华中科技大学硕士研究生考试《电动力学》考点典型试题

1、电动力学习题集一、知识点归纳知识点1 :一般情况下，电磁场的基本方程为:H -D J;（此为麦克斯韦方程组）?D ；;在没有电荷r Dr BB trDB 0.和电流分布（0, J 0的情形）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为:次的麦克斯韦方程组）知识点2 :位移电流及与传导电流的区别。答：我们知道恒定电流是闭合的：J 0.恒定电流在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守 恒定律有J0.tr rr现在我们考虑电流激发磁场的规律：B 0J. 取两边散度，由于B 0，因此上式只有当 J 0时才能成立。在非恒定情形下，一般有 J 0，因而式与电荷

2、守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。rr把 式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量JD，它和电流J合起来构成闭合的量J JD 0, *并假设位移电流JD与电流J 一样产生磁效应，即把 修改为B 0 J JD 。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律0.电荷密度与电场散度有关系式trE .两式合起来得:0rr比较可得JD的一个可能表示式JD位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样, 电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是

3、电荷的流动而产生的。知识点3 :电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为:r r ?J dsdV,恒定电流的连续性方程为：J 0知识点4:在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量P和磁化强度矢量M的定义方法；P与P ； M与j ；E、D与P以及B、H与M的关系。答：极化强度矢量p :由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介

4、质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩rrrpi分布用电极化强度矢量 P描述，它等于物理小体积V内的总电偶极矩与V之比，PI pj为第iV个分子的电偶极矩，求和符号表示对V内所有分子求和。磁化强度矢量M :介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为 a，则与分子电流相应的磁矩为：rm ib，则TE10波有最低截止频率c,10此最低截止频率为c 2a，相应的截止波长为:c,

5、102a.（在波导中能够通过的最大波长为 2a）知识点27:相对论的实验基础： 横向多普勒（Doppler ）效应实验（证实相对论的运动时钟延缓效应）； 高速运动粒子寿命的测定（证实时钟延缓效应）； 携带原子钟的环球飞行实验（证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应） 相对论质能关系和运动学的实验检验（对狭义相对论的实验验证）、 E ;知识点28:静电场是有源无旋场：q （此为微分表达式）rE 0.rB 0;稳恒磁场是无源有旋场：r r （此为微分表达式）B 0j.知识点29:相对论速度变换式:1 V?2 / C .Uy 寻 1 vux c2UUzUxUy。Uz知识点30：麦克斯韦方程组积分

6、式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。?ELdlds答：麦克斯韦方程组积分式为:?BLdl麦克斯韦方程组微分式为:依据的试验定律为：静电场的高斯定理、 高斯定理。二、典型试题分析1、证明题:1、试由毕奥一沙伐尔定律证明证明：由式:dvJ x dvr2、?ES?BSdsdsdV静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的1 dv又知:r，因此所以原式得证。试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式J x dv)证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，

7、它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。A式代入Er ar aE0,该式表示矢量E A是无旋场，因此它可以用tr a标势描述，E t。因此，在一般情况下电场的表示式为:A。即得证。t2i V2。c答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式I Iox轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过 R点（第一事件）与前端经过 P2点（第二事件）相对于同时，则RP2定义为上测得的物体长度。物体两端在上的坐标设为 捲和乂2。在 上R点的坐标为xi，P2点的坐标为 x

8、2，两端分别经过Pi和P2的时刻为tit2。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得x vt|Xi , x?i ：2X2 Vt2，两式相减，计及tit2，有i cX2X1xxL * .式中X2 Xi为 上测得i ：2的物体长度I （因为坐标xx2是在 上同时测得的），x2Xi为上测得的物体静止长度Io。由于物；2。体对静止，所以对测量时刻 ti和t2没有任何限制。由*式得4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E.r r答：由于静电场的无旋性，得：?E dI 0设Ci和C2为由R点到P2点的两条不同路径。Ci与一C2合r r r r成闭合回路，因此E dI E dI 0CiC2r r r r即 E

9、 dI E dI因此，电荷由R点移至P2点时电场对它所作的功 与路径无关，而只和两端点CiC2有关。把单位正电荷由R点移至P2,电场E对它所作的功为:若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，F2才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。r rP2rE dI ,这功定义为R点和P2点的电势差。巳 rPE dI由这定义，只有两点的电势差Pidx dy dz x yzrdI，因此，电场相距为dI的两点的电势差为d E dI .由于d强度E等于电势的负梯度 E5、试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程2A j。答：已知恒定磁场方程BJ, （1 （在均匀线性介质内），把B代（2）代入（）得矢势

10、A的微分方程A J.由矢量分析公式2A.若取A满足规范条件A 0，得矢势A的微分方程2a6、试由电场的边值关系证明势的边值关系n E2 E1证：电场的边值关系为：，r r0,式可写为D2nDin式中n为由介质n D2Di1指向介质的法线。利用，可用标势将表为:势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程答：已知静电场方程为:。，（2）并知道.（3）在均匀各向同性线性介质中，D E，将（3）式代入（2）得，为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。答：麦克斯韦方程组E(x)E(x)(x)表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电E

11、x0 0 t场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到2E（x）B x，再把第四个方程对时间求导，得到r2 rB x2E xB x2r r2匸rE x从上面两个方程消去得到2 e x。?1、J丄匚A 2t t2t1这就是标准的波动方程。对应的波的速度是c、 w-9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件r r rr rrr r rn E2E-i;n D2Di;nB2Bj.dvrDrD2rD12rDr nnD2n D1n对

12、于磁场 B，把?B ds 0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：Sr r rB2n Bm= 即: n B2 B10作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为 I，短边边长为l。因为：；E dl 0,作沿狭长矩形的 E的路径积分。由于丨比I小得多，当I时,E沿丨积分为二级小量，忽略沿I的路径积分，沿界面切线方向积分为：E2t I Eit I 即:E2tEit 0, * 。 *可以用矢量形式表示为：E2 Ei t 式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线方向单位矢量为t，它与界面相切，显然有 t nt#将#式代入式，则

13、 E2E1nt, $，利用混合积公式ABCC A B，改写#E2E1n ，此式表示电场在分界面切式为：tE2 E1 n 此式对任意t都成立，因此线方向分量是连续的。2 2D E, B H，把时谐电磁1、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程E k E 答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有r r i tE x, t E x e ,波的电场和磁场方程：r r r r代入麦氏方程组B x,t B x e i t.rE rH rDrBtrD消去共同因子 e i t后得由于只有第一、i H,ri，在此注意一点。在0,0.0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度,E

14、 0，因而 H 0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。 在此，在一定频率下,二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。E 2取第一式旋度并用第二式得2ek2E 0,此为亥姆霍兹方程。 厂.11、试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导 体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。E 2E2e，上式变为证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内匚 0 ，而：n （E2 EJ 0, n E20,故E。垂直于导体表面。（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面f 0.导体外E20,即：D2而：n (D2DJf 0,即：n D

15、!n 0巳 0， n巳 0。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。12、设A和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z x,t （赫兹矢量），若令rr乙证明A 亠二c t证明：A和满足洛伦兹规范，故有0.Z代入洛伦兹规范，有:1 _c2 trrZ ,即A =厂1 Zc2t2、计算题:1、真空中有一半径为 Ro接地导体球，距球心为Ro处有一点电荷Q，求空间各点的电势。由对称性，Q应在OQ解：假设可以用球内一个假想点电荷 Q来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。连线上。关键是能否选择 Q的大小和位置使得球面上=0的条件使得满足?考虑到球面上任一点P。边界条件要求-r0.式中r为Q到P

16、的距离,r为0到卩的距离。因r此对球面上任一点，应有 r常数。（1）由图可看出，只要选Q的位置使oqp OPQ,则r = Ror a常数。（2）设Q距球心为b,两三角形相似的条件为R2.3 由（1）和（2）a式求出 qRoQ.（4）（3）和（4）式确定假想电荷 q的位置和大小。a=0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任-一-占八、1 QRQ1Q14 0 r ar4 0. R22a 2Racos由Q和镜象电荷Q激发的总电场能够满足在导体面上p的 电式中r为由Q到P点.R2 b2 2Rbcos的距离，r为由Q到P点的距离，R为由球心O到P点的距离， 为OP与OQ的夹角。2、两金属小球分别

17、带电荷和一，它们之间的距离为I，求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。解：可知赫兹振子激发的电磁场:_1_40C3R10C2R方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡,1 Re2c*HRe B n2 0因子2sin轴线方向ikR sinJ& ikRPe sinE沿径线上振荡。32表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。3、已知海水的度。（取球坐标原点在电荷分布区内，并以P）。赫兹振子辐射的平均能流密度为:IP22nn.900的平面上辐射最强，而沿电偶极矩0和 没有辐射。1r 1, 1s m试计算频率v为50、6Q10和10 Hz的三种电磁波

18、在海水中的透入深解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度0 r 04107v 50 Hz 时:250 4107 172mv 106 Hz 时:v 109HZ 时:i0.5m16mm4、电荷Q均匀分布于半径为 a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r a时，球面所围的总电荷为Q,由咼斯定理得4 r2E 0因而 E社,写成矢量式得40rQr43 -0r若r a,则球面所围电荷为:Qr33- a应用高斯定理得： ?E dS4 r2EQr33 .0a由此得E占.r现在计算电场的散

19、度。当a时E应取式，在这区域0，由直接计算可得30, r 0r因而当r a时E应取* 式,由直接计算得Q34 a3Q5、半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为，球内有不带电的球形空腔，其半径为Ri，偏心距离为a，( a R R )求腔内的电场。解：这个带电系统可视为带正电的R球与带负电的的Ri球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点 M之电场强度为： E r3 03 06、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为f，求电场和束缚电荷分布。解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把导体内场强为零,故得Dif -同样把H2D2B2式应用到上板与介质Ei丄,E2i电荷分布0 E2

20、nEinp 0 E20,r0.介质表面上。在两Ei0_f .1应用于下板与介质界面上得D2介质界面处，1界面上，因f.由这两式得f 0，由在介质1与下板分界处，由0 E2nE1nff 0E1在介质2与上板分界处,f 0E2 f 1容易验证，p p0,介质整体是电中性的。7、截面为 S，长为I的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为若极化强度为kx，沿x轴P kxi 。求:(1)求每端的束缚电荷面密度(2)求棒内的束缚电荷体密度。(3)总束缚电荷。解:(1) 求在棍端P2nP1nP2P2n0,Rn， P1AP1n AP/xbkb1BP1n BP/xb1 k(bI)1r rrP，Pkxi(2)求

21、由dP ,kdx(3)求q1q1BA SSI k b Ikb S ksl 0kx8、两块接地的导体板间的夹角为，当板间放一点电荷 q时，试用镜像法就=900、60的情形分别求其电势。解：设点电荷q处于两导体面间R,0 点，两导体面间夹角为，各象电荷处在以 R为半径的圆周上,它们的位置可用旋转矢量 R表示，设q及其各个象电荷的位置矢为 R0、R、，则有 R, Re1，R1R0ei2Rei 2R2R0e i2ReR3R,e i22Re i2R4R2ei2Rei2R5R3ei22Rei4?R6R4e i22Re i2?R7i 2 4R5eRe i4R8i 2 2Rei4，R12ReiR2Re i，1

22、)R3Re iR4Rei，2i eie，R4 R3,象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为:捲 Rcos ，X2 Rcos，X3 Rcos，y1 Rsin ，y Rsin，y Rsin .空间任意一点的电势式中r.x Rcos2yRsi n22z，q 111 1r1xRcos 2yRsi n22z，4 0 rri23r2 xRcos 2yRsin22z，r3xRcos 2yRsin22 z .ri L2) = 3，RRe 3ri 2R3Re 3.4riRe 3R5Q23r,R2 Rer.2 i，R4Re 3，.2ri，&Re 3.24i2 ，e35个。各象电荷所在处的直角坐标为:4i3ex

23、1Rcos23Rcos3X2Rcosy1Rsi n2Rsin 33X3Rcos2Rcos332x4RcosRcos33yRsin21Rsi n33yRsi n2Rsi n 33X5Rcos4Rcos33y5Rsi n4Rsin -33_g_1 11 1 11R6R5,象电荷只有y2ri q $ r各个r由相应的象电荷坐标确定。4 0 r9、在一平行板电容器的两板上加(1)、两板间的位移电流 jD ；RsinU VoCOS t的电压，若平板为圆形，半径为a，板间距离为d，试求(2) 、电容器内离轴r处的磁场强度;(3) 、电容器内的能流密度。rrDrE .EUjD,jD 解:（ 1）tttdrr

24、v-.rjDjezsintezdr r(2) ?H dl I dU d tv-dsin t(3)22 rH jD rj DV0H rrsin t22dJ Vo -/Hrsin te2dra时，-asin te2dH ds 2 adU Ha 2 au Had2 2a v-sin tcos t d10、静止长度为I。的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U -向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：S系的观察者看到长度为I。1球从后壁到前壁所需的时间为：2的车厢以v vvi运动，又看到小球以 u ui追赶车厢。 小2o，ut1 h u-，1v1 vu-/cu

25、-vI- 1 t u- .1 v2t2t1t1v 2 X2X1cx! |-15v2u-1 C2I-u-jFvu-2 c11、求无限长理想的螺线管的矢势A （设螺线管的半径为a，线圈匝数为n，通电电流为I）解：分析:A - JdV，J x dV4 v rIdl 。Q ?A dlB ds，又对于理想的无限长螺线管来说,s它的 B为:-nl(1)当 ra 时，可得：2 rA r2B B -nl 2 rAr2 nl(2)当 r a 时，同理可得：2 rA a2B 2 rA a2 0nl2nla 1Aey2 r12、在大气中沿+ Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式57H J2 10 c

26、os 10 t4kozAm（1） 求k0 。（2）写出E的瞬时值表达式解:1 ko1078v 3 10302 E vE i 2447H 2410 cos 10 t kz44710 cos 10 tk0z413、内外半径分别为 a和b的球形电容器，加上v v0 cos t的电压，且不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R a R b的球面的总位移电流 JD。解：位移电流密度为:jDE p r r v ,又 Eer厂二R 口2r v0 cos t ererV。0sin t0R2穿过半径R a R的球面的总位移电流 JD为：JD jD4 R2r 4 R2v00 sin

27、t R 口214、证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度的倍。证：PP即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度。15、一根长为I的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H，方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？ 解：金属棒倒下接触桌面时的角速度由下式给出丄1 2 mg-式中为棒的质量，I为棒绕端点的转动惯量（ml2），g为重力加速度，代入得223如2 2 mg|，棒接触桌面时的感生电动势为:r rrr riE dlvBdlox 0Hdx此时棒的A点电动势高。16、点电荷q

28、放在无限大的导体板前，相距为 a,若q所在的半空间充满均匀的电介质，介质常数为 求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。解：设象电荷q位于 a,0,0 ,尝试解为： 2 ,x 04 r r1) 求q与a设在导体板上，丄2c4R R当 R,R,0, c 0.q g o,q qR R R R2 2 2 2 2 2R a y z ,R . a y z2 2 2 2 2 2 2 2 2ay z q a y z q此式对任何y、z都成立，故等式两边 y、z的对应项系数应相等,即:2 2 2 qq q , qaa.故q 1114rr(2)求E2rx2 aEx -xqx a43r(3)求D2n D1

29、n22 222yz ,rx ayz ,q1r11 r4r rx1 1x rxx a3 r,D1n.17、动,解:Dx /x 0Ex / x 0qa2 R3设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为l0，它们以相同速率 v相对于某一参考系运但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长度。v vv v2cS系观察到S的速度v2vc22 222 2 2 2q2 2a qa q , aa qS测得S的尺子长度是代入 v 0.9c 得：u 0.994cvc导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下,传导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要Io c24v221 V/2 /c运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值有关,S测得S的尺子长度也是I22l0 cV22。c V18、两束电子作迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度V 0.9c，试求：（1）实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度；（2）相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度。解：（1）实验室系统中，电子束相对速度为0.9c+0.9c=1.8c,（2）相对于一束电子静止的系统中，相对速度U -119、设有一随时间变化的电场E E0 cos t，试求它在电导率为，介电常数为 的导体中，弓I起的传作用。解:可知传导电流为：j i，位移电流为:jDE Ecostt tsin