2020-2021学年高中数学 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用优质作业新人教B版必修第四册

1、2020-2021学年高中数学 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用优质作业新人教b版必修第四册2020-2021学年高中数学 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用优质作业新人教b版必修第四册年级：姓名：第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用课后篇巩固提升1.如图,设a,b两点在河的两岸,一测量者在a的同侧,在所在河岸边选定一点c,测出ac的距离为502 m,acb=45,cab=105后,就可以计算a,b两点间的距离为()a.100 mb.503 mc.1002 md.200 m答案a解析在abc中,ac=502m,acb=45,cab=105,即abc=3

2、0,由正弦定理得absinacb=acsinabc,所以absin45=502sin30,解得ab=100(m).故选a.2.如图,在坡度一定的山坡a处测得山顶上一建筑物cd的顶端c对于山坡的斜度为15,向山顶前进100米到达b后,又测得c对于山坡的斜度为45,若cd=50米,山坡对于地平面的坡角为,则cos =()a.23+1b.23-1c.3-1d.3+1答案c解析在abc中,由正弦定理得bc=absinbacsinacb=100sin15sin(45-15)=50(6-2),在bcd中,sinbdc=bcsincbdcd=50(6-2)5022=3-1,又因为cos=sinbdc,所以c

3、os=3-1.故选c.3.某炮兵阵地位于a点,两个观察所分别位于c,d两点,已知acd为等边三角形,且dc=3 km,当目标出现在b点(a,b两点位于cd两侧)时,测得cdb=45,bcd=75,则炮兵阵地与目标的距离约为()a.1.1 kmb.2.2 kmc.2.9 kmd.3.5 km答案c解析如图所示,cbd=180-cdb-bcd=180-45-75=60,在bcd中,由正弦定理,得332=bdsin75,故bd=2sin75.在abd中,adb=45+60=105,由余弦定理,得ab2=ad2+bd2-2adbdcos105,所以ab=5+232.9(km).故炮兵阵地与目标的距离为

4、2.9km.故选c.4.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)如图所示,位于a处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线cb前往b处救援,则cos 等于()a.217b.2114c.32114d.2128答案b解析在abc中,ab=40,ac=20,bac=120,由余弦定理得bc2=ab2+ac2-2abaccos120=402+202-24020cos120=2800,所以bc=207.由正弦定理得sinacb=absinbacbc=217.由bac=120

5、知acb为锐角,故cosacb=277.故cos=cos(acb+30)=cosacbcos30-sinacbsin30=27732-21712=2114.故选b.5.如图,从气球a上测得正前方的河流的两岸b,c的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度是()a.240(3-1) mb.180(2-1) mc.30(3+1) md.120(3-1) m答案d解析由题意可知abc=105,bac=45,c=30,所以ac=60sinc=60sin30=120.由正弦定理bcsinbac=acsinabc,得bc=acsinbacsinabc=120sin45sin105=60

6、2sin60cos45+cos60sin45=120(3-1),即河流的宽度为120(3-1)m.故选d.6.如图,为了测量山坡上灯塔cd的高度,某人从高为h=40的楼ab的底部a处和楼顶b处分别测得仰角为=60,=30,若山坡高为a=35,则灯塔的高度是()a.15b.25c.40d.60答案b解析过点b作bedc于点e,过点a作afdc于点f,如图所示,在abd中,由正弦定理得absinadb=adsinabd,即hsin90-(90-)=adsin(90+),所以ad=hcossin(-),在rtadf中,df=adsin=hcossinsin(-),又山高为a,则灯塔cd的高度是cd=

7、df-cf=hcossinsin(-)-a=40323212-35=60-35=25.故选b.7.某船在a处看到灯塔s在北偏西40方向,它向正北方向航行50海里到达b处,看到灯塔s在北偏西76方向,则此时船到灯塔s的距离为海里(sin 400.642 8,sin 760.970 3,sin 36=0.587 8,结果精确到0.1).答案54.7解析由条件可得bsa+bas=76,所以bsa=76-40=36.在sab中,由正弦定理,得bssinbas=absinbsa,所以bs=absinbassinbsa=50sin40sin3654.7.8.(2020山东济南济钢高级中学高一期中)如图,一

8、辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,公路北侧有一座山,山脚c与公路处于同一高度,当汽车行驶到a处时测得山顶d在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达b处,测得此山顶d在北偏西15的方向上,仰角为.若=45,则仰角的正切值为.答案3-1解析由题意可得cab=45,abc=105,ab=300米,cbd=45.在abc中,可得acb=180-45-105=30,利用正弦定理可得absin30=cbsin45=acsin105,解得cb=3002米,ac=150(6+2)米.在rtbcd中,由cbd=45可得cd=cb=3002米,在rtacd中,可得tan=cdac=3002150(6+2

9、)=3-1.9.如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面,在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60和30,且座位a,b间的距离为106米,则an=米,旗杆的高度为米.答案20330解析依题意可知nba=45,ban=180-60-15=105,所以bna=180-45-105=30.由正弦定理可知absinbna=nasinnba,所以an=absinbnasinnba=203米.所以在rtamn中,mn=ansinnam=20332=30(米),所以旗杆的高度为30米.10.如图所示,我国渔船编队在岛a周围海域作业,在岛a的南偏西2

10、0方向有一个海面观测站b,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与b相距31海里的c处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40方向,以40海里/时的速度向岛a直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达d处,此时观测站测得b,d间的距离为21海里.(1)求sinbdc的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛a?解(1)由已知可得cd=4012=20,在bdc中,根据余弦定理求得cosbdc=212+202-31222120=-17,所以sinbdc=437.(2)由已知可得bad=20+40=60,所以sinabd=sin(bdc-60)=43712-1732=5314

11、.在abd中,由正弦定理可得ad=bdsinabdsinbad=21sinabdsinbad=15,所以t=154060=22.5分钟.即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛a.11.(2020江苏高一期末)如图,我方炮兵阵地位于a处,两移动观察所分别设在c,d两处.已知acd为正三角形.当目标出现在点b时,测得bc=1千米,bd=2千米.(1)若测得dbc=3,求abc的面积;(2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标b是否在我方炮火射程范围内?解(1)在bcd中,由余弦定理得cd2=bc2+bd2-2bdbccosdbc,cd2=1+4-2=3.bd2=cd2+bc2,bcd=2,sabc=12acbcsinacb=1231sin2+3=34.(2)设cbd=,cdb=,在bcd中,由余弦定理得cd2=5-4cos,由正弦