训练5：圆周运动中的临界问题

1、物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题求解策略圆周运动是一种特殊的也是较为简单的曲线运动，它可分为匀速圆周运动和变速圆周运动它们服从相同的力学规律，但又有着不同的运动特征，其临界问题也是错综复杂的一、圆周运动的特征与解题基本思路1.匀速圆周运动的动力学特征(1)始终受合外力作用，合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心。（ F合F向 ， F合v ）(2)匀速圆周运动的动力学方程：F合ma根据题意，可以选择相关的运动学量如v， ， T， f 列出如下动力学方程：2Fm2r42mr2 2F合 mv / r，合，F合4mrf .合FT 2熟练掌握这些方程，会给解题带来方

2、便2变速圆周运动的动力学特征(1) 受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的（合外力的法向分量提供向心力，切向分量改变速度的大小） 。(2) 合外力的分力 (在某些位置上也可以是合外力 )提供向心力3解答圆周运动问题时的注意事项(1) 明确圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径；(2) 确定是匀速圆周运动还是变速圆周运动，以确定运用相应的物理规律；(3) 正确进行受力分析，并进行相应的分解(一般是沿法向和切向进行正交分解)，再根据牛顿第二定律沿半径方向列出动力学方程；(4) 注意圆周运动问题中的临界状态及临界条件的确定二、圆周运动中的临界问题在变速圆周运动中的某些特殊位置上

3、，常存在着最小 (或最大 )的速度，小于 (或大于 )这个速度，物体就不能再继续作圆周运动了，此速度即为临界速度在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法1竖直平面内圆周运动临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型：（ 1）绳模型（注意：绳对小球只能产生拉力）1物理必修

4、（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题绳对小球 只能 产生沿绳收缩方向的 拉力 T （圆轨道问题可归结为轻绳类，圆轨道问题中只能产生沿半径方向的支持力 N），如下图TNmgmgO . 在最高点时：Tmgmv 2 / R(或： Nmgmv 2 / R )小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用mgmv 2 / Rv 临界gR. 当 vgL 时，质点可通过最高点；. 当 vgL 时，质点不能运动到最高点，实际上质点还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动 .【例题 1】如右图， 质量为 0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1

5、m，小杯通过最高点的速度为4m/s， g 取 10m/s2, 求：(1) 在最高点时，绳的拉力？(2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出 , 在最高点时最小速率是多少 ?2物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题（ 2）杆模型（杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力）有物体支撑的小球在竖直平面内作圆周运动的情况 . 小球在圆管道内作圆周运动的情况类似杆模型。 如下图所示，杆ab临界条件 ：由于杆（或管壁）的支撑作用，小球恰能过最高点的临界速度v 临界0 .小球过最高点时，轻杆对小球的弹力N 情况： . 当 v=0 时，轻杆对小球有竖直向上的支持

6、力N，其大小等于重力，即N=mg. . 当 0vgR 时， mgNmv 2 / R ，即 Nmgmv 2 / R ，轻杆对小球有向上的支持力，其大小随速度的增大而减小.取值范围：mgN0 . .当 vgR 时，向心力完全由重力提供，N=0. （杆对球作用力为推力还是拉力的临界速度） . 当 vgR ，则 mgNmv 2 / R ，即 Nmv 2 / Rmg ，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.【例题 2】如图所示，杆长为L ，杆的一端固定一质量为m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O 在竖直平面内作圆周运动，求：（ 1）小球在最高点A 时速度 v A 为多大时

7、，才能使杆对小球m 的作用力为零？（ 2）小球在最高点A 时，杆对小球的作用力F 为拉力和推力时的临界速度是多少？（ 3）如 m = 0.5kg ， L = 0.5m ， vA = 0.4m/s，则在最高点A 时，杆对小球m 的作用力是多大? 是推力还是拉力 ?3物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题总结： 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类.“轻绳”类只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点时对物体拉力为零是临界条件，即F拉0 ；而对于“轻杆”类，在最高点时，“轻杆”对物体既可产生拉力，也可产生支持力，还可对物体的作用力为零，杆与物体之间

8、的作用力为零是临界条件，即：N=0物理情景图示在最高点的临界特点做圆周运动条件T=0细绳拉着小球在竖直平面内运动小球在竖直放置的光滑圆环内侧运动小球固定在轻杆上在竖直面内运动小球在竖直放置的光滑管中运动2在最高点时速度应不小于grmgm vvgrrN=0m v2在最高点时速度应不小于grmgvgrrv0 F向0在最高点速度应大于0F向Nmg或 F向mgNv0F向0在最高点速度应大于0F向Nmg或 F向mgN（ 3）小球在凸、凹弧上运动如图，小球在凸半球最高点运动. 当 0vgR ，小球不会脱离球面， 且能通过球面最高点 . 当 vgR ，因轨道不对小球产生弹力，故此时小球将刚好脱离球面做平抛运

9、动。 . 当 vgR 小球已经脱离球面最高点做平抛运动。如图，小球若通过凹半球的最低点时，速度只要v0 即可 .4物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题【例题 3】 汽车质量为 1.5 104 kg ，以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m，若汽车安全行驶。则汽车不脱离最高点的临界速度是多少？若汽车达到临界速度时将做何种运动？水平位移为多少？（ 4）水平面内作圆周运动的临界问题 . 物体在水平转台上作圆周运动静摩擦力 f 提供向心力当转台的转速逐渐增大时，静摩擦力随之增大，f 达到最大值fm ax 时，对应有临界角速度和临界速度【例题 4】 在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴/OO旋

10、转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m的物块 A，设弹簧劲度系数为 k，弹簧原长为 L。将物块置于离圆心 R处， R L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速逐渐增大，物块A 相对圆盘始终未滑动。当增大到5k R l时，物块 A 是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦4mR力，试确定其方向。OrARO5物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题火车转弯若内外轨等高，外轨对轮缘的侧压力提供向心力，铁轨和车轮极易受损；若外轨高于内轨，支持力与重力的合力提供部分向心力：mg tanm v02v 0gr tan （临界速度）r当 vv 0 时，轮缘不受侧

11、向压力当 vv 0 时，轮缘受到外轨向内的挤压力当 vv 0 时，轮缘受到内轨向外的挤压力NFmg（ 5）求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围【例题 5】 如图，直杆上 0102 两点间距为 L，细线 O1A 长为 3L ， O2 A 长为 L，A 端小球质量为 m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度转动？【例题 6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球 B， A 的重心到O 点的距离为0.2m 若 A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B 保持静止

12、，求转盘绕中心O 旋转的角速度的取值范围（取 g=10m/s 2）AOB6物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题三、反馈练习1.如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为：A.gB.gC.gD.gRRR2.长度为 L 0.5m的轻质细杆 OA ，A 端有一质量为m 3.0kg 的小球，如图所示，m小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m s，ALg 取 10ms2，则此时细杆OA 受到 （）OA. 6.0N的拉力B. 6.0N 的压力C. 24N 的拉力D. 24N 的压力3. 长为 L 的细绳，一端系一

13、质量为 m 的小球 ,另一端固定于某点， 当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度 v 0 ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（）A. 小球过最高点时速度为零B. 小球开始运动时绳对小球的拉力为mv2/rC. 小球过最高点时绳对小的拉力mgD. 小球过最高点时速度大小为gL4. 如图所示，长为 L 的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点的速度,下列叙述中正确的是： （）A.的极小值为gLB. 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C.当由gL 值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大D.当由gL 值逐渐减小

14、时，杆对小球的弹力也逐渐增大5. 如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是 ()A L 1 L 2B L 1L 2C L 1L2D前三种情况均有可能6. 半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图示。今给小物体一个水平初速度v0Rg ，则小物体将（）A. 沿球面下滑至M 点B.先沿球面下滑至某点，然后便离开斜面做斜下抛运动 .按半径大于R 的新的圆弧轨道做圆周运动D.立即离开半圆球做平抛运动7物理必

15、修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题37. 汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m s 时，车对桥的压力为车重的 4 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A 、 15 m sB 、 20 m sC、 25 m sD、 30ms8.用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球， 另一端悬在光滑水平桌面上方h 处，绳长 l 大于 h，使小球在桌面上做匀速圆周运动求若使小球不离开桌面，其转速最大值是()1g1glgh2A 2hB C 2lDg9. 火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是 ()A. 火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力

16、，所以外轨容易磨损B. 火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损C. 火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损D. 以上三种说法都是错误的10.在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了（）A. 减轻火车对外轨的挤压B.减轻火车对内轨的挤压C. 火车倾斜是使车身重力和支持力的合力提供向心力D.限制火车脱轨11. 如图所示，水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a 沿逆时针方向运动到最高点b 的过程中（）A B 对 A 的支持力越来越大B B 对 A 的支持力越来越小C B 对 A 的摩擦力越来越大D B 对 A 的摩擦力越

17、来越小12. 如图，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列正确是()A 小球通过最高点时的最小速度vmin g(R r )B小球通过最高点时的最小速度vmin 0C小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力13. m 为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点 )， A 为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为r ，传送带与皮带轮间不会打滑，当m 可被水平抛出时， A 轮每秒的转数最少是()1gg1A. 2rB.rC.grD. 2 gr8物理必修（ 2）训练 5 圆周

18、运动中的临界问题14. 质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系于一轻质木架上的速度 匀速转动时， 小球在水平面内做匀速圆周运动，绳动到图示位置时，绳 b 被烧断的同时杆子停止转动，则A 小球仍在水平面内做匀速圆周运动A 点和 C 点，如图所示，当轻杆绕轴 BC 以角 a 在竖直方向，绳 b 在水平方向， 当小球运()B在绳被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大C若角速度 较小，小球在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动D若角速度 较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动15. 如图所示， 在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球， 圆锥顶角 2。当圆锥和球一起以角速

19、度 匀速转动时，球压紧锥面，此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？16. 如图所示，在水平转台上放有A、B 两个小物块，它们距离轴心O分别为rA 0.2m , rB 0.3m ，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4 倍， g 取 m / s2.（ 1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；（ 2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。BA9物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题17. 如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳

20、上张力为零） 。物体和转盘间最大静摩擦力是压力的倍。求： 当转盘角速度1gT1。r2r 时，细绳的拉力o 当转盘角速度23gT2。2r时，细绳的拉力18. 沿半径为 R 的半球型碗底的光滑内表面，质量为m 的小球正以角速度，在一水平面内作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。Rh10物理必修（ 2）训练 5 圆周运动中的临界问题19. 杆长为 L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 F=1/2mg ，求这时小球的即时速度大小。20. 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为m A， B 球的质量为mB。它们沿环形圆管顺时针运动