小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)

1、鸡兔同笼问题在我国古代的数学著作孙子算经中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有 35 个，鸡脚与兔脚一共有 94 只。问鸡和兔一共有多少只？这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多样，但一般采用假设法。【例 1】 今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35 个，鸡脚与兔脚共 94 只。问鸡、兔各有多少只？【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。

2、假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2 35=70 只，与实际相比，减少了94 70=24 只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少 4 2=2 只脚。所以兔有 24 2=12 只，鸡有 35 12=23 只。【小试牛刀】 小梅数她家的鸡与兔，数头有16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【解析】假设 16 只都是鸡，那么就应该有2 1632（只）脚，但实际上有44 只脚，比假设的情况多了 44-32 12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2 只。因此只要算出 12 里面有几个2，就可以

3、求出兔的只数。有兔（44-2 16）（ 4-2 ）=6（只），有鸡 16-6 10（只）。【例 2】 面值是 2 元、5 元的人民币共 27 张，全计 99 元。面值是 2 元、5 元的人民币各有多少张？【解析】这道题类似于 “鸡兔同笼” 问题。假设全是面值 2 元的人民币， 那么 27 张人民币是 2 27=54 元，与实际相比减少了 99 54=45 元，减少的原因是每把一张面值 2 元的人民币当作一张面 5 元的人民币，要减少5 2=3 元，所以，面值是5 元的人民币有453=15 张，面值 2 元的人民币有2715=12 张。【小试牛刀】小白有2 分、 5 分硬币共40 枚，一共是1

4、元 7 角。两种硬币各有多少枚？【解析】2 分10枚，5分30 枚【例3】 一批水泥，用小车装载，要用45 辆；用大车装载，只要36 辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用45 36=9 辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是36 辆小车来运，则剩436=144 吨，需144 9=16 吨，所以，这批水泥共有16 45=720 吨。【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16 辆，如果用小卡车装要48 辆。已知大卡车比小卡车每辆多装 4 吨，问这批货物有多少吨？【解析】 96 吨【例4】 某玻璃杯厂要为商场运送1000 个玻璃杯，双方商定每

5、个运费为1 元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3 元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920 元。求打碎了几个玻璃杯？【解析】假设 1000 个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1 1000=1000 元，实际上少得1000 920=80 元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3 元，这样玻璃杯厂就少收入 1 3=4 元。又已求出共少收入80 元，所以打碎的玻璃杯数为80 4=20 个。【小试牛刀】 搬运 1000 玻璃瓶， 规定安全运到一只可得搬运费3 角。但打碎一只， 不仅不给搬运费还要赔 5 角。如果运完后共得运费260 元，那么，搬运中打

6、碎了多少只？【解析】 50 只【例 5】 某场乒乓球比赛售出30 元、 40 元、 50 元的门票共200 张，收入 7800元。其中 40 元和 50 元的张数相等，每种票各售出多少张？【解析】因为“ 40 元和 50 元的张数相等” ，所以可以把40 元和 50 元的门票都看作45 元的门票，假设这 200 张门票都是 45 元的，应收入 45 200=9000 元，比实际多收入9000 7800=1200 元，这是因为把 30 元的门票都当作 45 元来计算了。因此 30 元的门票有1200（ 4530） =80 张， 40 元和 50 元的门票各有（ 200 80） 2=60 张。【小

7、试牛刀】某场球赛售出40 元、 30 元、 50 元的门票共400 张，收入15600 元。其中 40元和 50元的张数相等，每种门票各售出多少张？【解析】 30 元的 160 张【例 6】 一次竞赛的抢答题共有20 道题，如果抢答对一道题就加10分，抢答错误要倒扣20 分。李刚在比赛中抢答了 9 道题，一共加了 30分，他抢答对几道题？【解析】假设李刚答对了9 道题，那么他答错了（ 10 9 30）（ 10 20）=（ 90 30） 30=60 30=2（道）答对了9 2=7（道）【例7】 鸡、兔共100 只，鸡脚比兔脚多20 只。问：鸡、兔各多少只？【解析】假设100 只都是鸡，没有兔，那

8、么就有鸡脚200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200 只，而实际上只多20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200 20=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2 只，兔脚增加4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4 26（只），而180 6 30，因此有兔子30 只，鸡100 30 70（只）。解：有兔（ 2 100 20）（ 24） 30（只），有鸡 100 30=70（只）。【小试牛刀】现有大、小油瓶共50 个，每个大瓶可装油4 千克，每个小瓶可装油2 千克，大瓶比小瓶共多装20 千克。问：大、小瓶各有多少个？【解析】小瓶有（4 50-20 ）（ 4 2） 30

9、（个），大瓶有 50-30 20（个）。【例 8】 有蜘蛛、蝉、蜻蜓共22 只，共有腿148 条，翅膀22 对。（其中蜘蛛有8 条腿；蜻蜓有 6 条腿，两对翅膀；蝉有 6 条腿，一对翅膀） 。求蜻蜓有多少只？【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量：项目蜘蛛蜻蜓蝉合计只数（只）22腿（条）8只数6只数6只数148翅膀（对）2只数1只数22注意到蜻蜓和蝉都是有6 条腿，而蜘蛛有8 条腿。所以可以先从腿数入手求出蜘蛛的只数。假设三种昆虫都是6 条腿，那么总腿数是6 22=132（条），与已知的148 条腿相差148132=16（条），这是因为每只蜘蛛少算了8 6

10、=2（条）腿，所以有16 2=8（只）蜘蛛。这样蜻蜓和蝉一共有228=14（只），一共有22 对翅膀。再从翅膀入手，假设14 只昆虫全是蜻蜓，求出蝉有（2 14 22）（ 2 1） =6（只），这样蜻蜓有14 6=8（只）。假设三种昆虫都是6 条腿，那么蜘蛛有： （ 148 6 22）（ 8 6）=（ 148 132） 2=16 2=8（只）蜻蜓和蝉一共有22 8=14（只）假设 14 只昆虫全是蜻蜓，那么蝉有：（ 214 22）（ 2 1）=（ 28 22） 1=6 1=6（只）蜻蜓有 14 6=8（只）【小试牛刀】蜘蛛有8 条腿，蜻蜓有6 条腿和 2 对翅膀，蝉有6 条腿和 1 对翅膀。现

11、有三种小虫共18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每种小虫各有几只？【解析】9.5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉。提示：把小虫分成8 条腿与6 条腿两种，先求出蜘蛛的数。【例9】 学校买来足球、篮球和排球共45 个，共花费2820 元。其中足球每个80 元，篮球每个 60 元，排球每个50 元；现已知足球个数比排球少3 个。三种球各买了多少个？【解析】假设排球减少3 个，此时三种球一共有45 3=42（个），共花费2820 50 3=2670（元）。由于足球与排球个数同样多，就可以把足球与排球和起来看作是一种球，这时足球、排球平均每个是（ 80+50） 2=65（元）。此时就将题目转

12、化为典型的鸡兔同笼问题：两种球共有42 个，共花费2670 元，其中篮球每个是60 元，另一种球每个是65 元。两种球各有多少个？求出篮球有多少个以后，就可以求出足球和排球有多少个。将排球减少3 个，那么有45 3=42（个）球，共花费2820 50 3=2670（元），足球、排球平均每个是（ 80 50） 2=65（元）。假设全是另一种球，那么篮球有（6542 2670）（ 6560）=（ 2730 2670） 5=60 5=12（个）这样足球与排球一共有33 个，一共花了2820-60 12=2100 元。假设全是排球，那么足球有（2100 50 33）（ 80 50）=（ 2100 16

13、50） 30=450 30=15（个）排球有 33 15=18（个）【小试牛刀】学校买来足球、篮球和排球共34 个，共花费2430 元。其中足球每个90 元，篮球每个70 元，排球每个60 元；现已知买足球所花的钱数与买排球用的同样多。三种球各买了多少个？【解析】把2 个足球、 3 个排球看作一组，求出平均每个球的价钱是：（ 90 2 60 3）（ 2 3）=360 5=72（元）假设学校买来的全是篮球，那么“新球”有： （ 2430 70 34）（ 72 70）=（ 2430 2380） 2=50 2=25（只）篮球有： 3425=9（只）足球有： 25（ 2 3） 2=25 5 2=10（

14、个）排球有：2510=15（个）【例 10】 师徒二人合作加工赶制一批零件。师傅每小时加工零件200 个，徒弟每小时加工120个，中途师傅由于疲劳先后休息了3 小时。工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了200 个零件。师徒二人共加工了多少个零件？【解析】师徒二人一共加工了2600 个零件。1.100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。 问：大、小和尚各有多少人？【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100 人全是大和尚，那么共需馍300 个，比实际多300 140 160（个）。现在以

15、小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3 1 2（个），因为160 280，故小和尚有80 人，大和尚有100 80 20（人）。同样，也可以假设100 人都是小和尚，同学们不妨自己试试。2.彩色文化用品每套19 元，普通文化用品每套11 元，这两种文化用品共买了16 套，用钱280 元。问：两种文化用品各买了多少套？【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1 个头11 只脚，一种“怪兔”有1 个头19 只脚，它们共有16个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了16 套彩色文化用品，则共需19 16 304（元），比实际多304 280 24（元），现在用

16、普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19 11 8（元），所以买普通文化用品24 8=3（套），买彩色文化用品16 3 13（套）。3. 一批钢材，用小卡车装载要45 辆，用大卡车装载只要36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4 吨，那么这批钢材有多少吨？【解析】要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4 吨，所以要剩下4 36=144（吨）。根据条件，要装完这144 吨钢材还需要45-36=9 （辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144 9 16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。4 3

17、6（ 45-36 ） 45720（吨）。答：这批钢材有720 吨。4. 乐乐百货商店委托搬运站运送500 只花瓶， 双方商定每只运费0.24打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26 元，结果搬运站共得运费元，但如果发生损坏，那么每115.5 元。 问：搬运过程中共打破了几只花瓶？【解析】假设500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24 500=120（元）。实际上只得到115.5 元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24 1.26 1.5（元）。因此共打破花瓶4.5 1.5 3（只）。（ 0.24 500 115.5 ）（ 0.24 1

18、.26 ） 3（只）。5. 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2 分钟，然后两人各跳了3 分钟，一共跳了780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（ 2 3） 60（下）。可求出小乐每分钟跳（ 780 60）（ 2 3 3） 90（下），小乐一共跳了 90 3=270（下），因此小喜比小乐共多跳780 270 2 240（下）。6. 有 2 角一张的人民币和5 角一张的人民币共33 张，共 11 元【解析】 11 元 1 角 =111 角假设全是5 角一张的人民币，那么1 角。两种人

19、民币各有多少张？2 角一张的人民币有： （5 33 111）（ 5 2）=（ 165 111） 3=54 3=18（张）5 角一张的人民币有：33 18=15（张）7. 在竞赛抢答题组比赛中，李刚和王平各自抢答了10 道题，已知抢答的规则是答对一题加20 分，答错一题要倒扣16 分。结果两人一共得了256 分，其中李刚比王平多得了道题？【解析】假设20 道题全答对，那么二人一共答错： （ 20 20 256）（ 20 16）72 分。两人各答对了几=（ 400 256） 36=14436=4（道）二人一共答对：20 4=16（道）李刚比王平多答对：72（ 2016） =2（道）所以李刚答对：

20、（ 16 2） 2=9（道）王平答对： 92=7（道）8红英小学组织120 名教师和学生参加植树活动。每个老师植树一共种了90 棵树。老师和学生各有多少人？【解析】假设参加植树的全是学生，那么教师有：（ 90120 2）（ 20。 5）=（ 90 60） 1。 5=301。 5=20( 人 )2 棵，每两个学生种一棵树。他们学生有：12020=100 （人）9一个年级有四个班，一共有181 名学生。其中一班比二班少3 人，二班比三班少4 人，三班人数与四班人数同样多。四个班各有多少学生？【解析】假设四个班的人数都与二班人数同样多，那么二班有：（ 181 3 42） 4=（ 184 8） 4=176 4=44（人）一班有： 443=41（人）三班、四班分别有：44 4=48（人）10传说九头鸟有9 个头和 1 条尾巴，九尾狐有1 个头和 9