解读轴向拉压变形的原理

1、秦飞秦飞 编著编著材料力学材料力学PPT PPT 讲义讲义 Axial Deformation 解读轴向拉压变形的原理 解读轴向拉压变形的原理 2 3.1拉压杆的轴向变形与横向变形拉压杆的轴向变形与横向变形 3.2 变形计算的叠加原理变形计算的叠加原理 3.3 桁架的节点位移桁架的节点位移 3.4 拉压杆静不定问题拉压杆静不定问题 *3.5 热应力与预应力热应力与预应力 解读轴向拉压变形的原理 3 EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。 l l : : EA F E N ： EA lF l N 所以得到：所以得到： （拉压杆胡克定律）（拉压杆胡克定律）

2、 EA lF l N 解读轴向拉压变形的原理 4 EA lF l N l l EA F)( N lkF F l EA k 可见，拉压杆可类比于弹簧常数为可见，拉压杆可类比于弹簧常数为k的弹簧。的弹簧。 弹簧常数弹簧常数 刚度系数刚度系数 解读轴向拉压变形的原理 5 x xEA xF l l d )( )( 0 N 轴力轴力FN和横截面积和横截面积A沿轴线变化情况沿轴线变化情况 可在杆轴线坐标为可在杆轴线坐标为x 处截取微段处截取微段dx，该微段可看作轴力为，该微段可看作轴力为 FN(x)的等截面的等截面(A(x)直杆，其变形量为：直杆，其变形量为： )( d)( )(d N xEA xxF l

3、 积分：积分： 解读轴向拉压变形的原理 6 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 在弹性变形范围内，横向应变在弹性变形范围内，横向应变 与轴向应变与轴向应变 之间存在之间存在 以下关系：以下关系： 拉压杆发生轴向变形的同时，横向上也发生变形拉压杆发生轴向变形的同时，横向上也发生变形 由由a变成变成a1, 横向变形量为横向变形量为 横向正应变为横向正应变为: 1 aaa a a 为材料常数，称为泊松比为材料常数，称为泊松比(Poissons ratio)，一般一般 =(0=(00.5)0.5) （负号什么意思？）（负号什么意思？） )1 (2 E G 解读轴向拉压变形的原理 7 图示等直杆图示等直杆

4、, ,试计算下面三种情况下试计算下面三种情况下A截面截面 的位移：的位移： （1）不考虑杆的自重，不考虑杆的自重， 仅在仅在A 端作用一集中力端作用一集中力F； （2）仅考虑杆的自重仅考虑杆的自重 （设材料密度为（设材料密度为，重力加速度为，重力加速度为g）；）； （3）考虑杆的自重和考虑杆的自重和A端作用力端作用力F。 解读轴向拉压变形的原理 8 解：解：(1)不考虑杆的自重，仅在不考虑杆的自重，仅在A A端作用一集中力端作用一集中力F EA Fl EA lF l N1）（ （2）仅考虑杆的自仅考虑杆的自重重 EA lW E lg x EA gAx x EA xF l ll )2/( 2 d

5、d )( 2 00 N2 ）（ 0)( N AxgxF 根据平衡条件：根据平衡条件： 即：即：0 x F 解读轴向拉压变形的原理 9 3 N 00 2 ( )() dd () g 2 2 ll FxFgAx lxx EAEA W Fl Fll EAEEA （ ） 积分得积分得A A截面的位移为：截面的位移为： AxgFxF)( N （3）考虑杆的自重和考虑杆的自重和 F 共同作用，共同作用， x 截面轴力为截面轴力为 ： （杆自（杆自重的一半）重的一半） W/2 解读轴向拉压变形的原理 10 高强钢制成的起重机圆形截面杆，主要承受轴向压力，已知高强钢制成的起重机圆形截面杆，主要承受轴向压力，已

6、知 直径直径 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作时要求杆的直径。工作时要求杆的直径 d60.02mm，试问允许的最大轴向压力是多少？试问允许的最大轴向压力是多少？ 解解：（：（1）变形前后杆的直径改变量为：变形前后杆的直径改变量为： mm02. 0 1 ddd 杆的横向应变为：杆的横向应变为： 4 1033. 3 d d 解读轴向拉压变形的原理 11 3 1011. 1 （3）计算轴力计算轴力 由胡克定律，得杆的轴力由胡克定律，得杆的轴力 N627372 4 2 N d EAF 所以，杆工作时的最大轴向压力不能超过所以，杆工作时的最大轴向压力不能超过627.37kN （2）计

7、算杆的轴向应变计算杆的轴向应变 解读轴向拉压变形的原理 12 杆杆AC同时承受轴向载荷同时承受轴向载荷F1与与F2的作用，计算杆的总变形量。的作用，计算杆的总变形量。 设设AB与与BC段的轴力分别为段的轴力分别为FN1与与FN2，均为拉力，则由，均为拉力，则由 截面法得截面法得: 21N FF 212N FFF 解读轴向拉压变形的原理 13 EA lF EA lF lAB 1211N EA llF EA lF EA lF EA lFF lll BCABAC )()( 2122112221 所以，杆所以，杆AC 的总变形为的总变形为: AB与与BC段的轴向变形分别为段的轴向变形分别为: EA l

8、FF EA lF lBC 22122N )( 解读轴向拉压变形的原理 14 几个载荷同时作用产生的总变形，等于各载荷单独作用产几个载荷同时作用产生的总变形，等于各载荷单独作用产 生的变形的代数和生的变形的代数和, ,这一规律称为叠加原理。这一规律称为叠加原理。( (适用小变形并满适用小变形并满 足胡克定律的杆件）足胡克定律的杆件） 1 2212 () AC FlF ll l EAEA F1单独作用单独作用F2单独作用单独作用 解读轴向拉压变形的原理 15 桁架结构，杆桁架结构，杆AB和和BC拉压刚度拉压刚度EA 相同，如何计算节点相同，如何计算节点B 的水平位移的水平位移 和铅垂位移？和铅垂位

9、移？ 解：（解：（1）计算各杆的轴力计算各杆的轴力 B点的静力平衡方程为点的静力平衡方程为 045cos0 N1N2 FFFx： 045sin0 N2 FFFy： FFFF2 N2N1 ，解得解得 解读轴向拉压变形的原理 16 （2）计算各杆变形计算各杆变形 AB杆变形：杆变形： EA Fa EA lF l 1N1 1 BC杆变形：杆变形： EA Fa EA aF EA lF l 2)2)(2( 2N2 2 （伸长）（伸长） （伸长）（伸长） 解读轴向拉压变形的原理 17 B 1 2 （3）求节点求节点B的位移：确定变形后的位移：确定变形后B B的位置的位置 2 l 1 l B 以以A A 为

10、圆心，变形后为圆心，变形后 1 1杆长为半径作圆弧杆长为半径作圆弧 以以C C 为圆心，变形后为圆心，变形后 2 2杆长为半径作圆弧杆长为半径作圆弧 两圆弧交点即为变形两圆弧交点即为变形 后后B B 的位置。的位置。 解读轴向拉压变形的原理 18 B 1 2 （3）求节点求节点B的位移：确定变形后的位移：确定变形后B B的位置的简便方法的位置的简便方法 -切线代替圆弧切线代替圆弧 2 l 1 l B 过变形后过变形后1 1杆端点作杆端点作 其垂线其垂线 两垂线交点即为变形两垂线交点即为变形 后后B B 的位置。的位置。 过变形后过变形后2 2杆端点作杆端点作 其垂线其垂线 解读轴向拉压变形的原

11、理 19 2 1 tan45(12 2)( ) sin45 By lFa BBl EA B点铅垂位移：点铅垂位移： B点水平位移：点水平位移： )( 11 EA Fa lBB Bx （3）求节点求节点B的位移：的位移： 切线代圆弧切线代圆弧+ +辅助线辅助线 切线代圆切线代圆 弧弧 解读轴向拉压变形的原理 20 图示托架，由横梁图示托架，由横梁AB与斜撑杆与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷所组成，并承受集中载荷 F1与与F2的作用。试求梁端的作用。试求梁端A点的铅垂位移点的铅垂位移Ay。斜撑杆。斜撑杆CD为为 铝管铝管,设横梁为刚体。设横梁为刚体。 已知：已知： F1=5 kN F2=10 k

12、N l=1 m CD杆：杆：E=70 GPa A=440mm2 解读轴向拉压变形的原理 21 解：（解：（1）计算）计算CD 杆的轴向变形杆的轴向变形 12N, 0:2sin300 BCD MFlF lFl N104 30sin 2 421 ,N FF F CD（压缩）（压缩） 由静力平衡方程由静力平衡方程 解读轴向拉压变形的原理 22 CD 杆的轴向变形为杆的轴向变形为 m015.00 30cos N EA lF l （缩短）（缩短） A 点的铅垂位移点的铅垂位移 mm06 60cos 2 2. l =CC=AA=Ay （2）计算）计算C点的竖直位移点的竖直位移 60cos/ lCC 解读轴

13、向拉压变形的原理 23 平平未未 nn 静定问题静定问题 平平未未 nn 静不定问题静不定问题 解读轴向拉压变形的原理 24 概念概念 （1）静定问题）静定问题(statically determinate problem)仅用静力仅用静力 平衡方程就能平衡方程就能 求出全部未知力。求出全部未知力。 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 （2）静不定问题）静不定问题(statically indeterminate problem)仅用仅用 静力平静力平 衡方程不能求出全部未知力。（超静定问题）衡方程不能求出全部未知力。（超静定问题） 实质：未知

14、力的数目多于静力平衡方程的数目。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。 解读轴向拉压变形的原理 25 基本步骤：基本步骤： （1）静力平衡方程）静力平衡方程(static equilibrium equation ) (2)补充方程补充方程-变形协调方程变形协调方程(compatibility equation) cos:0 21NNx FFF FFFF NNy 32 :0 3 21 sintan l ll 解读轴向拉压变形的原理 26 33 33N 3 22 22N 2 11 11N 1 , AE lF l AE lF l AE lF l （3）物性（物理）关系）物性（物理）关系 （4）

15、联立求解）联立求解 2 33 3 22 2 2 11 1 sincos AE F AE F AE F NNN tan,cos/, 321 llllll 解读轴向拉压变形的原理 27 AD 段为钢杆，段为钢杆， 解：（解：（1）杆）杆AB的静力平衡方程的静力平衡方程 0 21 FFF （2）变形协调方程）变形协调方程 0 DBCDAC lll DB 段为铜杆，段为铜杆， 24 1 mm102AGPa210 1 E 试求上、下端反力及各段横截面上的应力。试求上、下端反力及各段横截面上的应力。 24 2 mm101AGPa100 2 EF = 1000 kN 解读轴向拉压变形的原理 28 （3）由胡

16、克定律）由胡克定律 11 1 AE aF lAC 11 2 AE aF lCD 22 2 2 AE aF lDB 0 2 22 2 11 2 11 1 AE aF AE aF AE aF 21 4 . 9FF 代入变形协调方程代入变形协调方程 整理得整理得 解读轴向拉压变形的原理 29 （4）联立求解）联立求解 上端反力：上端反力： kN904 1 F 下端反力：下端反力： kN96 2 F （5）计算各段杆中的应力）计算各段杆中的应力 MPa2 .45 1 1 A F AC MPa8 . 4 1 2 A F CD MPa6 . 9 2 2 A F DB ( (拉拉) ) ( (压压) ) (

17、 (拉拉) ) ( (压压) ) ( (压压) ) 讨论：如果开始时设讨论：如果开始时设ACAC、 CBCB段均为拉力，该如何段均为拉力，该如何 求解？求解？ 解读轴向拉压变形的原理 30 支架各杆材料相同，支架各杆材料相同， F=10kN， 2 3 mm200A 试求各杆的轴力。试求各杆的轴力。 2 1 mm100A 2 2 mm150A 解读轴向拉压变形的原理 31 解解: (1)静力平衡方程静力平衡方程 30cos30cos:0 N3N2N1 FFFFx FFFFy 30sin30sin:0 N3N1 (2) 变形协调方程变形协调方程 30tan 30sin 30sin 30tan 23

18、12 llll 解读轴向拉压变形的原理 32 (3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程利用物性关系，用力表示变形协调方程 1 N1 1 3 2 EA lF l 2 N2 2 EA lF l 3 N3 3 3 2 EA lF l 3 N3 1 N1 2 N2 3 2 3 23 A F A F A F N3N1N2 22FFF 代入变形协调方程代入变形协调方程 整理得整理得 解读轴向拉压变形的原理 33 kN45. 8845. 0 323 )31 (2 N1 FFF kN68. 2268. 0 323 3 N2 FFF kN53.11153. 1 323 )32(2 N3 FFF ( (拉拉)

19、) ( (拉拉) ) ( (压压) ) (4) 联立求解联立求解 解读轴向拉压变形的原理 34 刚性梁刚性梁AB受均布载荷受均布载荷q 作用，作用， A端铰支，端铰支，BD和和 CE为钢杆。为钢杆。 试校核钢杆的强度试校核钢杆的强度。 MPa170 2 mm200 DB A 2 mm4002 DBCE AA 解读轴向拉压变形的原理 35 解：解：(1) 静力平衡方程静力平衡方程 )2/3)(3()3()(:0 ,NN, aaqaFaFM BDCEA (2) 变形协调方程变形协调方程 CEDB LL3 (3) 用力表示变形协调方程用力表示变形协调方程 CE CE DB BD EA LF EA L

20、F)( 3 )8 . 1 ( N,N, 解读轴向拉压变形的原理 36 (4) 联立求解联立求解 N, 32.2 kN BD F ( (拉）拉） kN4 .38 N, CE F （压）（压） (5) 校核杆强度校核杆强度 MPa161 BN, DB D DB A F MPa96 N, CE CE CE A F 杆杆CE、DB均满足强度要求。均满足强度要求。 解读轴向拉压变形的原理 37 高为高为l的圆柱体，放置在刚性基础上，中间为实心钢圆柱体，的圆柱体，放置在刚性基础上，中间为实心钢圆柱体， 外圈为铜套筒。外圈为铜套筒。试计算：（试计算：（1 1）钢柱和铜套筒中的应力；（）钢柱和铜套筒中的应力；

21、（2 2） 组合圆柱体的变形组合圆柱体的变形。 解读轴向拉压变形的原理 38 解解:(1)静力平衡方程静力平衡方程 FFF CS (2)变形协调方程变形协调方程 SC (3)物性关系物性关系 SS S S AE lF CC C C AE lF 解读轴向拉压变形的原理 39 （4）联立求解得）联立求解得 )( CCSS SS S AEAE AE FF )( CCSS CC C AEAE AE FF CCSS S S S S AEAE E F A F CCSS C C C C AEAE E F A F （5）组合圆柱体的变形）组合圆柱体的变形 SC SSCC Fl E AE A 解读轴向拉压变形的

22、原理 40 讨论：讨论： （1）钢柱和铜套筒中的应力比钢柱和铜套筒中的应力比为为 表明多材料组合构件中弹性模量大的部分应力也大表明多材料组合构件中弹性模量大的部分应力也大。 SC SSCC Fl E AE A 比较比较发现发现，在计算类似的多材料组合拉压在计算类似的多材料组合拉压 杆的变形量时，只需将拉压刚度杆的变形量时，只需将拉压刚度EA 换成各换成各 部分的拉压刚度之和即可部分的拉压刚度之和即可。 （2）变形量为）变形量为 EA lF l N 组合截面组合截面 CSCS /EE 解读轴向拉压变形的原理 41 讨论：讨论： （3）解静不定问题的力法与位移法）解静不定问题的力法与位移法 力法：

23、以力为未知量的解法。（前面用的方法）力法：以力为未知量的解法。（前面用的方法） 位移法：以位移为未知量的解法。位移法：以位移为未知量的解法。 S SS S l AE P C CC C l AE P （1 1）改写物性方程：）改写物性方程： （3 3）代入平衡方程，求解：）代入平衡方程，求解： （2 2）由变形协调方程：）由变形协调方程： CS CCSS AEAE Fl 解读轴向拉压变形的原理 42 热应力热应力(thermal stress)-因温度变化而产生的应力因温度变化而产生的应力 p 温度应变温度应变由温度变化引起构件体积膨胀或收缩而在构由温度变化引起构件体积膨胀或收缩而在构 件的各个

24、方向产生的大小相同的正应变。件的各个方向产生的大小相同的正应变。 T T 式中：式中： 热膨胀系数热膨胀系数 T 温度应变温度应变 解读轴向拉压变形的原理 43 热应力的解法热应力的解法 u 热应力只出现在静不定结构中，其解法与一般静不定问热应力只出现在静不定结构中，其解法与一般静不定问 题解法相同。题解法相同。 两端固定的等直杆，温度升高两端固定的等直杆，温度升高 时，计算杆中的轴时，计算杆中的轴 向应力。向应力。 T 解读轴向拉压变形的原理 44 热应力的解法热应力的解法 解：由温度变化引起的轴向变解：由温度变化引起的轴向变 形量为形量为 ： TT llTl F B F l l EA TE

25、AFB TE A FB 得得 杆中热应力为杆中热应力为 由两端固定，得变形协调方程：由两端固定，得变形协调方程： TF ll 与温度改变量、材料与温度改变量、材料 的热膨胀系数和弹性模量有的热膨胀系数和弹性模量有 关，而与杆件的长度和横截关，而与杆件的长度和横截 面面积无关。面面积无关。 解读轴向拉压变形的原理 45 固定端的约束形式固定端的约束形式 插入式固定端插入式固定端 当温度升高时，杆件在所有方向上均当温度升高时，杆件在所有方向上均 匀膨胀，轴向与横截面方向均有约束反力匀膨胀，轴向与横截面方向均有约束反力 此杆件所有横截面上均只有轴此杆件所有横截面上均只有轴 向应力，且均匀分布向应力，

26、且均匀分布 解读轴向拉压变形的原理 46 组装好的螺栓和套筒，材料弹性模量分别为组装好的螺栓和套筒，材料弹性模量分别为EB、ES，横截面横截面 积分别积分别为为AB、AS，热膨胀系数分别为热膨胀系数分别为 、 且且 。 当温度升高当温度升高 ，计算套筒和螺栓中的应力，计算套筒和螺栓中的应力 和和 。B S B S B S T 解读轴向拉压变形的原理 47 解解:(1)静力平衡方程静力平衡方程 SB PP (2)变形协调方程变形协调方程 1S TL (3) 物性关系物性关系 SS S 3 AE LP BB B 4 AE LP 2B TL 4231 - 解读轴向拉压变形的原理 48 (4) 联立求

27、解联立求解PS、PB SBSSBB SB SSBB () TE A E A PP E AE A SSBSBB S SSSBB ()PTE E A AE AE A (压压) （拉）（拉） 计算应力计算应力 B BBSS BSSBS B B )( AEAE EATE A P 与温度改变量、材料的热膨胀系数、弹性模量和横截与温度改变量、材料的热膨胀系数、弹性模量和横截 面面积有关，而与杆件的长度无关。面面积有关，而与杆件的长度无关。 讨论讨论：（：（1） = ；（；（2） =0 B S B 解读轴向拉压变形的原理 49 A B A B B A t t E E A B B A t t 如果材料厚度一样

28、，即如果材料厚度一样，即tA = tB，则弹性模量低的材，则弹性模量低的材 料承受大部分的应变。料承受大部分的应变。 A B 解读轴向拉压变形的原理 50 三角形板可视为刚性板，三角形板可视为刚性板，1为钢杆，为钢杆，2为铜杆。试求温度升为铜杆。试求温度升 高高20时，时，1、2杆内的应力。杆内的应力。 已知：已知： 2 S mm1000A 2 SC mm20002AA GPa210 S E C/105 .12 6 S GPa100 C E C/105 .16 6 C 解读轴向拉压变形的原理 51 解：解：(1) 静力平衡方程静力平衡方程 aFaFFM A 2)( :0 2N1N (2) 变形

29、协调方程变形协调方程 12 2 LL (3) 物性关系物性关系 )2( )2( S SS 1N 1 LT AE LF L TL AE LF L C CC 2N 2 (伸长伸长) (缩短缩短) 解读轴向拉压变形的原理 52 (4) 用力表示变形协调方程用力表示变形协调方程 T AE F AE F )4(4- SS CC 2N SS 1N (5) 联立求解得联立求解得 CCSS SSCSCC N2 CCSS CCCSSS N1 8 44 8 28 AEAE ATEFAE F AEAE ATEFAE F ， (6) 1、2杆中的正应力杆中的正应力 MPa5 .38 S 1N 1 A F MPa6 .

30、59 C 2N 2 A F (压压) (压压) 解读轴向拉压变形的原理 53 预应力（装配应力）预应力（装配应力） 在静不定结构中，由于构件几何尺寸制造误差必须采取在静不定结构中，由于构件几何尺寸制造误差必须采取 强制方法装配而导致杆件产生的应力称为装配应力或预应强制方法装配而导致杆件产生的应力称为装配应力或预应 力力(initial stress)。 预应力概念预应力概念 解读轴向拉压变形的原理 54 桁架，杆桁架，杆3的实际长度比设计长度的实际长度比设计长度l稍短，制造误差为稍短，制造误差为，试试 分析装配后各杆的轴力。分析装配后各杆的轴力。 解读轴向拉压变形的原理 55 解解:(1)静力平衡方程静力平衡方程 0sinsin 2N1N FF:0 x F :0 y F0coscos 2N1N3N FFF (2)变形协调方程变形协调方程 cos 1 3 l l 2 11 1N 33 3N cosAE lF AE lF 解读轴向拉压变形的原理 56 (3)联立求解，得轴力为联立求解，得轴力为 3 33 11 2 11 2N1N cos 2 1 cos AE AE AE l FF 3 33 11 3 11 3N cos 2 1