图形面积计算技巧

1、图形面积计算技巧 三三、图形面积计算技巧、图形面积计算技巧 为了解决较复杂的图形面积计算问为了解决较复杂的图形面积计算问 题题,我们除掌握基本概念及技术公式外我们除掌握基本概念及技术公式外, 还应该学会用变动的方法看问题还应该学会用变动的方法看问题,如恒如恒 等变形的计算方法等变形的计算方法、添加辅助线法、添加辅助线法、 平移法、旋转法平移法、旋转法, ,割补法、等积变形、割补法、等积变形、 构造等方法构造等方法. . 图形面积计算技巧 (一一) 比例法比例法 例例1 如图如图,一个长方形被两条平行直线一个长方形被两条平行直线 分成四个长方形分成四个长方形,其中三个面其中三个面 积分别是积分别

2、是 求求?部分的面积部分的面积? 25 2 0 30 222 20,25,30dmdmdm 2 52 0 ?3 0 为什么为什么? 25303020=37520=375 2 ()dm ? 图形面积计算技巧 例例2 如图如图,一个正方形分成四个长方形一个正方形分成四个长方形, 面积如图面积如图,求中间的正方形的求中间的正方形的 面积面积? 47 3 2 A BC D 解解:大正方形的面积是大正方形的面积是: 4+7+3+2=16, 大正方形的边长是大正方形的边长是:4 AB:BD=4:7, 41 6 4, 1 11 1 A B AC:CD=3:231 2 4 55 A C 小正方形面积小正方形面

3、积: 2 1 21 6 () 51 1 图形面积计算技巧 例例3 如图如图,已知已知ABC的每边长都是的每边长都是96 厘米厘米,用折线把用折线把ABC分割成分割成 面积相等的四个三角形面积相等的四个三角形,那么那么 CE和和CF的长度和是多少的长度和是多少 厘米厘米? A B C E D F 解解:在在ABC和和BDC中中,它们高相等它们高相等, 3 , 4 BDCABC SS 3 4 CDAC 3 9672(), 4 cm 图形面积计算技巧 2 , 3 EDCBDC SS 2 3 CECB 2 9664(), 3 cm , CEFEFD SS 72 2 36( ),CF FDcm 3664

4、100(cm). 图形面积计算技巧 练习练习 1. 在在ABC中中,AB、AC两边两边 分别被分成四等份分别被分成四等份,阴影部分阴影部分 面积与面积与ABC的面积比是的面积比是 多少多少? A BC 1 1 2 2 3 3 4 从上往下看从上往下看 (1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4) =5:8. 图形面积计算技巧 2 如图如图,用面积为用面积为1,2,3,4的四张纸片拼成一的四张纸片拼成一 个大长方形个大长方形,问阴影部分的面积问阴影部分的面积? 12 3 4 AB C D 解解:AB:BD=1:2 AC:CD=3:4 =7:14 =9:12 2 , 21 BCAD 2121

5、 (1 2)(3 4) 212 212 图形面积计算技巧 例例3 如图如图,5,8和和10分别代表包含该数字分别代表包含该数字 的三角形面积的三角形面积,试问包含试问包含x这个这个 数字的四边形面积数字的四边形面积? 5 10 8 x y ? :?.xy解 把 分成 和 两部分 ?=4, 48 54510 yy 1 8y 18422.x 图形面积计算技巧 (二二)添辅助线法添辅助线法 求部分图形面积时求部分图形面积时,需借助其它图需借助其它图 形作中介形作中介,这个中介图形需加辅助线段这个中介图形需加辅助线段 才能得到才能得到,这种方法叫辅助线法求面积这种方法叫辅助线法求面积. 例例4 如图如

6、图,ABC的面积为的面积为 2 24,cm A E B D C AE=EB,BD=2DC, 求阴影部分的面积求阴影部分的面积? 解解:连接连接EC, 图形面积计算技巧 ,AEE B 1 2 BECABC SS 2 1 24 12(), 2 cm 2,BDDC又 2 3 BEDBEC SS 2 2 12 8(). 3 cm 图形面积计算技巧 例例5 如图如图,已知正方形的边长是已知正方形的边长是6厘米厘米,E 、F F分别是分别是CBCB、CDCD中点中点, ,求四边形求四边形ABGDABGD 的面积的面积? ? A B C D E F G 解解:连接连接CG, 2 1 6 (6 2) 3 4

7、12(), 2 cm 2 661224().cm 图形面积计算技巧 练习练习 4 如图如图,ACEG是梯形是梯形,BDFG是正是正 方方,GE=30cm,GB=24cm,AC=39cm, 求梯形求梯形ACEG的面积的面积? A D C E B F G 解解:连接连接BE, h 梯形梯形ACEG的高的高 24 24 2 2 30 19.2(cm), 2 (30 39) 19.2 2 662.4().cm 图形面积计算技巧 5.如图如图,正方形正方形ABCD的面积是的面积是120平方平方 厘米厘米,E是是AB的中点的中点,F是是BC的中点的中点,四四 边形边形BGHF的面积是多少平方厘米的面积是多

8、少平方厘米? A E B F G H C D 解解:连接连接GF, 由由BF=FC , BFGFGCBGE SSS , BECBDFFDC SSS都是 2 120430(),cm 图形面积计算技巧 2 11 3010(), 33 BFGBEC SScm 2 30 1020(), GDF Scm 202 303 G D F F D C S S 2 , 3 G FH H FC S S 2 2 104(cm). 5 G FH S 2 10414().cm 图形面积计算技巧 (三三) 等量代换等量代换 我们经常会遇到一些由基本图形组成我们经常会遇到一些由基本图形组成 的组合图形的组合图形,它们的面积不

9、能直接应用它们的面积不能直接应用 公式来计算公式来计算,需要从整体上观察图形需要从整体上观察图形, 用灵活用灵活、巧妙的方法解答这类较复、巧妙的方法解答这类较复 杂的图形计算问题杂的图形计算问题.“.“等量代换等量代换”就就 是一种简便的方法是一种简便的方法. . 它是将一个图形转化为另一个图形的它是将一个图形转化为另一个图形的 面积面积,从而找到解题思路从而找到解题思路. 图形面积计算技巧 例例6 ABCD和和CEFG都是正方形都是正方形,大正方大正方 形的边长是形的边长是12厘米厘米,则则BDF的面积是的面积是 多少平方厘米多少平方厘米? AB C D E F G 解解:连接连接CF, 因

10、为因为BDCF是梯形是梯形, H , BHFDHC SS DBFDBC SS =大正方形面积的大正方形面积的 一半一半. 2 12 12 2 72().cm 图形面积计算技巧 例例7 已知已知ABC的面积为的面积为36,M为为AB上上 的点的点,且且BM:MA=1:2,MD平行于平行于EC,则则 EBD的面积是多少的面积是多少? AE M BDC 解解:连接连接MC, EBDBMC SS 1 3 61 2 . 3 图形面积计算技巧 例例8 ABCD是边长为是边长为10厘米的正方形厘米的正方形, 三角形三角形ABF的面积比三角形的面积比三角形CEF的面的面 积大积大20平方厘米平方厘米,求三角形

11、求三角形 ACE的面积的面积? AB CDE F 条件条件:ABF的面积比的面积比CEF 的面积大的面积大20平方厘米平方厘米, 转化为转化为:ABC的面积比的面积比ACE的面积的面积 大大20平方厘米平方厘米, 2 10 1022030().cm 图形面积计算技巧 练习练习:6 两个半径为两个半径为2厘米的圆相交厘米的圆相交,且且 图中的两个阴影部分的面积相等图中的两个阴影部分的面积相等,求求 的长度的长度? 12 O O 1 O 2 O 长方形的面积等与两个长方形的面积等与两个 扇形的面积扇形的面积, 2 1 222(). 4 cm 图形面积计算技巧 7 . BCEF是平行四边形是平行四边

12、形,ABC是直角是直角 三角形三角形,BC=8cm,AC=7cm,阴影部分阴影部分 的面积比的面积比ADH的面积大的面积大 12平方厘米平方厘米,求求HC的长的长? BC E F A DH 平行四边形平行四边形BCEF的面积的面积 ABC的面积大的面积大12平方厘米平方厘米. 2 8 7 228(), ABC Scm :(2812)85().HCcm 图形面积计算技巧 8 如图如图,两个相同的直角梯形重叠在一两个相同的直角梯形重叠在一 起起,阴影部分的面积阴影部分的面积( )(单位单位:厘米厘米) 5 8 20 (20 5 20) 8 2 2 35 4 140().cm 图形面积计算技巧 9

13、长方形长方形ABCD的周长是的周长是20厘米厘米,在它在它 的每条边上各画一个以该边为边长的的每条边上各画一个以该边为边长的 正方形正方形,已知这四个正方形已知这四个正方形 的面积是的面积是104平方厘米平方厘米,求求 长方形长方形ABCD的面积的面积? A BC D 长长+宽宽: 20210(),cm 10 10 2 104 2 2 2 502624().cm 图形面积计算技巧 (四四) 割补法割补法 割补法求面积是将不规则的图形经割补法求面积是将不规则的图形经 过分割过分割、切拼、补充成一个规则的几何、切拼、补充成一个规则的几何 图形图形, ,从而求出面积的方法从而求出面积的方法. . 例

14、例9 ABC是等腰三角形是等腰三角形,D是半圆周是半圆周 上的中点上的中点,BC是直径是直径,且且AB=BC=10分分 米米,求阴影部分的面积求阴影部分的面积?A B C D 补补 2 101 10 10 ()10 15 22 22 图形面积计算技巧 例例10 三个圆的半径都是三个圆的半径都是5厘米厘米,三个圆三个圆 相交于圆心相交于圆心,求阴影求阴影 部分的面积部分的面积? 22 1 539.25(cm ). 2 阴影部分的面积和等阴影部分的面积和等 于圆面积的一半于圆面积的一半, 图形面积计算技巧 例例11 如果如果BF长长5厘米厘米,长方形长方形AEFD的的 面积是面积是40平方厘米平方

15、厘米, 则则CD长多少厘米长多少厘米? A DC E F C 40 58().cm 图形面积计算技巧 1 4 练习练习:10 如图如图,A、B是两个圆是两个圆(只有只有 ), 那么两个阴影部分的面积差那么两个阴影部分的面积差? A B 22 2 1 4443.44, 4 2 1 2 424.86, 4 4.86 3.44 1.42. 图形面积计算技巧 11 求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积?(单位单位:cm) 4 4 圆的面积圆的面积-三角形面积三角形面积 1 4 2 1 4442 4 2 12.56 8 4.56().cm 图形面积计算技巧 12 小圆半径为小圆半径为10,大圆半径为

16、大圆半径为20,那么那么 阴影部分的面积是多少阴影部分的面积是多少? 大圆面积大圆面积-正方形面积正方形面积 2 1 204040 2 2 1256 800 456().cm 图形面积计算技巧 (五五) 等分法等分法 例例12 如图有左右两个一样的等腰直角如图有左右两个一样的等腰直角 三角形三角形,其面积都是其面积都是180平方厘米平方厘米,分别分别 沿着图中的线剪下两个正方形沿着图中的线剪下两个正方形,请你求请你求 这两个正方形的面积这两个正方形的面积? 左图正方形面积是三左图正方形面积是三 角形面积的一半角形面积的一半 2 1 18090(), 2 cm 图形面积计算技巧 右图的正方形面积

17、是三角形面积的右图的正方形面积是三角形面积的 4 , 9 2 4 1 8 08 0 (). 9 c m 图形面积计算技巧 (六六) 代数法代数法 例例12 直角梯形直角梯形ABCD的中位线的中位线EF长长 15厘米厘米,G是是EF上一点上一点,ABG的面积是的面积是 梯形面积的梯形面积的 ,求求EG的长的长? 1 5 AD E F G B C 条件不够条件不够,用字母表示用字母表示 11 15 25 ABEGAB 6E G 图形面积计算技巧 例例13如图如图,FB和和EC都与都与AD垂直垂直 FB=8cm,EC=6cm,AQ=5cm,PD=7cm ,求六边形求六边形ABCDEF的面积的面积?

18、A B C D E F PQ解解: 82 (6 8)2 62APPQQ D 473APPQQD 4() 3()AP PQPQ QD 2 453741().cm 图形面积计算技巧 例例14 如图长方形被分割如图长方形被分割6个正方形个正方形,已已 知中央正方形的面积为知中央正方形的面积为1平方厘米平方厘米,求求 原长方形的面积原长方形的面积? 1 中央正方形的边长为中央正方形的边长为1cm, 设左上角正方形的边长为设左上角正方形的边长为 ,xcm x 1x 1x 2x2x (1) (2) (2)(1)xxxxx 6x (6 7) (6 5) 2 143().cm 图形面积计算技巧 练习练习13

19、六张大小不同的小正方形纸片六张大小不同的小正方形纸片, 拼成如图拼成如图,已知最小的正方形面积为已知最小的正方形面积为1 平方厘米平方厘米,问图中红色正方形的面积问图中红色正方形的面积? 红 最小正方形的边长为最小正方形的边长为1, 设左上角正方形的边长设左上角正方形的边长 为为, x x 1x 1x 2x 红色正方形的边长为红色正方形的边长为: ( 1 ) (2)( 1 )xxx x 4 4 4 16. 图形面积计算技巧 14 已知阴影部分的面积是已知阴影部分的面积是25平方厘米平方厘米 ,求图中环形的面积求图中环形的面积? 22 )r圆环面积= (R 22 11 25 22 Rr 22 5

20、0Rr 50 2 157().cm 图形面积计算技巧 15 AB与与CD是两条垂直的直径是两条垂直的直径,圆圆O的的 半径是半径是15厘米厘米,弧弧AEB是以是以C为圆心为圆心 ,AC为半径为半径,求阴影部分的面积求阴影部分的面积? AB C E D ABCc AB SSSS 阴影半圆扇形 30 15 2 ABC S 2 225()cm 2 1 225 2 AC 2 450AC 2 11 15225450 24 图形面积计算技巧 (七七) 设数法设数法 例例15 已知长方形的面积是已知长方形的面积是35平方厘米平方厘米, ABE的面积是的面积是5平方厘米平方厘米,ADF的面的面 积是积是7平方

21、厘米平方厘米,求求AEF的的 面积面积? A B EC F D 7 5 35=75,5, 设长方形长为设长方形长为7 厘米厘米,宽为宽为5厘米厘米. :7 2 72(),DFcm 图形面积计算技巧 :5 252(),BFcm 2 (7 2) (5 2) 2 7.5(), EFC Scm 2 35 7 5 7.5 15.5(). AEF Scm 图形面积计算技巧 例例16 甲甲、乙两个正方形的面积都是、乙两个正方形的面积都是2020 平方厘米平方厘米, ,阴影部分的哪一块大阴影部分的哪一块大? ?大多大多 少少? ? 甲 乙想想:甲圆的面积是正方甲圆的面积是正方 形面积的几分之几形面积的几分之几

22、? 4 乙圆的面积是正方形面积的几分之几乙圆的面积是正方形面积的几分之几? 2 甲阴影甲阴影:S S 圆正方形 2 20 204.3(), 4 cm 乙阴影乙阴影:SS 圆正方形 2 202011.4(). 2 cm 11.4-4.3=7.1(平方厘米) 图形面积计算技巧 练习练习 16.已知两个正方形的面积差已知两个正方形的面积差400 平方厘米平方厘米,则圆则圆A与圆与圆B的的 面积差是多少面积差是多少? A B AB SS 圆圆 44 AB SS 正方形正方形 2 400 314(). 4 cm 图形面积计算技巧 (八八) 图形的变换图形的变换 1.平移法平移法: 就是在不改变图形面积大

23、小就是在不改变图形面积大小 下下,通过平移把几部分阴影拼成较规通过平移把几部分阴影拼成较规 则图形的方法则图形的方法, 例例17. 大小两个半圆大小两个半圆,它们直径在同一它们直径在同一 直线上直线上,弦弦AB与小半圆相切与小半圆相切,且与直径且与直径 平行平行.弦弦AB长长12厘米厘米,求图中的阴影的求图中的阴影的 面积面积? AB 图形面积计算技巧 O AB通过平移变成右图通过平移变成右图, 阴影部分的面积就是圆阴影部分的面积就是圆 环面积的一半环面积的一半. 22 1 () 2 Rr 222 6Rr 2 1 6 2 2 56.52().cm 图形面积计算技巧 例例18 如图一条白色手帕如

24、图一条白色手帕,它的边长是它的边长是 18厘米厘米,手帕上横竖有两道红条手帕上横竖有两道红条,红条宽红条宽 都是都是2厘米厘米.问这条手帕白色部分的面问这条手帕白色部分的面 积是多少积是多少? 把红条向右把红条向右、向下平移、向下平移( (如如 图图),), (18 22) (18 22) 2 196().cm 图形面积计算技巧 2.反射法反射法: 一些轴对称图形一些轴对称图形,在进行面积在进行面积 计算时计算时,有时可以利用对称的观点有时可以利用对称的观点,沿沿 图形的对称轴翻转图形的对称轴翻转,把两处不规则图把两处不规则图 形拼成一处规则图形形拼成一处规则图形,使解法简便使解法简便. 图形

25、面积计算技巧 例例19 如图如图A部分与部分与B部分的面积相差部分的面积相差 ( )平方厘米平方厘米. A A B B O 3 2 利用对称观点解题利用对称观点解题: B部分比部分比A部分面积大部分面积大 2 (3 2) (2 2) 24().cm 图形面积计算技巧 练习练习17 求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积? (单位单位:cm) 5 2 0 20 5 2 (5 2) 5 2 2 502525().cm 图形面积计算技巧 3.旋转法旋转法:旋转法是将图形绕一个点顺旋转法是将图形绕一个点顺 (逆逆)时针方向转过某一个角度时针方向转过某一个角度,图形在图形在 转动时位置始终保持不变的那

26、一点转动时位置始终保持不变的那一点, 叫做旋转中心叫做旋转中心,图形旋转的角度图形旋转的角度,叫做叫做 旋转角旋转角. 显然图形在旋转时显然图形在旋转时,它的大小和形它的大小和形 状都没有改变状都没有改变. 图形面积计算技巧 例例20 在直角三角形在直角三角形ABC中中,四边形四边形 AEFD是正方形是正方形,BF=77cm,FC=52cm, 求图中两个三角形面积的和求图中两个三角形面积的和? B F C D A E 55 77 直角三角形直角三角形DFC以以F旋转中心旋转中心, 逆时针旋转逆时针旋转90度度,拼成一个拼成一个 大直角三角形大直角三角形. 2 52 77 2 2002().cm

27、 图形面积计算技巧 例例21 ABCD是平行四边形是平行四边形,并且四边相并且四边相 等等, EFG,PNM是圆内是圆内 正三角形正三角形,并且面积都是并且面积都是100平方厘米平方厘米, 求平行四边形求平行四边形ABCD的面积的面积? 0 60,ABC A B C D E FG P M N EFG面积是面积是ABC 1 , 4 面积的 2 100 4 2800().cm 图形面积计算技巧 练习练习18 如图是一个边长如图是一个边长10厘米的正厘米的正 方形方形,在正方形内作一个最大的圆在正方形内作一个最大的圆,再在再在 圆中作一个最大的正方形圆中作一个最大的正方形,求小正方形求小正方形 的面积的面积? 解法一解法一: 2 2 10 1050(), 4 cm 解法二解法二:旋转法旋转法 小正方形面积是大正方形面积的小正方形面积是大正方形面积的 1 , 2 2 1 101050(). 2 cm 图形面积计算技巧 19 求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积?(单位单位:cm) 半圆面积半圆面积-三角形面积三角形面积 20 2 11 101010 2