第三讲__有效前沿与最优证券组合PPT课件

1、授课：XXX1 第三讲 有效前沿与最优证券组合 授课：XXX2 有效前沿的定义： 定义定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质： 1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。 2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。 则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。 授课：XXX3 3.1 N种风险证券组合的有效前沿 （一）两种风险证券组合的有效前沿 两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a 和 b，方差和协方差分别为 对任一组合p=

2、(x，1-x)，x0，1 ，证券组合 p的期望收益率和方差如下： r r baba ab, 22 bap rxrxr)1 ( _ 22222 (1)2 (1) pababab xxxx 授课：XXX4 讨论证券组合P的有效前沿形状 1） 2） 3） 1 AB BAp xx)1 ( 1 AB (1) pAB xx 11 AB 2 _ 2 pprD _ p FrG 0)/()2( 2 _ 22 BABAABBA rrD 授课：XXX5 2种和3种风险证券的有效前沿 r p B r p C ab=-1 2 ab=1 4 3 C D 1 B A A O p O p 图3.1 图3.2 授课：XXX6

3、例题 两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a=4.6% 和 b=8.5% ，方差和协方差分别为 求这两种风险资产的有效前沿。 rr %7 . 4,%)33. 6(,%)62. 5( 2222 b aba 4.6%(1) 8.3% p rxx 22222 (5.62%)(1)(6.33%)2 (1) 4.7% p xxxx 授课：XXX7 N种风险证券的有效前沿 r p O p 图3.3 E 授课：XXX8 （二)N中风险证券组合泽的有效 前沿 设市场上有N种风险证券，它们的收益率 和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协 方差矩阵V为正定矩阵 ，N种证券的期望 收益率为： N种证券组合P表

4、示为： 证券组合期望收益率和方差分别为 T N rrrr),.,( _ 2 _ 1 T N xxxX),.,( 21 _ rXr T p VXX T p 2 授课：XXX9 按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题： VXX T 2 1 min _ , . p T rrXts 1IX T 授课：XXX10 构造拉格朗日函数 一阶条件： 1 2 T LX VX _ ()(1) TT p rX rX I _ 0 T L VXrI X _ 0 T p L rX r 10 T L X I 授课：XXX11 由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。 求解得 _ 1 _ _ 11 _ 11 () ()()

5、 1()() TT p T XVrI rr Vrr VI IVrI VI DrAB DArC p p / )( / )( _ _ _ 1T AI Vr _ _ 1T Br Vr 1T CI VI 0 2 ABCD 授课：XXX12 对于另一个指定的 ，在前沿上的证券 组合为： IV D rAB rV D ArC X pp p 1 _ _ 1 _ _ q r IV D rAB rV D ArC X qq q 1 _ _ 1 _ 授课：XXX13 两个证券组合的协方差为 令 ，则得前沿上的证券组合 方差为： ),cov( qp rr D C p r ( C A q r)( C A C 1 ) q

6、prr 2 p ( D C p r 2 ) C A C 1 授课：XXX14 C p /1 2 1 / )/( 2 2 CD CArp A/C MVP O (1/C)1/2 p p r 授课：XXX15 32 允许对无风险证券投资的有 效前沿 无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。 授课：XXX16 一种风险证券和一种无风险证券 股票A和债券 以 记投入债券的比例，则 是 购买股票的比例。 证券组合的期望收益率和标准差分别为： 1 x 21 1xx _ 11 (1) pfA rx rx r

7、1 (1) pA x 授课：XXX17 一种风险证券和一种无风险证券 得证券组合的期望收益率 和标准差的关 系： _ ()/ pfAfAp rrrr 授课：XXX18 图3.5 p r f r p B A C 。 A r A O 授课：XXX19 两种股票A和B，及一种债券 有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切 的射线 f r p r p r C A D p B O e 授课：XXX20 N 种股票及一种债券 问题 s.t 构造拉格朗日函数： 1 min 2 T X VX _ (1) TT fp X rX I rr 1 2 T LX VX _ (1) TT fp X rX I rr

8、授课：XXX21 一阶条件： _ ()0 f T L VXrr I X _ ()0 T pff L rrXrr I 授课：XXX22 得证券组合的投资比例 其中 证券组合的方差为 或 _ 1 ()()/ pfpf XVr r I rrH _ 12 ()()2 T ffff Hr r IVr rBr Ar C _ 22 () / T ppppf XVXrrH _ ()/ ppf rrH 授课：XXX23 切点证券组合(tangency portfolio) 切点证券组合e的投资比例 _ () e f AD r CC ACr f f CrA ArB 1/2 2 1 () e f D C ACrC

9、22 _ 1 2 (/) () (/) f ef f A CrCD XVr r I C H A Cr 授课：XXX24 切点的证券组合 1 () (/) f e f Vrr I X C A Cr f f CrA IrrV )( 1 授课：XXX25 3.3 最优证券组合 N种风险证券的情形 设投资者的效用函数为 ，并设 和 ，下标1，2分别表示对U 的第1，2个变元求导。 意味着对给 定的风险 ，投资者认为期望回报率 越大越好。 意味着对给定的期望回 报率 ，投资者认为风险 越小越 好。 2 ( ,) pp U r 1 0U 2 0U 1 0U 2 p p r 2 0U p r 2 p 授课：

10、XXX26 这时投资者的问题可表述为 s.t max(,) TT U X r X VX 1 T X I 授课：XXX27 构造拉格朗日函数 一阶条件 (,)(1) TTT LU X r X VXX I _ 12 20 T L U rU VXI X 10 T L X I 授课：XXX28 一阶条件变形得： 从而得出： _ 1 1 2 2 U XVr U 1 2 2 VI U 1 1 2 1 2 TT U I XI Vr U 1 2 2 T I VI U 21 2UAU C 授课：XXX29 把代回X中可得最优投资比例 ： * 1 2 2 AU X U A rV 1 1 1 2 1 2 AUVI

11、UC 1 2 2 d AU X U 1 2 1 2 g AU X U 授课：XXX30 定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投 资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合 构成的。 又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线 和有效前沿的切点，故有： 推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切 点都是由 和 的凸组合构成的。 有效前沿又可以看成由所有切点组成，因 而有： 推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸 组合。 授课：XXX31 最优证券组合 存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证 券上的投资比例为X，在无风险证券上的 投资比例为（1 XI），从而证券组合的 期望收益率 授课：XXX32 证券组合的期望收益率 投资者的问题可表示为： (1) TT pf rX rX I r() T ff rXrr I max(),) TT ff U rXrr IX VX 授课：XXX33 一阶条件 最优投资比例为 在债券上的投资比例为(1 X*I) 12 ()20 f T U U rr IU VX X _ *1 1 2 () 2 f U XVrr I U 授课：XXX34 定理3.2 (两资金分离定理，two- fund separation) 当市场上存在无风险证券时，每个投资者有一 个效用最