分式复习讲义

1、分式复习知识点复习1. 分式的概念A(1) 如果A、B表示两个整式，且 B中含有未知字母，那么式子一叫做分式。B(2) 分式与整式的区别：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含有字母。A2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0,即-中，B工0时，分式有意义。BAA = 0a3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于一，即时，一 =0 .B呼0B4. 分式(数)的基本性质：分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。A A MA A M /,(M为工0的整式)BB MB B- M5. 分式通分(1) 通分的依据是分式的基本性质；(2) 通

2、分的关键是确定最简公分母 ；(3) 通分后的各分式的分母相同；(4)通分后的各分式分别与原来的分式相等6. 分式通分的步骤(1) 确定最简公分母 取各分母系数的最小公倍数。 凡出现的字母(或含字母的式子)因式都要取。 相同字母(或含字母的式子)的幕因式取指数最大的。 当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。(2) 将各分式化成相同分母的分式。7. 分式的约分(1)约分的依据：分式的基本性质(2)约分后不改变分式的值。(3) 约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：a ; 旦=- 旦

3、b-bb b-b -b b9. 分式的乘除法则a c ac .旦 _ a d adb d bd b d b c bcan=乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即 11.分式的加减(1) 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。(2) 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。abac二 二=ccbd12.分式的混合运算原则(1)先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。(2 )同级运算，按运算顺序进行。(3) 运算过程中，

4、要灵活运用交换律、结合律、分配律。(4) 结果化为最简分式或整式。13.整数指数幕(m,n为整数)(2) (am)n= (3) (ab)n=(4) am“an= (a) 零指数幕的性质：a0 =)(5)an=，负指数幕的性质:-na=_L )引入负整数指数幕后，正整数指数幕的运算法则对负整数指数幕一样适用 14.分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。整式方程 ，女口 3x +3 = 4 x -215 解分式方程的一般步骤：分式方程如丄x 122x 3(1) 去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；(2) 解这个整式方程；(3) 验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使

5、最简公分母为零的根是原方程的16.用换元法解分式方程的一般步骤： 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； 检验作答17 分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：增根，必须舍去(1)检验所求的解是否是所列 ； (2)检验所求的解是否18 易错知识辨析:(1) 去分母时，不要漏乘没有分母的项(2) 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 0 增根，应舍去，也可直接代入原方程验根(3) 如何由增根求参数

6、的值：将原方程化为整式方程；将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值的值是原分式方程的考点讲解考点1.分式的概念和性质1 2例1代数式一J，-X,x +1 3xA 1 B 2 C旦中，分式的个数是(兀 3 D 4x 1例2 ( 1)已知分式-1的值是零，那么x的值是X +11(2)当x时，分式没有意义.x 1例3下列各式从左到右的变形正确的是( D )0.2a +b = 2a+b a 0.2b a 2bx 1x -1x-yx-ya ba -ba - ba b2x-yx 2y填写出未知的分子或分母：（1）-3匚丄丄，（2）x y x - y把分式2x 2y中的x, y都扩大x y2y 1(2倍，

7、则分式的值（A .不变 B .扩大2倍 C.扩大4倍 D缩小2倍考点2 :分式的化简与计算例1计算二生+匕乞的结果是.a -11 -a1 2 1例2 已知 x3，贝y x 2 = .xx例3 （ 08芜湖）已知1 - 1 = 3，则代数式2x4xy-2y的值为.x yx 2xy _ y2八2已知x_3y 则x于J二x+ y计算2aa2 2a例5化简X_1x1x考点3 :分式条件求值 ：11 2例1 （08资阳）（一 一一1）十十，其中x= 1.x -2x x -4x +4x -2x例2先化简，再求1 1 1-2 2 2 的值，其中 x=5x -3x 2 x -5x 6 x -4x 3例3先化简

8、代数式：口 221 ，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值.lx+1 X2 -1 丿 x-1考点4 :可化为一元一次方程的分式方程、方程的增根。1 1 x例1 以下是方程丄=1去分母、去括号后的结果，其中正确的是（C ）x 2xA . 2-1-x=1 B. 2-1x=1 C. 2-1x=2x D. 2-1-x=2x2 x1例2 解方程：=1x 33 x1 2例3解方程 名会出现的增根是（A ）x T x -1A . x = 1 B. x = -1C. X=1 或 x = -1 D. x=2例4 若关于x方程2m x-1=2无解，则m的值是 m-1或-3x _3 x22例5 若耳3x =卫

9、丄，试求m,N的值.x2 T x +1 x 1例6若关于x的分式方程x3 x 3有增根，求m的值.例7若分式方程 空色=_1的解是正数，求a的取值范围x 一2一23提示：x -0 且 x = 2， . a ：2 且 a- -4 .3考点5 :分式方程的应用例1某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 25 %，小明家去年12月 份的水费是18元,而今年5月份的水费是36元已知小明家今年 5月份的用水量比去年 12月份多6立方米，求该市今年 居民用水的价格.例2在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内(含30天)完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做

10、24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成.请问：(1) 甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？(2) 已知甲工程队每天的施工费用为0. 6万元，乙工程队每天的施工费用为0. 35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天(同时施工即为合做)施工费用最低？解：(1)设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，” 24 丄 24,+=1,x y由题意得方程组：y,解之得：x=40, y=60.118+18+10 =X y x(2)已知甲工程队每天的施工费用为0. 6万元，乙工程队每天的施工费用为0. 35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施

11、工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工30 1x=-a 且 a*-2A .B .C4x y2x 3y6. 某种感冒病毒的直径是0.000000126x -15y d12x-15y4x 2y4x 6y米，用科学记数法表示为 米.程队完成.由（1）知，乙工程队30天完成工程的60 21 1甲工程队需施工 丄十 丄=20 （天）.2 40最低施工费用为 0. 6 X 20+ 0. 35X 30=22.5 （万元）.答：（1 ）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是 22.5万元.评析：这道考题把对二元

12、一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维.自我检测2y + a1、填空题 （1）使分式 么丄的值等于零的条件是3x4x + 2（2） x时,分式二二 的值为正数；x2 +5（3）2 , 2最简公分母是（a+b） a -b2.下列各分式中，最简分式是（B ）A 34x-y b、x2 y2 c85(x+y)x2y+xy2y2 -2 xx2 -y2D、x y2xy3.下列各式中，从左到右的变形正确的是（B)A、一x y x y B、-x yx -yC-x y x y、D 、一x yx- y_xyxyxyx yx _y xyx _ yx y24 将分式中的x、y的值同时

13、扩大2倍，则扩大后分式的值（a ）x yA扩大2倍；B、缩小2倍；C、保持不变；D、无法确定；C 52x-5不改变分式亠的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（D ）2x+y37 某农场原计划用 m天完成A公顷的播种任务，如果要提前a天结束，那么平均每天比原计划要多播种 公顷.aAm(m _a)8、工地调来72人参加挖土和运土，已知 3人挖出的土 1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及72 -X=3上述所列方程，正确的有（）个72 一 X J 72-x=- x+3x=72 x 33时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程9.函数y= J2x +1% _3)匸

14、中，自变量x的取值范围是 . x-且xm , xm 31 -2x22fl Y10计算(_1)2+| | _5 + (2004_兀) 的结果是.-22)m的取值范围m ： 一1, m = -3.3 111. 若关于x的方程有一个正数解，求x 3 x +m12. 7.7 10“有_个有效数字，它精确到 位，化成小数是 3xA R13. 已知 2 3xA ，则 A=，R=.x -7x 10 x-2 x-56 x + 5A ）无法确定14. 若分式方程一6有增根，则增根是(X -1x(x -1 )A. x= 1 R. x = 1 和 x = 0 C. x= 0 D.3 a415、若方程a4有增根，则a

15、= 68x2x(x2)x111b a16. 已知，贝V的值为(C )a b a b a bA、-3 B 、-2 C 、-1 D 、017. （ 2013 ?日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A.8B.7C.6D.5鶴:设甲志嚏者计划兗成就项工作霍X天，勺f工？_3甲前两牛工作目芫成了二，训余的工作日去成了 己宾麻了XXX心心工XK 8 *经梯號！ 乂二&是原方程的爺.故选卫-18. (1)2 2x -6x 9 一- x -9 x 3x2X6x27x 10

16、2 x5(2)(3)a -ba2 abb2 abab212 +-ab a +b /(4)x2 4x2(二一 .3)0 + (- ) 2y2X319.解方程：二32x+2 x2 2 220.已知：实数x,y满足|2x_y+1 +2J3x_2y+4 =0，求代数式1上工十一2值;1x_2y x2_4xy + 4y23天，现在甲、乙两21.某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？22.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购

17、进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了 4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。23.我市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完 工问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用 1万元，要使完成该工程所需费用不超过 35万元，则乙工程队至 少要施工多少天？培优提咼1.当a为何整数时，代数式 399a 805的值是整数，并求

18、出这个整数值 a +22.1已知x 4 ,2求的值;3.2 2 1已知y ，丫-1*0,求y2的值。3y4.已知 a2 4a 1=0,a4 ma2 1322a ma 2a5.如果关于x的方程1二-4 的解也是不等式组2x x -4m的取值范围。1 -x:2 AX _2的一个解，求2(x -3) _ x -86.若a b -cca b cb c -aaK= 1 或-2ab7.（倒数求值）：已知_ 1一 ?bc _ 1 ?ac 1 。求abca +b3b c 4a c 5ab bc ac3x 6x 5 ,求分式 2的取小值。0.5x +x+1求工 b J的值1 a 1 b 1 c0.若 x = a

19、, _L = b, L 二 c,且x y z 严0 , y z z x x y11、先阅读下面的材料，然后解答问题通过观察，发现方程x 1 =21的解为花=2必二1;x 22x 3 1 的解为 =3,X2 二1x 33x 1 =4 1 的解为 x4, x2 = 1;x 44(1)观察上述方程的解猜想关于x的方程x 1 =5 1的解是x 511 根据上面的规律,猜想关于x的方程X +丄=C +丄的解是xC把关于x的方程X2 x 1x -1-a丄aa T变形为方程,方程的解是解决这个问题的数学思想是不变化思想12.阅读下列材料：1 1 1211111=一 | 3 523511115 7 一 25一

20、7117 191 1 1112(1弓 2(1一5)11i1719117 191 - 211丄1丄11_丄)2 3 3 5 5 717 19=1(1解答下列问题:111(1) 在和式 +川|1中，第6项为，第n项是.V33汉55汇7(2) 上述求和的想法是通过逆用 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的.(3 )受此启发，请你解下面的方程：1 11x(x 3) (x 3)(x 6) (x 6)(x 9) 2x 1811 13(2n -1)(2n 1)(2)分式减法，对消(3)解析：将分式方程变形为11 一丄 11119整理得1 一9，方程两边都乘以x x 92(x 9)经检验，x=2是原分式方程的根.点评：此方程若用常规方法来解，显然很难，3 x x 3 x 3 x 6 x 6 2x 182x(x+9)，得 2(x+9) -2x=9x，解得 x=2.这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧.13某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台 降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有 8万元.(1) 今年三月份甲种电脑