2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题(含答案

1、3.如图，直线 AB和抛物线的交点是 A (0, - 3), B (5, 9),已知抛物线的顶点 D的横坐2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1 .如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)和点B,与y轴交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点 P,使 PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒 2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M到达点B时，点M、N同时停

2、止运动，问点 M、N运动到何处时， MNB面积最大，试求 出最大面积.2 .如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90得到平行四边形 A B OC抛物线y= - x2+2x+3经过点A、C、A三点.(1)求A、A、C三点的坐标;(2)求平行四边形ABOC和平行四边形 A B OC重叠部分 C OD的面积;(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M在何处时， AMA的面积最大?最大面积是多少？并写出此时M的坐标.标是2.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)在x轴上是否存在一点 C,与A, B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标,若不在，请

3、说明理由;(3)在直线AB的下方抛物线上找一点 P,连接PA, PB使得 PAB的面积最大，并求,它们相交于O, C两点，且分别与 x轴的正半轴交于点 B,点A, OA = 2OB.(1)求抛物线C2的解析式;(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小？若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由;(3) M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO, MC, M运动到什么位置时, MOC面积最大？并求出最大面积.c3A ( 1, 0), B (4, 0), C (0,5 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.

4、(1)求这个二次函数的解析式;(2)是否存在点P,使 POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标;若不存在，请说明理由;(3)动点P运动到什么位置时， PBC面积最大，求出此时 P点坐标和 PBC的最大6 .如图，二次函数 y= - x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为 B (4, 0),另一个交点为 A, 且与y轴相交于C点(1)求m的值及C点坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B, C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由(3) P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时，求点 P的坐标；

5、点P的横坐标为t (0vt4),当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由.7 .如图，抛物线 y=ax2+bx+尚与直线AB交于点A (-1, 0), B (4,一),点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点(不与点A、B重合)，直线CD与y轴平行，交直线 AB于点C,连接AD, BD.(1)求抛物线的表达式;(2)设点D的横坐标为 m, AADB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出当 S8 .如图 A (0, 3), B (3, 0), C (1, 0)分别是抛物线： y=ax2+bx+c (aw 0)上的三点， 点P为抛物线上一动点.(1)求此抛物线的解析式.(2)当 PA

6、B是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标.(3)若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使PAB的面积最大？若存在，请求此时点 P的坐标.若不存在，请说明理由.7/K1二必十也Lt9.如图，抛物线 y=ax +bx+c经过A (0, 3)、B ( - 1, 0)、D (2, 3),抛物线与 x轴的另2一交点为E.点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)当t为何值时， PAE的面积最大？并求出最大面积;(3)是否存在点P使 PAE为直角三角形？若存在， 求出t的值；若不存在，说明理由.10.如图，抛物线 y=ax2+bx+c

7、与x轴交于A (- 1, 0) B (3, 0)两点，与y轴交于点 C(0, -3)(1)求出该抛物线的函数关系式及对称轴(2)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t (0vtaAOB = -X 3X 122又.平行四边形 ABOC旋转90得平行四边形 A B OC, ./ACO=/OC D, OC =OC = 1,又. / ACO = / ABO, ./ ABO=Z OC D.又. / C OD = Z AOB,.C ODABOA,(3)设 M 点的坐标为(m, - m2+2m+3), 0V m3,作MN/y轴交直线 AA于N,易得直线 AA 的解析式为y= - x+3,则N ( m,

8、 - m+3),. MN=- m2+2m+3- (- m+3) =- m2+3m,SaAMA = SaANM+SaMNA= _MN?32，2=(m +3m)=-m2+m22+2|2-(m -2二时，Sa AMA的值最大，最大值为227,此时m点坐标为当m=3.【解答】解：（1）抛物线的顶点 D的横坐标是2,则x=- = 2，2a抛物线过是A （0, - 3）,则：函数的表达式为：y=ax2+bx-3,把B点坐标代入上式得：9=25a+5b - 3，联立、解得：a=工l , b = -, c= - 3,55，抛物线的解析式为：y=x2-x- 3, 55当x=2时，丫=一国三，即顶点D的坐标为（2

9、,一国士）；(2) A (0, - 3) , B (5, 9),则 AB= 13,当AB=AC时，设点C坐标（m, 0）,则：（m） 2+ （-3） 2=132,解得：m=4/!5, 即点C坐标为：（4广私0）或（-4/10, 0）;当AB=BC时，设点C坐标（m, 0）,则：（5 m） 2+92= 132,解得：m=52V22,即：点 C 坐标为（5+222, 0）或（5- 222, 0）,当AC=BC时，设点C坐标（m, 0）,则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点,则点C坐标为（，0),故：存在,点C的坐标为：（H140）或（-4m,0）或（5+21元，0）或（5-2/22，0）或（3）

10、过点P作y轴的平行线交 AB于点H,设：AB所在的直线过点 A （0, -3）,则设直线AB的表达式为y=kx- 3,把点B坐标代入上式，9= 5k- 3,则k=,故函数的表达式为：y=x- 3,设：点P坐标为（m, -m2-m - 3）,则点H坐标为（m,2m - 3）,Sapab=4？PH?xb=（ -m2+12m）, 2z 5当m= 2.5时，S&ab取得最大值为： 圭 2答： PAB的面积最大值为 四.24.【解答】解：（1）令：y=x2-2x=0,则x=0或2,即点B （2, 0）, Ci、C2： y= ax2+bx开口大小相同、方向相反，则 a= - 1, 则点A （4, 0）,将

11、点A的坐标代入 C2的表达式得：0= - 16+4b,解得：b = 4,2故抛物线C2的解析式为：y= - x +4x;（2）联立Cl、C2表达式并解得：x=0或3,故点 C (3, 3),作点C关于C2对称轴的对称点 C 连接AC 交函数C2的对称轴与点展此时PA+PC的值最小为：线段 AC此时点P (2, 2);(3)直线OC的表送式为：y=x, 过点M作y轴的平行线交 OC于点(1, 3),P,的长度=3亚,H,o j /jEyI :(1 如设点 M (x, x2+4x)贝U SaMOC=-MH X xc-V 0,故 x = 7-,故当点M (g,) 245 .【解答】解：(1)设抛物线

12、解析式为,则点 H (x, x),( x +4x x) x +22口，、，97时,SaMOC最大值为 .2y= ax +bx+c,把A、B、C三点坐标代入可得. 抛物线解析式为 y=x - 3x-a-b+i-0116a+4b+c = 0 ,解得 匕二-3心=-4白=-44；(2)作OC的垂直平分线 DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点 P,如图1,图1.PO=PC,此时P点即为满足条件的点，,. C (0, - 4),D (0, - 2),一. P点纵坐标为-2,代入抛物线解析式可得 x2-3x-4=- 2,解得x=*7 17 (小于0,舍去)或x=jW17 ,22|存在满足条件的 P点，

13、其坐标为( 安，-2);(3)二点P在抛物线上，可设 P (t, t2 - 3t - 4),过P作PEx轴于点E,交直线 BC于点F,如图2,B (4, 0) , C (0, - 4),直线BC解析式为y=x- 4,F (t, t-4),PF = (t-4) - (t2 - 3t-4) = - t2+4t,Spbc=Sfc+&pfb= _PF?OE+_!pF?BE=_PF?OE+BE) =_LpF?OB=_ (-t2+4t) 22222X4= - 2 (t- 2) 2+8,，当t=2时，Sapbc最大值为8,此时t2- 3t- 4 = - 6,，当P点坐标为(2, -6)时， PBC的最大面积

14、为8.6.【解答】解：(1)将B (4, 0)代入y=- x2+3x+m,解得，m=4,，二次函数解析式为 y = - x2+3x+4 ,令x= 0,彳导y= 4,.C (0, 4),(2)存在，理由： B (4, 0), C (0, 4),直线BC解析式为y= - x+4 ,MBC面积最大,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，ry=-x+4+b、y=-k +31+4x2 - 4x+b= 0, = 16 - 4b = 0,b= 4,尸,I y=6M (2, 6),(3)如图，点P在抛物线上，2. 设 P (m, - m +3m+4),当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂

15、直平分线上, B (4, 0), C (0, 4)，线段BC的垂直平分线的解析式为 y = x,2 m= - m +3m+4)-m=1V5, P (1+J1, 1晒)或 P (1一底-底,过点P作y轴的平行线I,过点C作I的垂线, 点D在直线BC上， D (t, - t+4), 29 i PD= - t +3t+4 - ( - t+4) = - t +4t,BE+CF = 4,112S 四边形 pbqc= 2Sapcb= 2( S，pcd+S，pbd) = 2(-5-PD x CF咛PD x BE) = 4PD= - 4t +16t,，当t=2时，S四边形pbqc最大=167.【解答】解：(1

16、) .由题意得5a-b+= 05 516日十4b至冠解得：1 Q =-2, bb=212c5 y= -x +2x+-(2)设直线AB为：y= kx+b.则=0J 5，解得4k 他二qk2b2直线AB的解析式为y如图所示：记 CD与x轴的交点坐标为 E.过点B作BFLDC,垂足为F.m+)2.S=-LaE?DC+1cD?BF=CD (AE+BF) =_1DC = _-m2+l-m+5 ,- 0, .当m=时，S有最大值.42.,.当 m=-时，-m+-22 2.点 c(,).2 41 x3 + 1 +2 2 28.【解答】解：(1)将 A (0, 3), B (3, 0), C(1,0) 代入

17、y=ax2+bx+c,得:，9a43b4-0,解得: La*b+c=O，抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点P的坐标为(m, m2-4m+3).点A的坐标为(0, 3),点B的坐标为(3, 0),AP2= (m-0) 2+ (m2-4m+3-3) 2= m4-8m3+17m2, BP2= (m-3) 2+ (m2-4m+3) 2= m4 - 8m3+23m2 - 30m+18 , AB2= (3-0) 2+ (0-3) 2= 18.分两种情况考虑：当/ BAP = 90 时，AB2+ap2=BP2,即 18+m48m3+17m2=m48m3+23m230m+18,整理，得：m2 -

18、5m= 0,解得：m1 = 0 (舍去)，m2=5,.点P的坐标为(5,8);当/ABP=90。时，AB2+BP2=AP2,即 18+m4-8m3+23m2-30m+18 = m4-8m3+17m2,整理，得：m2-5m+6 = 0,解得：m3=2, m3 = 3 （舍去），.点P的坐标为（2, - 1）.综上所述：当 PAB是以AB为一直角边的直角三角形时, 点P的坐标为（5, 8）或（2, - 1）.（3）存在，如图过点 P作PD / y轴交直线 AB于点D.设直线AB的解析式为y=kx+d （kw。），k=-ld=3将 A (0, 3), B (3, 0)代入 y= kx+d,得:d=3

19、3k+d=0直线AB的解析式为y=- x+3.设点P的坐标为（n, n /A (0, 3), D (2, 3),，抛物线对称轴为 x=1, E （3, 0）,设直线AE的解析式为y=kx+3,-4n+3） （0vnv3）,则点D的坐标为（n, - n+3）,PD = ( - n+3) - ( n2 4n+3) = - n2+3n,Sa pab=1OB?PD=-3n2+刍3n= (n 2犷吟解得:当n=时，Sa PAB取得最大值，此时最大值为22 0,2278-3k+3 = 0,解得，k=- 1,直线AE的解析式为y= - x+3,2t +2t+3) , M (t5 - t+3),2= Sapj

20、u +Sapme -PM-QE = 2-x 3 x，t=2时，融E的面积最大，最大值是 21.28(3)由图可知/ PEAW90。，只能有/ P/XE = 90 或/ APE =90 ,)2目22，8 ./ OAE=Z OEA=452,作 PGLy轴,FAG=Z APG = 45PG= AG,2t= - t +2t+3- 3,即一2t +t=0,解得t=1或t=0 (舍去)，当/APE=90 时，如图 3,作 PKLx轴，AQXPK,如图1,作PM/y轴，交直线AE于点M,设P (t,图3则 PK= t2+2t+3, AQ = t, KE=3- t, PQ= - t2+2t+3 - 3= -

21、t2+2t,. /APQ+/KPE = /APQ + /PAQ=90 , ./ PAQ=Z KPE ,且/ PKE = / PQA,PKEA AQP, .史AQ PQ9-t +2t+32-t即t2-t- 1 = 0,解得：t= 115或t=上庄0 (舍去)， I 2 | 2 |综上可知存在满足条件的点P, t的值为1或店.210【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),.抛物线与y轴交于点C (0, -3),- 3= a ( 0+1) (0 - 3), a = 1二设抛物线解析式为 y= (x+1) (x-3) =x2-2x- 3,对称轴为直线x=1;(2)设 P (

22、t, t2- 2t- 3),SaPCB = SaPOC+SaPOB- SBOC= X 3t2X 3XR22t- 3|-X3X 3 = 口%t. a0, .函数有最大值,32a 2.时，面积最大, P (3)设 Q (1, n),当PQ、PC为平行四边形的对角线时,P (4, n+3),42- 2X 4- 3= n+3, n = 2,P (4, 5);当CQ、BP为平行四边形的对角线时,P (- 2, n- 3),， 一 2 一 ， 一、 一 一 一(-2) - 2X (-2) - 3=n - 3, n=8,P (- 2, 5);综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形

23、时，P 点的坐标(4, 5), (-2, 5).11.【解答】解：(1)把 A ( 1, 0), C (0, 3)分别代入 y= x2+bx+c 得TFrO；3*，抛物线的解析式为 y= - x2+2x+3;把 C (0, 3)代入 y= -yx+m,解得 m=3,直线CD的解析式为y = _ x+3,2.D点坐标为(,：)； 2 4(2)存在.设 P(m, m2+2m+3),贝U E (m, ；m+3),m,的面积存在最大值,64当 m=二时， CDP4最大值为2 m(3)当 PC = PE 时,m2+ ( - m2+2m+3-3) 2m)2,解得m=0 （舍去）或回4当 CP=CE 时，m

24、2+(-m2+2 m+3 - 3)2=m2+ ( m+3 - 3)j-i2,解得m = 0 （舍去）或2当EC = EP时,晟（舍去）或mm) 2解得m=2综上所述,2HOEl尸B12.【解答】解：（1）当x=- 8时,D当y=0时,机或士疸y=4X7152B ( - 8,15=0,解得 x = 2,则 A (2, 0),IE把 B ( - 8,一打)，A (2, 0)代入 y=-j-x2+ bx+ c 得15，抛物线的解析式y=x2x+2-l+2b+c=0b=4 c4(2)当 x= 0 时，y=4x-2 一二，则 G （0,在 RtAAOG 中，: OG =OA=2,PC，x轴,PC/ OG

25、,ACE=Z AGO,sinZ ACE=A；(3)设 P (x, - -Lx2-凶x+&)，贝U C (x,x-凶)，44 242y-亨-旨那+4，.S=?(2+8)?(-二 x2-二 x+4)=-二x2-叵 x+20=-(x+3) 2+2424244当x=-3时，S的最大值为二区.413【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y= a (x-2) (x+4),将点 M的坐标代入得：-9a = 2,解得:a=一抛物线的解析式为 y =(2)连接AM ,过点 M作MGLAD,垂足为 G.把 x= 0 代入 y= - +4 得:y=4, .A (0, 4).将 y = 0 代入得：0 = - -j-x

26、+4,解得 x= 8,B (8, 0).OA=4, OB=8.M ( 1, 2), A (0, 4), .tan/ MAG = tan Z ABO =MAG = /ABO. / OAB+/ABO = 90 , ./ MAG + /OAB = 90 ,即/ MAB = 90.l是。M的切线.(3)/ PFE+/FPE = 90 , / FBD + /PFE=90 , .tan/ FPE =XPF: PE: EF = V?： 2: 1 . . PEF 的面积=-Lpe?EF = X.5PF?ZLpF =-LpF2. 22555 当PF最小时， PEF的面积最小.设点P的坐标为(x, - Zx2-j

27、lx+一叵)，则F (x,x+4).9992西+改=1 ：PF = ( x+4) - ( -x2 -x+ I： ) = -x+4+- x2 +-x299 92 回 9着x式制.当x = L时,8PF有最小值,PF的最小值为L.32工里8 32 .PEF的面积的最小值为= 二X （上！）2=i24L.532512014.【解答】（1）解：:直线y=-x- 2交x轴、y轴于B、C两点,B (4, 0) , C (0, - 2),C两点,1 .- y= ax2 -三x+c 过 B、2r0=16a-6+e，2二二=-1x2 -JLx- 2.22. y=ix2-3-x-2与x负半轴交于A点，22 A (

28、 - 1, 0),在 RtAAOC 中，AO= 1, OC = 2, -AC = |V5,在 RtABOC 中， . BO=4, OC = 2, BC= 2姓, AB=AO + BO= 1+4=5,AB2= AC2+BC2,. .ABC为直角三角形.,理由如下:(3)解： ABC内部可截出面积最大的矩形 DEFG ,面积为与一点为C, AB、AC、BC边上各有一点，如图 2,此时 AGFsACBs FEB.设 GC = x, AG = a/5 - ,.AG _GFAC CB5.V5-x GF正二 2vr.GF=2V5-2x,.S=GC?GF=x72V5-2k） =- 2x2+2/5x= - 2

29、（x喙）? _1 = 一 2 （ x喙）2+!-, 即当x=时，S最大，为擀.AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图 3,此时 CDEACABA GAD,设 GD = x,.AD _GD AB -CB5,AD x T=2V5，AD = x,CD = CA - AD x,. .强匪,CA -ABS= GD?DE = x?( 5-立x)=2即x= 1时，S最大，为.221x2+5x= - (x- 1) 2- 1=22综上所述， ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG ,面积为15【解答】解：(1)二抛物线的对称轴为D (3, 4) , E (0, 4),点 A 在 DE 上,点A坐标为(1,

30、4),设抛物线的解析式为 y=a (x- 1) 2+4,把C (3, 0)代入抛物线的解析式，可得(x- 1) 2通x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是 C (3, 0),a ( 3 - 1)之+4 = 0,解得a= - 1.故抛物线的解析式为 y= - ( x - 1) 2+4,即 y= x +2x+3 ;(2)依题意有：OC = 3, OE=4,ce=j/oc2ie2=Vs2+4J=5,当/ QPC= 90 时,cos/ QCP =理=迈CQ CE解得t =当/ PQC= 90 时, PCQ为直角三角形;(3) A (1, 4), C (3, 0),设直线AC的解析式为y=kx+b,则心后

31、 4 , 13k+b=0 解得kT.故直线AC的解析式为y= - 2x+6. P (1, 4 t),将 y= 4 t 代入 y= 2x+6 中，得 x= 1+i-,2 .Q点的横坐标为1+,22将 x= 1+代入 y= ( x 1) +4 中，得 y= 4 .24,A, Zl,、，t 工 .Q点的纵坐标为4- - ,4QF = ( 4- ) - ( 4-t) = t - ,SaACQ= Sa AFQ+Sa CFQ= _FQ?AG+FQ?DG22=FQ (AG+DG) = -FQ?AD2=-x 2 U=-工(t2+4 - 4t - 4)4= (t - 2) 2+1,4 当t=2时， ACQ的面积

32、最大，最大值是 1 .216.【解答】解：(1) 抛物线y=ax+bx+c (aw0)与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于点C (0, 3),其对称轴l为x=- 1, A ( 3, 0),解得:，二次函数的解析式为 y= - x2- 2x+3=-x+1) 2+4,，顶点坐标为(1,4).(2)设点 P (x, 2)即 y = - x2 - 2x+3= 2,解得 xi = &- 1 或 x2= - V2- 1,，点 P (61, 2)或(近1, 2).(3)设点 P (x, y),贝U y = - x2 2x+3,s四边形次抽 VV/W多一0,- S 四边形 BCPA= SaOBC+S

33、aOAP+SaOPC,当x=-二时，四边形PABC的面积有最大值 上二,28所以点p(-U,工).2417 .【解答】解：(1)设抛物线为y=a (x-4) 2-1,;抛物线经过点 A (0, 3),- 3= a (0-4) 2- 1,4.抛物线为) 2 _舄/2尹3 ；(2)相交.证明：连接CE,则CEXBD,当!(工-4产-1=。时， X1= 2, X2=6. 4-A (0, 3), B (2, 0), C (6, 0),对称轴x= 4,OB = 2, AB = 2 2 +3 A = l I?, BC = 4,V ABXBD,.Z OAB+Z OBA = 90 , Z OBA+Z EBC=

34、90AOBA BEC,.空=毁，即电3_=2,解得CE=4记BC CE 4 CE13.跟逗2,13故抛物线的对称轴I与。C相交.(3)如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;)x 6Q-士 (m- 3)4当m=3时， BC的面积最大为18 .【解答】解：(1) .B点的坐标为B (8, 0),- 16+8b+4=0,解得 b=旦，2，抛物线的解析式为 y - Y+x+4,4 x 23_ 万对称轴方程为 x = 一= 3;2*( +(2)二由(1)知，抛物线的对称轴方程为x= 3, B (8, 0).A (-2, 0), C (0, 4),.OA=2, OC = 4, OB=8, .tan/

35、 ACO = tan/ CBO =1,2 ./ ACO=Z CBO. . / AOC=Z COB =90 ,AOCA COB.(3)设BC解析式为y= kx+b,把(8, 0), (0, 4)分别代入解析式得,2k+b=0b=4k4L b-4解得 y= -x+4,作DH，x轴，交BC于H .设 D (t,-?*+4), H (t, - -j-t+4),Sa BCD =|-DH ?OB(-7-t2+t+4+-_t _ 4 ) X8= -t2+8t= -(t? -8t+42-16)= (t- 4) 2+16 ,当t=4时， DBC的最大面积为16,此时D点坐标为(4, 6).19.【解答】解：(1)二.抛物线 y=-二x2+bx+c (aw0)与 x轴交于 A ( - 4, 0)、B (1, 0)2两点，不妨设抛物线白解析式为y=但(x+4)(x-1),即 y= -x2 - x+2.22.C (0, 2).(2)分两种情形： 当AN = A