资料包络分析法

1、绩效评价学术研究方法介紹东吴大学邱永和教授研究發展長 壹: 績效評估方法之內容一: 績效評估介紹經濟學領域中，經常使用效率一詞來描述各種資源使用的特徵。效率主要在闡述投入要素與產出之間的關係，透過效率衡量可瞭解一組投入要素轉換成產出過程的績效表現。 Farrell (1957) 以邊界生產函數之概念衡量決策單位的生產效率水準，其生產效率之衡量，乃是將最具效率的生產點連接成生產邊界，而任一真實生產點和生產邊界的差距即表示生產點的無效率程度。承續Farrell提出的邊界模型基本精神，許多學者提出不同的實證方法加以修正：Forsund et al. (1979) 將生產邊界實證模型分為確定性無參數邊

2、界模型 (Deterministic Nonparametric Frontier Model)、確定性參數邊界模型 (Deterministic Parametric Frontier Model)、確定性統計邊界模型 (Deterministic Statistical Frontier Model) 以及隨機邊界模型(Stochastic Frontier Model)。前三種統稱為確定邊界模型，第四種模型則稱為隨機邊界模型。各模型特性簡述如下：(1) 確定性邊界無參數模型：根據等產量曲線的概念衡量技術效率與配置效率或價格效率，在進行生產邊界之估算時，事前並未預設生產函數型態或是建立明顯

3、的邊界模型，利用線性規劃之技巧來衡量個別廠商的生產效率。Cooper、Charanes and Rhodes (1978) 以Fre (1957) 概念為基礎，並擴展其理論建立可衡量固定規模報酬之多項投入與多項產出的一般化數學線性規劃模式，稱為資料包絡分析法。(2) 確定性參數邊界模型：Aigner and Chu (1968) 提出有別於Farrell (1957) 的非參數估計模式，設立生產函數型態，且進一步假設所有產出的差異均源自於技術無效率，不考慮配置無效率的情況。此模型貢獻在於使生產邊界具體化, 如Cobb-Douglas 函數型態。然而，此模型的缺點：生產邊界極易受到極端值影響。T

4、immer (1971) 提出機率型生產邊界(Probability Production Frontier) 試圖解決生產邊界易受極端值干擾的問題，其改善方法乃是利用線性規劃法，剔除極端值，直到估計參數具有穩定性。其缺點仍是極端值的剔除缺乏經濟解釋或統計上的驗證。(3) 確定性統計邊界模型：上述兩種邊界模型均是利用殘差項作為技術效率之評斷，然而卻不曾對殘差項做統計分配之假設，因此無從得知其估計參數之統計特質。 (4) 隨機邊界模型：上述有關確定性邊界模型，基本上皆假設廠商面對相同的技術訊息，因此存在一個共同的生產邊界，任何產出的差異，歸因於個別廠商的生產技術對於生產邊界是否具有效率。亦即誤差

5、的發生純粹是人為的錯誤造成，諸如廠商生產技術水準、調整成本、訊息不足、管理錯誤等。Aigner、Lovell and Schmidt (1977) 針對確定性邊界模型的論點提出質疑，主張隨機邊界模型才得以真實描述生產邊界，認為廠商在生產過程中，無可避免的會遇到人為無法控制的隨機因素，或受到非技術性隨機因素的影響，如自然災害（地震、颱風等）、機器運作的良窳、或是外在因素導致生產要素供給不確定等，這些廠商無法完全掌控的隨機干擾因素，卻會直接或間接影響生產水準，因此衡量生產差異的誤差項，不再單指技術無效率，另外應該包括：廠商本身無法掌控的對稱性隨機干擾項，以及衡量技術無效率的隨機干擾項。雖然Aign

6、er、Lovell and Schmidt (1977) 發表隨機性生產邊界估計方法後，學者們將此法廣泛應用於廠商生場計數之估計，然而利用單一年度橫斷面資料來估計效率指標，往往因為誤差項所設定的統計分配不同，產生不同的效率指標。為改善上述缺失，近年來許多學者將橫斷面與時間資料合併成追蹤資料 (Panel Data) 來探討廠商於不同期間的生產效率表現二:資料包絡分析法資料包絡分析(Data Envelopment Analysis，DEA)，DEA是一種被廣泛使用的線線規劃技術，其主要根據柏瑞圖最適解（Pareto optimal solution）之觀念，評估一個決策單位（decision

7、making unit，DMU）之相對效率，DEA是評估多目標（面向）環境下，多種決策方案優先順序的有效方法，其主要功能為：藉由兩個以上的屬性量測，便可將一組受評標的決策單元，經過建立一個效率指標來加以達成，此效率指標藉由各DMU的投入及產出變數資料，透過線性規劃法形成一條效率邊界前緣(frontier)，視每個DMU與效率邊界的距離來決定個別DMU的相對效率。此觀念最早可追溯自Farrell（1957）的研究。後繼學者依Farrell理論持續討論, 其中主要理論基礎為1978年CCR(Charnes, Cooper 與 Rhodes）模式、1984年BCC(Banker,Charnes與Co

8、oper)模式及2001年Tone提出差額變數模式(Slacks Based Measure，SBM)， 依據Cooper、Seiford與Tone(2007)的統計，DEA自Charns、Cooper與Rhodes於1978年提出至今，目前有37類，157種的DEA分析模式，若再加上模糊DEA、三階段DEA等擴張模式，已超過160種，而這160種模式均由BCC、CCR與SBM等為基礎發展出來，DEA被應用來衡量各種製造業、學校、金融業、醫院、港口、機場、航空公司、大眾運輸、生物科技業、公用事業、服務業、會計師事務所、電力公司、電視及廣播等，這些應用案例都包含一組受評標的決策單元，以及一組用來

9、衡量各DMU屬性的數值，凡目標為極小化的屬性歸為投入項，而目標為極大化的屬性歸為產出項，最佳的DMU為投入少，產出多，而每一個DMU的效率都是與組合中最佳的DMU比較後得出(所以效率最大是1)，也因此，DEA得出的是相對效率，而非絕對效率。以下先介紹Farrell（1957）,CCR、BCC與SBM四種模式。三: DEA傳統理論介紹(一) Farrell（1957）:Farrell認為一個決策單位的效率係由兩個部分所組成：（1）技術效率（technical efficiency，簡稱TE），即在給定的投入集合下，所能獲得最大產出的能力，及（2）配置效率（allocative efficienc

10、y，簡稱AE），即在投入價格與生產技術固定下，使用最適比率投入組合的能力；而兩者之乘積即為整體效率（overall efficiency），又稱為總經濟效率（economic efficiency，簡稱EE），即。在此將利用等產量曲線（isoquant）與等成本線（isocost）敘述技術效率、配置效率及總經濟效率之關係，如圖1所示。在固定規模報酬（constant return to scale，CRS）的假設下，使用兩項投入（X1與X2）生產一項產出（Y），等產量曲線為，代表生產一單位Y所需要X1與X2的最小組合，也就是生產的效率前緣（efficiency frontier），而實際生產組

11、合必落在的右上方。點為使用較多的投入數量組合來生產同一單位的產出，其技術效率（TE）可以來表示，此比率亦代表為了達成技術效率的生產邊界，所有投入項需要縮減的百分比。該比率若介於0到1之間，即為技術無效率程度的指標；若等於1時，即具有完全技術效率，例如：點就具有技術效率，因為點位於等產量曲線上。而點雖然落在效率前緣上，但並非以最低成本達成，最低成本應出現在等產量曲線與等成本線的切點上，因此與點雖然有相同的技術效率（技術效率皆為1），但因為點落在最低成本線上（與點相同），因此點的成本只有點成本的，此亦為點的配置效率（AE）。X2/YX1/YA B BDOCCQ Q圖1Farrell模式下之技術效率

12、與配置效率故由上述可知，對點而言：由於Farrell的研究成果僅適用於單一投入與單一產出，且許多待研究的議題又都為多項投入與多項產出，故Charnes, Cooper and Rhodes於1978年提出CCR模式，將Farrell的理論延伸擴展為多項投入與多項產出時適用，且簡化為以數學線性規劃方式求解，並定名為資料包絡分析法。又CCR模式與Farrell模式均假設所有決策單位皆處於固定規模報酬，然而在實際情況中，亦可能存在規模報酬遞增（increasing return of scale，IRS）或規模報酬遞減（decreasing return of scale，DRS）。因此，Banke

13、r, Charnes and Cooper於1984年提出BCC模式，將CCR模式原本假設的固定規模報酬修正為變動規模報酬（variable return to scale，VRS）。以下分別就投入導向與產出導向兩觀點，說明CCR與BCC模式之運作方式。(二)CCR模式CCR模式為Charnes, Cooper and Rhodes於1978年提出，在固定規模報酬的假設下，將各決策單位之多項投入與多項產出予以線性組合，並以兩線性組合的比值代表各決策單位的效率值，其值介於0到1之間。CCR模式可分為投入導向與產出導向1.投入導向投入導向是在相同產出水準下，比較投入資源之使用情況。假設有個決策單位

14、，即，使用種投入，生產種產出，而第個決策單位之效率值可以分數線性規劃式來表示，即為： (1) 其中：表示第個DMU的第個產出項；：表示第個DMU的第個投入項；：表示第個產出項之權數；：表示第個投入項之權數。所有的加權係數皆必須為正值，不得為0，其所代表的意義為任一投入或產出因素均不得忽略不計。則代表一極小的正值，Charnes et al.（1979）稱為非阿基米德數（non-Archimedean number），在實際應用上常設為10-4或10-6。由於分數線性規劃式在實際求解時，可能會產生無窮解的情況，因此，可將(1)式予以轉換為線性規劃（linear programming）式，即令分

15、母為1，並求取分子之最大值： (2) (2)式所求出的效率值，與前述分數的效率值將會相等（即）。但由於(2)式的限制式數目比變數數目（即投入與產出個數）多，故將(2)式再轉換為對偶（dual）型式，如(3)式所示： (3) 分別為差額變數（slack）與超額變數（surplus），是線性規劃中將不等式轉化為等式所使用的變數。而變數為(2)式中之等號限制式，根據對偶性質，此變數之數值雖無正負限制，但因變數代表的是受評單位之效率值，故其最適解必為一正值。當一受評單位位於效率前緣上時，其為相對有效率之充分且必要條件是且。又當要從式(3)計算第個決策單位之效率值時，所對應之DMU，即為之參考集合（re

16、ference set），亦可視為之學習標竿（benchmark）。因此，若無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，則需做以下調整, 即為(4)式： (4) 藉由式(4)便能知道無效率之決策單位若減少投入及增加產出就可以達到有效率，此即CCR模式以投入為導向之差額變數分析。2.產出導向產出導向是在相同投入水準下，比較產出之達成狀況。在假設條件與投入導向相同之情況下，第個決策單位之效率值以分數線性規劃式表示，即為： (5) (1)式與(5)式中，可以發現在投入導向的目標函數值恰為產出導向的目標函數值之倒數（即投入效率值=產出效率值）。比照投入導向之處理方式，將式(5)予以轉換為線性規劃式，即令

17、分母為1，並求取分子之最大值： (6) 由於(6)式中的限制式數目比變數數目多，故再將上式轉換為對偶型式，如式(7)所示： (7) 若無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，則需做以下調整： (8) 藉由(8)式便能知道無效率之決策單位若減少投入及增加產出就可以達到有效率，此即CCR模式以產出為導向之差額變數分析。(三)BCC模式Banker, Charnes and Cooper於1984年提出BCC模式，將CCR模式原本假設的固定規模報酬修正為變動規模報酬，並以生產可能集合之凸性性質（convexity）、非效率性質（inefficiency）、射線無限制性質（ray unbounded

18、ness）及最小外插性質（minimum extrapolation）等四個公理與Shephard距離函數，將總技術效率分解為純粹技術效率（pure technical efficiency，簡稱PTE）及規模效率（scale efficiency，簡稱SE），且純粹技術效率與規模效率之乘積即為總技術效率（即）。BCC模式可分為投入導向與產出導向：1.投入導向BCC模式比CCR模式多了一個變數（代表規模報酬之型態）。假設有個決策單位，即，使用種投入，生產種產出，而第個決策單位之效率值以分數線性規劃式表示，即為： (9) 無正負限制為了解決無窮解的情況，將(9)式轉換為線性規劃式，即令分母為1，

19、並求取分子之最大值： (10) 無正負限制其中(10)式之為判斷規模報酬之型態，即l 當時，代表規模報酬遞減l 當時，代表規模報酬固定l 當時，代表規模報酬遞增依對偶概念將(10)式轉為下列式子： (11) 從(11)式得知BCC模式比CCR模式多了一凸性限制式。而可判斷規模報酬之型態：l 當時，代表規模報酬遞減l 當時，代表規模報酬固定l 當時，代表規模報酬遞增由上述可知，當無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，所應改善之數量為減少投入及增加產出如(12)式所示 (12) 2.產出導向在假設條件與投入導向相同之情況下，第個決策單位之效率值以分數線性規劃式表示，即為： (13) 無正負限制

20、為了解決運算不易與可能產生無窮解的情況，(13)式予以轉換為線性規劃式，即令分母為1，並求取分子之最大值, 如(14)式： (14) 無正負限制l 當時，代表規模報酬遞減l 當時，代表規模報酬固定l 當時，代表規模報酬遞增(14)式可轉換為對偶型式，如(15)所示： (15) l 當時，代表規模報酬遞減l 當時，代表規模報酬固定l 當時，代表規模報酬遞增當無效率之決策單位欲達到最適境界之效率目標，所應改善之數量為減少投入及增加產出如(16)式所示，此即BCC模式以產出為導向之差額變數分析： (16) (四)差額變數模式（Slacks-Based Measure，SBM）由於CCR模式與BCC模

21、式衡量的是射線效率（radial efficiency），即假設投入項或產出項可以等比例增加或減少，然而，此項假設並非在所有情況下皆適用。因此，Tone於2001年提出差額變數模式（Slacks-Based Measure，SBM），利用差額變數為衡量基礎，同時考慮投入項與產出項之差額（slack），並以非射線（non-radial）的估計方式與單一數值（scalar）來呈現SBM效率，其效率值介於0到1之間；而當一決策單位之效率值為1時，代表此決策單位在生產邊界上不論投入項或產出項皆無差額存在。利用SBM模式求算出之效值具有以下特性：l 單位不變性（units invariance）：即受評

22、單位之效率值不會隨投入項與產出項之衡量單位改變而改變。l 單調性（monotone）：係指投入過剩或產出短缺之差額會呈現單調遞減（monotone decreasing），亦即投入或產出差額會逐漸減少。(17)式為一分數線性規劃式，目的為求算出一決策單位之SBM效率，其中為非射線差額指標，及分別代表投入差額及產出差額，及分別代表投入項及產出項效率邊界之標竿值： (17)IF且，則必須把從目標函數中刪除；又若，將必須將以一極小的正值取代，以凸顯對SBM效率之負面影響。當所有投入差額（）及產出差額（）均為0時，代表該決策單位的所有投入項及產出項皆無差額存在，此時，即該決策單位為有效率。經過運算，(

23、17)式可為(18) 式所示：(18)其中衡量的是第個投入項可縮減比率，而衡量的則是第個產出項可增加比率。(18)式之第一個括號代表投入項的平均縮減比率，或稱投入混合無效率（input mix inefficiencies）；第二個括號分式代表產出項的平均增加比率，或稱產出混合無效率（output mix inefficiencies）之倒數。因此，為平均投入混合無效率與平均產出混合無效率之比率。為了求算(17)式，在此加入一正變數且轉換為下列式子： (19)為簡化令 則SBMt之線性規劃式可以為(20)式表示： (20) 其中代表轉換具有可還原性（reversible）。當得知最適解為，則S

24、BM的最適解為(21)式如下： (21)由上式的最適解可判斷一決策單位是否具有SBM效率，亦即若且唯若（即），則該決策單位具有SBM效率，且無任何投入差額及產出差額存在。而不具有SBM效率之決策單位，可藉由減少投入過剩的數量與增加產出短缺的數量作為改善，以達到SBM效率之境界。(22)式為不具有SBM效率之決策單位其調整方式，其中代表效率邊界之投射點：(22)四: Malmquist生產力指數介紹Malmquist生產力指數（Malmquist Productivity Index，MPI）係用來衡量不同時期之總要素生產力，一方面可判斷各受評單位效率之穩定性，另一方面亦可觀察各受評單位效率值之

25、變動趨勢。生產力指數主要以Fre et al.（1994）之研究最具影響力；Fre et al.（1994）利用資料包絡分析法（Data Envelopment Analysis，DEA）先估計出距離函數，再計算Malmquist總要素生產力變化指數，同時將Malmquist總要素生產力變化指數分解成技術效率變動（technical efficiency change）與技術變動（technique change） 二種。Malmquist生產力指數，可分為投入導向與產出導向之運作方式。(一) 投入導向在Fre et al.（1994）的概念下，Malmquist生產力指數可由技術效率變動與技

26、術變動兩種組合而成。技術效率變動又稱為追趕效果（catch-up effect），係指一決策單位其技術效率進步或衰退之程度，如圖2所示，設代表第期的投入值及產出值，為在第期效率邊界的投射點；代表第期的投入值及產出值，為在第期效率邊界的投射點。 A B PCP(xp,yp)QQ(xq,yq)D第p期的效率邊界第q期的效率邊界投入產出O圖2投入導向之技術效率變動與技術變動1. 技術效率變動圖2所示，從第期到第期的技術效率變動可由(23) 式表示：技術效率變動 (23)再將(23)式轉換成距離函數：技術效率變動(24)(24)式中, 代表投入面，代表從第期觀測值到第期效率邊界之距離，代表從第期觀測值

27、到第期效率邊界之距離。(24)式代表第期到第期之間，以投入為導向的技術效率之變動，當技術效率變動值1，代表第期到第期的技術效率呈現進步；技術效率變動值=1，代表第期到第期的技術效率維持固定不變；技術效率變動值1時，代表決策單位從第期到第期的總要素生產力呈現進步；當MPI=1時，代表決策單位從第期到第期的總要素生產力維持固定不變；當MPI1。在CRS之下與投入導向的進步值互為倒數。稱作在特定ES0階層下，投入導向DMUq之第g階進步性。的值越大，代表越有進步性，表示其要改進空間越大。投入導向模式下的Context-Dependent DEA之圖形如下121324568793456789投入2投入

28、1DMU1DMU2DMU3DMU4DMU5DMU6DMU10DMU9DMU8Level 1DMU7Level 2Level 3DMU11DMU12DMU13圖 6 投入導向模式下的Context-Dependent DEA三Topic 3: 資料形式一般而言,資料形式不同, 會影響DEA估計, 以下介紹一些常用之類型(一) 不可控制變數(Non-controllable variable)模式：管理決策者完全無法控制變數,例如下雪量、區域人口數, 此無法控制變數在DEA模型之改善是不能調整, 故其模型須加以修正; 其公式如(55) 及(56) 式(55) 式代表投入導向;(56) 式代表產出導

29、向1.投入導向(55)(2)產出導向(56)例子 圖書館效率評估投入：館藏冊數 職員人數 服務區域人口不可控制投入產出：借書證人數 借閱冊數將投入導向不可控制變數模式(二) 非任意變數(Non-discretionary Variable) 模式：此模型為決策者無法任意控制的變數; 和不可控制變數之差異為非任意變數可以進行有限度的調整，並非完全不可變動;例如：電力供應量受限於契約限制，無法任由決策者自由調整;其公式如(57) 及(58) 式(57) 式代表投入導向;(58) 式代表產出導向(1)投入導向(57)(2)產出導向(58)(三) 設限變數(Bounded Variable)模式：設限

30、變數(Bounded Variable)模式是非任意變數模式之擴展模式，對於投入或產出數量受限制的任意變數，列出該變數之上下限。如評估NBA球場效率，則觀眾人數列為一項設限產出變數，即球場最多容納人數為產出變數上限值，最少觀眾容納人數為下限值。其公式如(59) 及(60) 式(59) 式代表投入導向;(60) 式代表產出導向(1)投入導向 (59)(2)產出導向(60)(四) 類別變數(Categorical Variable)依不同類別加以分析如經營環境是管理者無法掌控，但大賣場分店經營績效時，依銷售環境分為(1) 艱困環境為1(2) 正常環境為2(3) 最優勢環境為3執行中，可將(1)放在

31、一起評估 (2)可以和(1)一起評估 (3)則可和(2)(1)一起評估此方法類似層級分類模式同時可和CCR、BCC、IRS、DRS與GRS一起評估四Topic 4: 超效率模型評估各受評單位之效率時，不論是採用CCR,BCC或SBM模型，有時會發生不只個受評單位之效率值為1，而使得資料包絡分析法產生判斷力不足的問題，導致排名上的困難，若情形嚴重，更會造成對參考集合和效率評估的錯誤。基於上述理由，Andersen and Petersen（1993）首先提出修正的資料包絡法來解決受評單位之效率值太多為1問題，而後繼學者加以分析, 其中以MDEA及Super SBM最為重要, 以下就兩大模型加以分

32、析;(一)修正的資料包絡分析法（MDEA）超效率模式Andersen and Petersen（1993）首先提出修正的資料包絡法來解決受評單位之效率值太多為1問題，其模型以固定規模報酬的投入導向為基礎，衡量受評單位之效率值，其方法是將有效率之受評單位分別從集合中挑選出來，以其餘受評單位為基礎，來計算受評單位之效率，將效率前緣尚有效率之受評單位加以排序，因此可能有超效率值（效率值1）的情形出現。如圖7之B點為例， 圖7 super efficiciency圖解首先將B點自效率前緣中剔除，而得一新效率前緣，其中B為與之交點，再依照資料包絡分析法的評估方式計算B之新效率值，由資料包絡分析法之計算公

33、式可知B的新效率值為，所以可得一大於1的的新效率值，再逐一對所有的相對效率點進行同樣的動作；由此可知，此法對於無效率點而言，並不改變無效率單位的效率值，而對於具相對效率的點來說，隨著其距離其他點所建構的效率前緣的遠近，皆會得到一大於1的效率值，故此模式又被稱為超效率模式（Super efficiency）。其投入導向之Super BCC模型如下 (61)其中，決策單位(=1,)使用第(=1,)項投入量為，第項產出量為，所估計之超效率值可能小於、等於或大於1，也可能發生無法估計之情形。 (二)、Super SBM(slack-based measure of super-efficiency)模

34、型資料包絡分析法及修正的資料包絡分析法（超效率模型）皆是考量投入產出比之權數，利用現性規劃方式估算效率值，因此稱為射線效率（radial efficiency）。Tone（2001）首先提出以差額變數為基礎的效率值估計模式，此模式以非射線（non-raidal）的估計方式，同時考慮投入項與產出項的差額（slacks），而所估計之效率值介於0與1間，稱之為SBM模式。但在此模型下，仍會產生多個決策單位之SBM效率值同為1的問題，故Tone（2002）提出修正的差額變數基礎效率(slack-based measure of super-efficiency)模型。Super SBM模型是以SBM模

35、型為基礎估計DMU的超效率值，為解決多個決策單位之SBM效率值同為1的問題，同時由於差額變數基礎之效率模型是以非射線之方式估計效率值，因此不會產生像MDEA無法估計的問題(即infeasible問題)。其模型如下： (62) 將上式super SBM模型轉換成線性規劃式方便求解： (63) (63)式SBM模型最適解為 。將super SBM模型加入變動規模報酬概念，則模型如下： (64) 五 Topic 5:視窗分析法 視窗分析 (window analysis)最早由Charnes et al. (1985) 所提出，主要目的在彌補決策單位數目太少時，無法有效執行傳統DEA 模式之不足；另一方面也可同時比較不同時期決策單位之相對效率，檢視其隨時間改變後效率值之變動情形。 視窗分析法是將多期的資料中每數期歸為一個視窗，各視窗期數均相同，將相同受評單位在不同時期的資料當作不同的受評單位來比較。依高強等人 (2003) 提出：視窗分析法之效率衡量在模式上並