示,三棱锥p-abc的所有棱长都为1,求此三棱锥的体积.【思路导引】1.该几何体是不规则图形,应该将其分割成我们熟悉的几部分,然后再去求解.2.将此三棱锥放在正方体中,看作

9、正方体切去四个三棱锥得到,据此设计算法求解.【解析】1.如图所示,过点a,b分别作am,bg垂直于ef,垂足分别为点m,g,连接dm,cg,这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱.由图形的对称性,知em=gf=.在rtame中,可求得am=.在等腰三角形amd中,可求得samd=.所以v多面体=2v三棱锥e-adm+v三棱柱adm-bcg=em+absamd=.2.如图所示,把三棱锥放在正方体中.三棱锥p-abc可看作正方体切去四个三棱锥得到,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,所以三棱锥p-abc的体积为-4=.求几何体体积的常用方法1.如图,正方体abcd-abcd的

10、棱长为4,动点e,f在棱ab上且ef=2,动点q在棱dc上,则三棱锥a-efq的体积()a.与点e,f的位置有关b.与点q的位置有关c.与点e,f,q的位置都有关d.与点e,f,q的位置均无关,是定值【解析】选d.v三棱锥a-efq=v三棱锥q-aef=efaaad=,所以其体积为定值,与点e,f,q的位置均无关.2.如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,如果ab=ac=,bb1=bc=6,e,f为侧棱aa1上的两点,且ef=3,那么多面体bb1c1cef的体积为.【解析】在abc中bc边上的高h=2,所以v三棱柱=bchbb1=626=36,因为ef=3,a1a=b1b=6,所以ve-ab

11、c+=(ae+a1f)sabc=(6-3)sabc=6,故=36-6=30.答案:30类型三组合体的体积(直观想象、数学运算)【典例】1.已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于()a.2b.c.d.2.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为216的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.(1)求圆锥的体积.(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?【思路导引】1.依据球的体积可求得球的半径,再注意到外接球的直径与正方体的体对角线的关系即可求解.2.(1) 先根据题目条件,找出关于圆锥的底面半径r的方程,然后求圆锥的底面半径和高,最后求圆锥的体积.(2)在圆锥的轴截面中,利用三角形相

12、似推出圆柱的底面半径y与圆锥的高x的关系,进而建立圆柱的侧面积s关于圆锥的高x的函数,求最大值.【解析】1.选d.设正方体的棱长为x,则正方体的体对角线长为x,由题设有=,解得x=.2.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r,则2r= 25,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积v= r24=12.(2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为y,则=,得y=3-x.圆柱的侧面积s(x)=2(3-x)x=(4x-x2)=4-(x-2)2(0xv1,s2s1.5. 方案二比方案一更加经济.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一

13、个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?【解析】(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径r=3 cm,所以两个半球的体积之和为v球=r3=27=36(cm3).又圆柱筒的体积为v圆柱=r2h=92=18(cm3).所以这种“浮球”的体积是v=v球+v圆柱=36+18=54169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是s球表=4r2=49=36(cm2).又“浮球”的圆柱筒的侧面积为s圆柱侧=2rh=232

14、=12(cm2),所以1个“浮球”的表面积为s=(m2).因此2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500s=2 500=12(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为10012=1 200(克).课堂检测素养达标1.充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若要它的半径扩大为原来的4倍,那么它的体积应增大到原来的()a.4倍b.8倍c.64倍d.16倍【解析】选c.设气球原来半径为r,则现在半径为4r,此时体积v=(4r)3=64.2.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为()a.2b.c.d.【解析】选c.设熔化后的球的半径为r,则其体积是原来小球

15、的体积的2倍,即v=r3=213,得r=.3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4,那么圆柱的体积等于()a.b.2c.4d.8【解析】选b.设轴截面正方形的边长为a,由题意知s侧=aa=a2.又因为s侧=4,所以a=2.所以v圆柱=2=2.4.(教材二次开发:练习改编)若圆锥的高扩大为原来的3倍,底面半径缩短为原来的,则圆锥的体积变为原来的.【解析】设原来的圆锥底面半径为r,高为h,该圆锥的体积为v=r2h,变化后的圆锥底面半径为,高为3h,该圆锥的体积为v=3h=r2h,变化后的圆锥的体积缩小到原来的.答案:5.用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最

16、大?【解析】若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m,即圆柱底面半径为r=m,所以圆柱的体积为v=r2l=4=(m3).若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得v=(m3),所以以矩形的宽为圆柱的母线可使铁筒体积最大.十三祖暅原理与几何体的体积(15分钟30分)1.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是()a.b.c.d.【解析】选d.截去的每个小三棱锥的体积为=,则剩余部分体积v=1-8=1-=.2.若三棱柱abc-a1b1c1的体积为8,过ab,ac,a1b1中点截去一个小的三棱柱,则剩下的几何体的体积

17、为()a.1b.4c.6d.7【解析】选c.如图所示,作出截面为defg,则小三棱柱与大三棱柱的高一样,底面面积由相似比知为14,所以小三棱柱的体积为8=2.则剩下的几何体的体积为8-2=6.3.圆台上、下底面面积分别是,4,侧面积是6,这个圆台的体积是()a.b.2c.d.【解析】选d.上底面半径r=1,下底面半径r=2.因为s侧=6,设母线长为l,则(1+2)l=6,所以l=2,所以高h=,所以v= (12+12+22) =.4.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥p-abcdef,则此正六棱锥的侧面积是.【解析】显然正六棱锥p-abcdef的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底面边

18、长为2.依题意可得正六棱锥p-abcdef的高为2,以此可求得侧面积为6.答案:65.两个球的半径相差1,表面积之差为28,则它们的体积和为.【解析】设大、小两球半径分别为r,r,则所以所以体积和为r3+r3=.答案:6.如图,圆柱的底面半径为r,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.(1)计算圆柱的表面积.(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.【解析】(1)已知圆柱的底面半径为r,则圆柱和圆锥的高为h=2r,圆锥和球的底面半径为r,则圆柱的表面积为s圆柱表=2r2+4r2=6r2.(2)由(1)知v圆锥=r22r=r3,v圆柱=r22

19、r=2r3,v球=r3,v圆锥v球v圆柱=r3r32r3=123.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得的这个圆台的圆锥的体积是()a.54b.54c.58d.58【解析】选a.设上底面半径为r,则由题意求得下底面半径为3r,设圆台高为h1,则52=h1(r2+9r2+3rr),所以r2h1=12.令原圆锥的高为h,由相似知识得=,所以h=h1,所以v原圆锥=(3r)2h=3r2h1=12=54.2.(2020全国卷)已知a,b,c为球o的球面上的三个点,o1为abc的外接圆,若o1的面积为4,ab=bc=ac=oo1

20、,则球o的表面积为()a.64b.48c.36d.32【解析】选a.设圆o1的半径为r,球的半径为r,依题意,得r2=4,所以r=2,由正弦定理可得ab=2rsin 60=2,所以oo1=ab=2,根据球截面性质得oo1平面abc,所以oo1o1a,r=oa=4,所以球o的表面积s=4r2=64.3.如图,在三棱台abc-a1b1c1中,aba1b1=12,则三棱锥a1-abc,b-a1b1c,c-a1b1c1的体积之比为()a.111b.112c.124d.144【解析】选c.设棱台的高为h,sabc=s,则=4s,所以=sabch=sh,=h=sh.又v台=h(s+4s+2s)=sh,所以

21、=v台-=sh-sh-sh=sh.所以所求体积之比为124.【补偿训练】半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为()a.6b.2c.2d.512【解析】选b.作出过正方体的对角面的截面,如图所示,设球的半径为r,正方体的棱长为a,那么cc=a,oc=,在直角cco中,由勾股定理,得cc2+oc2=o,即a2+=r2,解得r=a,所以半球的体积为v1=r3=a3,正方体的体积为v2=a3,所以半球与正方体的体积比为a3:a3=2.4.在矩形abcd中,ab=4,bc=3,沿ac将三角形abc折起,得到的四面体a-bcd的体积的最大值为()a.b.c.d.5【解析】选c.在矩形

22、abcd中,ab=4,bc=3,沿ac将三角形abc折起,当平面abc平面acd时得到的四面体a-bcd的体积取最大值,此时点b到平面acd的距离d=,因为sadc=43=6,所以四面体a-bcd的体积的最大值为v=sadcd=6=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知abc的三边长分别是ac=3,bc=4,ab=5.下列说法正确的是()a.以bc所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15b.以bc所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36c.以ac所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的

23、侧面积为25d.以ac所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16【解析】选ad.以bc所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,其侧面积为35=15,体积为324=12,故a正确,b错误;以ac所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为45=20,体积为423=16,故c错误,d正确.6.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2r相等,下列结论正确的是()a.圆柱的侧面积为2r2b.圆锥的侧面积为2r2c.圆柱的侧面积与球面面积相等d.圆柱、圆锥、球的体积之比为312【解析】选cd.依题意得球

24、的半径为r,则圆柱的侧面积为2r2r=4r2,所以a错误;圆锥的侧面积为rr=r2,所以b错误;球面面积为4r2,因为圆柱的侧面积为4r2,所以c正确;因为v圆柱=r22r=2r3,v圆锥=r22r=r3,v球=r3.所以v圆柱v圆锥v球=2r3r3r3=312,所以d正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2019全国卷)学生到工厂劳动实践,利用3d打印技术制作模型.如图,该模型为长方体abcd-a1b1c1d1挖去四棱锥o-efgh后所得几何体,其中o为长方体的中心,e,f,g,h分别为所在棱的中点,ab=bc=6 cm,aa1=4 cm,3d打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不

25、考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为.【解析】s四边形efgh=46-423=12(cm2),v=664-123=132(cm3).m=v=0.9132=118.8(g).答案:118.8 g8.(2020江苏高考)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为v,正六棱柱的体积为v1,圆柱的体积为v2,则v1=622sin 602=12(cm3),v2=(0.5)22=(cm3),所以v=v1-v2=12-(cm3).答案:12-四、解答题(每小题10分,共20分)9.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面(如图)是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.【解析】因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为v=v圆锥-v球=(r)23r-r3=r3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是v=h=h3.由v=v得h=r.10.如图所示,有一块扇形铁皮oab,aob=6