2007年普通高等学校招生全国统一考试四川卷

1、中国教育在线高考频道 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。1至 2页。第卷 3第卷注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3本卷共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么号。球是表面积公式P(A B) P(A) P

2、(B)S 4 R2如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径球的体积公式P(A B) P(A) P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率V 4 R33其中 R 表示球的半径Pn(k) CnkPk(1 P)n k一、选择题(1)设集合 M=4,5,6,8, 集合 N=3,5,7,8 那么 M N= (A)3,4,5,6,7,8(B)5,8(C)3,5,7,8(D)4,5,6,8150，(B)AC1 BD(D)异面直线 AD 与CB 所成的角为(2)函数 f(x)=1+log 2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的

3、图象大致是 (3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10 个苹果，其重量(单位：克)分别为：152， 153， 149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2 克 (B)149.8 克 (C)149.4 克 (D)147.8 克 (4)如图， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(A )BD平面 CB1D1(C) AC 1平面 CB1D1中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 5)如果双曲线x2 y2 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是22,那么点 P 到 y 轴的距离46(A) 4366)设球 O 的半径是2

4、6(B) 2361，A、B、C 是球面上三点，已知球面距离都是 ，且二面角 B-OA-C 的大小是 ，则从 23两点再回到 A 点的最短距离是(A) 766 (7)等差数列(A)9(8)设 A( a,1) 的投影相同，则A.4a-5b=3 (9)用数字 1， 2，A.48 个(10)已知抛物线2(C) 2 6(B) 5(C) 4343an 中， a1=1,a3+a5=14，其降 n 项和 Sn=100,则 n=(D)12O 为坐标原点，若 OA 与 OB 在 OC 方向上(B)10 (C)11,B(2,b),C(4,5) 为坐标平面上三点，a与 b 满足的关系式为D.5a+4b=12 3， 4

5、， 5可以组成没有重复数字，并且比20 000 大的五位偶数共有B.5a-4b=3C.4a+5b=14A.3B.36 个C.24 个D.18 个2y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则 |AB|等于B.4C.3 2D.4 2(11)某公司有2项目乙投资的 2 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 30.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确提财投资后， 在两个项目上共可获得的最大利润为A.36 万元 B.31.2 万元60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对(1

6、2)如图， l1、 l2、 l 3是同一平面内的三条平行直线， 正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、C.30.4 万元 D.24 万元 l1与 l2与 l3同的距离是l3 上，则 ABC 的边长是A.2 3B. 4 63C.37D. 2 21二、填空题：本大题共 4 小题，每小题13) . x 1x4 分，共 16 分，把答案填在题横线上的展开式中的第 5 项为常数项，那么正整数 n 的值是14、在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱长为 2 ，底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面ACC1A1 所成的角是 15、已知O的方程是x2y2 20，O的方程是x2y28x 100

7、，由动点 P 向O 和 O 所引的切线长相等，则运点 P 的轨迹方程是 中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 16、下面有 5 个命题：函数 y sin4 x cos4 x 的最小正周期是； 终边在 y 轴上的角的集合是 | k ,k Z；2在同一坐标系中，函数 y sin x 的图象和函数 y x 的图象有 3 个公共点；把函数 y 3sin（2 x ） 的图象向右平移 得到 y 3sin 2x 的图象； 36角 为第一象限角的充要条件是 sin 0其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题。共 74 分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤 （17

8、 ）（本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取 一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品 .（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出 4 种进行检验，求至少要 1 件是合格产品的概率 .（ ）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，来进行检验，只有 2 件产品合格时才接收这些产品， 否则拒收，分别求出该商家计算出 不合格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。18 ）（本小题满分 12 分）已知 cos= 1 ,cos(-) 13 ，且 0 , 7

9、 14 2( )求 tan2的值；)求 .（19）（本小题满分 12 分）如图，平面 PCBM 平面 ABC , PCB =90,PM BC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60，又 AC=1,BC=2PM=2, ACB=90 （）求证： ACBM;（）求二面角 M -AB -C 的大小； （）求多面体 PMABC 的体积 .（20）（本小题满分 12 分）设函数 f（ x）=ax3+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（ 1,f（1）处的切线与直线 x6y 7=0 垂直，导函数 f（ x）的最小值为 12.（）求 a，b，c 的值；（）求函数 f（ x）的单调递增区间，并求函数f（

10、x）在 1,3上的最大值和最小值 .中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 （21）（本小题满分 12 分）2求 F1、 F2分别是横线y2 1的左、右焦点 .42 2 5 （）若 r 是第一象限内该数轴上的一点， PF1 PF2，求点 P 的作标；4（）设过定点 M（ 0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B，且 ADB 为锐角（其中 O 为作标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .（22）（本小题满分 14 分）已知函数 f（ x）=x2 4，设曲线 yf（x）在点（xn，f（xn）处的切线与 x轴的交点为 （ xn+1,u） （u,N +），其中为正实数 .（）用 xx

11、 表示 xn+1；x2（）若 a1=4，记 an=lg n ，证明数列 a1成等比数列，并求数列 xn的通项公式； xn 2（）若 x14，bnxn2，Tn 是数列 bn的前 n 项和，证明 Tn3.中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 2007年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷 ）文科数学参考答案 （ 含详细解析 ）一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分1、设集合 M 4,5,6,8 ，集合 N 3,5,7,8 ，那么 M N （ ）（A）3,4,5,6,7,8（ B） 5,8（C） 3,5,7,8（ D ）M 4,5,6,8解析：选 A 2、函数 f（x）

12、 1 log2 x与 g（x） 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）10 个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（C）149.4 克（D ） 147.8 克面结论错误的是（）解析：选 C3、某商场买来一车苹果，从中随机抽取了150，152，152，153，149，148，146，151 （）（A ） 150.2克（B）149.8 克解析：选4、如图， ABCD A1B1C1D1 为正方体，（A）BD /平面 CB1D1（ B） AC1 BDC) AC1 平面 CB1D1（D）异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60解析：选225、如果双

13、曲线 xy 1上一点 P到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P到 y轴的距离是42（）中国教育在线高考频道A) 4 63B) 2 63C) 2 6(D) 2 3中国教育在线高考频道 解析：选 A由点 P 到双曲线右焦点 （ 6,0） 的距离是 2知 P 在双曲线右支上又由双曲线的第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是 2 6 ，双曲线的右准线方程是 x 2 6 ，故点3346P 到 y 轴的距离是36、设球 O的半径是 1， A、 B 、C 是球面上三点，已知 A到 B 、C 两点的球面距离都是 ，且二面角 B OA C 的大小是2 到 A 点的最短距离是（7A）C) 3解析：选 Cd AB

14、 BC CA 2则从 A点沿球面经 B、C 两点再回B）D）3 本题考查球面距离7、等差数列an 中， a1 1，a3 a5 14 ，其前 n 项和 Sn 100 ，则 n （ ）（A）9 解析：选B)10C)11D) 128、设 A(a,1)，B（2,b），C（4,5） 为坐标平面 上三点，O为坐标原点， 若OA与OB在OC 方D )5a 4b 14 OA OC OB OC 即9、用数字 1，2，3，（A）48个解析：选个位是10、已知抛物线 yA)3B)4C) 3 2向上的投影相同，则 a与b 满足的关系式为（ ）（A）4a 5b 3 （B）5a 4b 3 （ C） 4a 5b 14 解析

15、：选 A由 OA与 OB 在 OC 方向上的投影相同，可得：4a 5 8 5b ， 4a 5b 3 4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（ （B）36 个（C）24 个（D）18 个2 的有 3A33 18个，个位是 4的有 3A33 18个，所以共有 36个x2 3上存在关于直线 x y 0对称的相异两点 A、 B ，则 AB 等于（ ）解析：选 C设直线 AB 的方程为 y x b ，由中国教育在线高考频道2yx2 3y x b中国教育在线高考频道 x2 x b 3 0 x1 x21，进而可求出 AB 的中点11 M ( ,22b)，又由 M( 1, 1 b)

16、在直线 x y 0上可求出 b 1，x2 x 2 0，由弦长公式可求出AB1 12 12 4 （ 2） 3 2 本题考查直线与圆锥曲线的位置关22系自本题起运算量增大11、某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项20.4目乙投资的 2 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 3万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这 两个项目上共可获得的最大利润为（ ）（A）36万元（B）31.2 万元（C） 30.4万元（D）24万元解析：选 B对甲项目投资 24万元，对乙项目投资 3

17、6万元，可获最大利润 31.2 万元为对乙项目投资获利较大， 故在投资规划要求内 （对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的2 倍时可3 获最大利润 这是最优解法 也可用线性规划的通法求解 注意线性规划在高考中以应用题 型的形式出现12、如图， l1、l2、 l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是 1，l2与l3间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 、l2、l3上，则 ABC 的边长是（）A )2 3B）46C) 3 174D）2 213解析：选D过点作 l2的垂线 l4，以l2、l4为x轴、 y

18、轴建立平面直角坐标系 设 A（a,1） 、(a b)2 12 2 2 2 2 32 b24a2912，无解；检验 B：(ab)2 1b24a29 ，无3解；检验 D ：2 2 2 28（a b）2 1 b2 4 a2 9 ，正确本题是把关题在基础中考能力，3B(b,0) 、C(0, 2)，由 AB BC AC 知 (a b) 1 b 4 a 9 边长 ，检验 A：在综合中考能力，在应用中考能力， 在新型题中考能力全占全了 是一道精彩的好题 可惜 区分度太小、填空题：本大题共 4小题，每小题 4 分，共 16分；把答案填在题中的横线上中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 1n13、 (x )

19、n 的展开式中的第 5 项为常数项，那么正整数 n 的值是 x解析： n 8 14、在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱长为 2， 底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面ACC1A1 所成的角是 解析： BC13，点 B到平面 ACC1A1的距离为 3 ， sin 1， 30 2215、已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x 100，由动点 P 向O 和 O 所引的切线长相等，则运点 P 的轨迹方程是 解析： O ：圆心O(0,0) ，半径 r 2； O ：圆心O (4,0) ，半径 r 6设P(x,y) ， 由切线长相等得2 2 2 2 3x2 y2 2 x2 y2

20、8x 10 ， x 216、下面有 5 个命题：函数 y sin4 x cos4 x 的最小正周期是 ；终边在 y 轴上的角的集合是 | k ,k Z ；2在同一坐标系中，函数 y sin x 的图象和函数 y x 的图象有 3 个公共点；把函数 y 3sin(2 x ) 的图象向右平移 得到 y 3sin 2x 的图象； 36角 为第一象限角的充要条件是 sin 0其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)解析： y sin4 x cos4 x sin2 x cos2 x cos2x ，正确；错误； y sin x ， y tanx 和 y x 在第一象限无交点，错误；正确；错误故选三、

21、解答题： 本大题共 6小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、(本小题满分 12 分)厂家在产品出厂前， 需对产品做检验， 厂家将一批产品发给商家时， 商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品 ()若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出 4 种进行检验，求至少要1 件是合格产品的概率()若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件， 来进行检验， 只有 2 件产品合格时才接收这些产品， 否则拒收， 分别求出该商家计算出不合 格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概

22、率。解析： 本题考查相互独立事件、 互斥事件等的概率计算， 考查运用所学知识与方法解决实际 问题的能力中国教育在线高考频道） 记“厂家任取 4件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来中国教育在线高考频道 i 件” (i 1,2) 为事件 Ai P(A1)C117C31C22051190P(A2)C32C2203190算，有4P(A) 1 P(A) 1 0.24 0.9984）记“商家任取 2 件产品检验，其中不合格产品数为商家拒收这批产品的概率51 P P(A1) P(A2) 159101902795故商家拒收这批产品的概率为279511318、（本小题满分 12

23、 分）已知 cos ， cos（ ） ，且 0 7142（）求 tan2 的值；（）求 解析： 本题考查三角恒等变形的主要基本公式、 三角函数值的符号、 已知三角函数值求角以及计算能力)由 cos4 3 7711 2 ， 0 ，得 sin 1 cos 72sin tancos于是tan22tan1 tan22431 (4 3)28347)由 0 ，得 0 2213又 cos( ) ，14 sin( ) 1 cos2() 1 (13)2 3 314 14由 （） ，得中国教育在线高考频道cos cos( ) sin sin( )1 13 4 3 3 3 17 14 7 14 2319、（本小题满

24、分 12分）如图，平面 PCBM 平面 ABC ， PCB 90 ， PM / BC，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60，又 AC 1，BC 2PM 2 ， ACB 90 （）求证： AC BM ； （）求二面角 M AB C 的大小； （）求多面体 PMABC 的体积解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、 应用向量知识解决数学问题的能力、 化归转化能力和推理运算能力)平面 PCBM 平面 ABC ， AC BC ， AC 平面 ABC AC 平面 PCBM又 BM 平面 PCBM AC BM)取 BC 的中点 N

25、，则 CN 1连接 AN 、 MN 平面 PCBM 平面 ABC ，平面 PCBM 平面 ABC BC ， PC BC PC 平面 ABC PM /CN ， MN / PC ，从而 MN 平面 ABC 作 NH AB 于 H ，连结 MH ，则由三垂线定理知 AB MH 从而 MHN 为二面角 M AB C 的平面角直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60， AMN 60 在 ACN 中，由勾股定理得 AN 2 在 Rt AMN 中，MN AN cot AMN 2 3 6 33在 Rt BNH 中，NH BN sin ABC BN AC 1 1 5AB 5 5中国教育在线高考频道中国教育在线

26、高考频道 6在 Rt MNH 中， tan MHN MN 3 30NH 5 35)如图以 C 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz 设 P(0,0, z0) (z0 0) ，有 B(0, 2,0) ， A(1,0,0) ， M (0,1,z0 ) AM ( 1,1, z0 ) ， CP (0,0, z0)由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 AM CPcos60即z02 12 z02 2 z0，解得 z0 36，得 AM ( 1,1,， AB ( 1,2,0)故二面角 M AB C 的大小为 arc tan 30 3设平面 MAB 的一个法向量为 n1 (x1,y1,z1) ，则n AM

27、 0 由n AB 06 z 03 z 0 ，取 z16 ，得 n1x 2y 0xy(4,2, 6)取平面 ABC 的一个法向量为 n2 (0,0,1)则 cos n1,n2n1n2n1 n26 3926 1 13由图 知二面角 M AB C 为锐二面角，故二面 角M AB C 的 大 小 为39 arccos 13)多面体 PMABC 就是四棱锥 A BCPMVPMABCVA PMBC1 1 113 SPMBC AC 13 12 (PM CB) CPAC 1 1 (2 1) 6 1 63 2 3 6中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 20、(本小题满分 12分)设函数 f(x) ax3

28、bx c(a 0)为奇函数， 其图象在点 (1, f (1)处的切线与直线 x 6y 7 0垂直，导函数 f (x) 的最小值为 12()求 a， b， c的值；()求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数 f (x)在 1,3上的最大值和最小值 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推 理能力和运算能力() f (x) 为奇函数， f ( x) f(x)即 ax3 bx c ax3 bx c c 02 f (x) 3ax2 b 的最小值为 12 b 121又直线 x 6y 7 0 的斜率为6因此， f (1) 3a b 6 a 2 ， b 12 ，

29、 c 0 () f (x) 2x3 12x f (x ) 26x1 2 x6 (x2 ，) 列( 表如下2：)x( , 2)2( 2, 2)2( 2, )f (x)00f (x)极大极小所以函数 f ( x)的单调增区间是 ( , 2) 和 ( 2, ) f ( 1) 10 ， f ( 2) 8 2 ， f(3) 18 f (x) 在 1,3 上的最大值是 f (3) 18 ，最小值是 f ( 2) 8 2 中国教育在线高考频道中国教育在线高考频道 221、（本小题满分 12分）设 F1、 F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点1 2 4）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF1 PF25

30、，求点 P 的作标；4）设过定点 M （0,2）的直线 l与椭圆交于同的两点 A、B，且 AOB 为锐角（其中 O为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围解析： 本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识， 决问题及推理计算能力以及综合运用数学知识解）易知 a 2 ， b 1 ， c 3 F1( 3,0) ，F2( 3,0) 设 P(x,y) (x 0,y 0) 则PF12x2PF2 ( 3 x, y)( 3 x, y) x2 y2 3 5 ，又 y 1， 44联立2 2 7 xy2 4 ，解得 x4 y2 14x2 1 y2 3 y4x13 ， P(1, y2）显然x 0不满

31、足题设条件可设 l的方程为 y kx 2，设 A（x1, y1 ） ， B（x2,y2）联立2x2 y2 14x2 4(kx 2)2 4 (1 4k2 )x2 16kx 12 0y kx 212 16k x1x2 1 4k2x1 x21 4k2由 (16k)2 4 (1 4k2) 12 016k2 3(1 4k2) 0，4k2 3 0，得 k2 3 4又 AOB 为锐角 cos AOB 0 OA OB 0 ， OA OB x1x2 y1y2 0又 y1y2 (kx1 2)(kx2 2) k2x1x2 2k(x1 x2) 4 x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 2k(x1 x2) 4(1 k2) 12 2