线性代数第四版同济大学课后习题答案

1、201(1)141183第一章121048行列式利用对角线法则计算下列三阶行列式44)30(32(1)816448o33cabc abab cab c-ga1 C21b21 a21b2121 a ax21)x(x 3xy(x y)c z 33、2(x y)2按自然数从小到大为标准次序(1) 1 2 3 4 解逆序数为(2) 4 1 3 2解逆序数为(3) 3 4 2 1y)yyx(x y)3 c 2y 3x y4143(x3x423.33y)yx y (X y) x3y求下列各排列的逆序数32解逆序数为53 23 14 24 1,2 1(4)2 4 1 3解逆序数为32 14 14 3(5)1

2、 3(2 n1) 2 4(2 n)解逆序数为咛3 2 (1个)5 25 4(2个)7 27 47 6(3个)(2n1)2(2n1)4(2n1)61个)(6)1 3(2n 1) (2n) (2 n2)(n(2n1)(2 n 2)解逆序数为n( n3 2(1个)5 25 4 (2(2(n 1 个)4 2(16 21)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2 n 2)个)6 4(2 个)(23解(2 n)4(2 n)6(2 n)(2 n 2) ( n 1 个)n)2写出四阶行列式中含有因子a11a23的项含因子&1伯23的项的一般形式为(1) a11a23a3ra4s这种排列共有两个即24和42其中

3、rs是2和4构成的排列 所以含因子a11a23的项分别是(41) &11323&3044(1) &11323&34&42(计算下列各行列式1) &11&2血32&44&11&2血32&4421) &11&2血34&42&11&23&34&4241 WO125202142 0741BO125414207202141002302021C 4121041W23230241- 29002 4231 5423 623152042362315204236C2C22312214 23 4C 2C Cc 2 cc4230202310ab ae aebee解bd ed deadfb e ebf ef efb e

4、 e1 adfbee 1 b11 4abedef100e 1riar2abb10 01 d001 d1 ab a 0C3 de21 ab a ad(1)( 1)211 e 111 e 1 ed01 d01 01)(1)3ab1adedabedabed ad 1a2 ab b22aa b2b111证明:(1)(ab)3；a 11 b0100 1e10 01d证明a2 ab b2e2 e1a2 ab a2 b2 a22a a b 2b2a b a 2b 2a1 1 1e3e11 0 0b2a22b2a(ba)(b(a b)3axbyaybzazaybzazbxaxazbxaxbyayab1(bab

5、b(2)b;1)3a2(a3xb3)y证明axbyaybzazaybzazbxaxazbxaxbyaybbb;bz azx ayayy azbx axazbzazbxaxz axby ayb;axbyayaybzazaxayx y z1 1y z xa3y z xb3z x yz x yx y zx y z1x y za3y z xb3y z xz x yz x yb2bxazyzbyzaxxy(a3a2xb3)y2 2 2 2 abed2 2 2 2 abedzv2 2 2 212 2 2 2 abed2 2 2 2 abed2 2 2 2 abed1aa2a41bb2b41cc2c4(a证

6、明b)(1aa2a41bb2b41cc2c4ed222 2c)( a1dd2d4aa3 33 35 55d)(b c)(bd)(c d)( ab c d);1 b b(b 0 b2(b21 c c(caa)a2) c2(c21 d d(d a2) d2(d2aa)aa)a2)(b a)(ca)(d a)1 b b2(b1 c a) c2(c1 d a) d2(da)(b a)(c1a)(d a)01c b0 c(c b)(c b a) d(d1 d b b)(d b a)=(b a)(c a)(d a)(cb)(dc)(bX10000X100000X1ana 1an 2a2X a1b)(a c

7、)( a d)( banX1 c(c b a) d(dd)(cn 1a1Xd)( a b cb a)d)an 1Xan证明用数学归纳法证明D2Xa2 X1aiX2QXa2命题成立假设对于（nDn 1 X则Dn按第一列展开1）阶行列式命题成立n 2a1 X有an2X1000Dn XDn 1 an( 1)n 1X10011X1fnn 1XDn 1anXa1Xan1Xan因此 对于n阶行列式命题成立6副对角线翻转设n阶行列式D依次得det( aj),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依D1an1annD2ainannD3anna11a1na11an1an1a：证明D1证明D2因为n(n 1)1) 2

8、 DD det( aj)所以（同理可证D2D3an1anna11aln(1)n1an1anna11aina21a2nD11)n1(1)1 21)n(nn(n 1)1)hn(n 1)a11alna21a2nan1anna31a3n2) (n1)D1)n(n1)a11ain1) 2 D2an1annn(n1)7计算下列各行列式 Dna11al)2 (Dnn(n 1)1)F Dtn(n 1)1) 2 d（Dk为k阶行列式）,其中对角线上元素都是an(n 1)(1)FD(1)n(n 1)D D（按第n行展开）未写出的元素都是00 0 0 0 1a 0 00 0a(1)n10 a 00 0(1)2n a

9、0 0 0a 0(n 1) (n 1)(n 1) (n 1)a1)2 2(anan an 2 a1)n1)nan1(n 2)(n 2)XaaDnaXaaaX解X aaa X X a0Dna X 0X aa X 000X a再将各列都加到第一列上得X (n 1)aaa0X a0Dn00X a0000an(a 1)n(an)nan 1 (a 1)n1(an)nDn 1aa 1an1 11将第一行乘（1）分别加到其余各行aXX(n1)a( X a)n 11解根据第6题结果有111aa 1anan1(a 1)n1(an)n 1an(a 1)n(an)nn(n 1)Dn 1 ( 1)Dn 1( 1) 2

10、(a i 1) (a j 1)n 1i j 1n(n 1)(1) 2(i j)n 1 ij 1n(n 1)n (n 1)1(1)(1)2n此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)(i j)1 i j 1(i1j)anbnD2nD2nCnana1C1dnbna1C1(按第1行展开)Cndn于是a 1bn1 0a rnanCi diq 1dn 1 000dn0 an 1bn 1ai b1(1)2n 1bnC1 d1Cn 1dn 1Cn0即C2n再按最后一行展开得递推公式C2nandnC2n 2bnCnD2n 2D2nn(qdi bC)D22p012310122103210bnCn) C2n 2onao

11、4n3n2nnooo onooo 20022022 2qGQ5oooo4%32nnnoooooooo42 aa3 ao5qoooqooooonDnD6解oooooo印葺nooooooo(华2an)(110000aj01000a2100100a3100001an11n00000 1a1i 1aia2ann丄)i 1 ai用克莱姆法则解下列方程组52201 1235 22 0123112 34 5卷讯似 沃5 1 卷4 抵卷20 X 2 为 kik2R(B)3 即必须0)(4此时，增广矩阵为(k1k2为任意常数)1的充分必要条件是存在非零列向量 a及非零行向量babT证明必要性由R(A) 1知A的

12、标准形为00即存在可逆矩阵PAQ10(1,0,0)(1, 0, , 0)或 AbT (1011 0 (1,0, ,0)Q100) Q 1 则a是非零列向量 b是非零行向量充分性RA) 1因为1所以&A)19且 A abT因为a与b是都是非零向量所以A是非零矩阵从而&A)1设A为代 abT) min R(a)R(bT)mi n11m n矩阵 证明Em有解的充分必要条件是代A(1) 方程AX证明 由定理7 方程AX Em有解的充分必要条件是Em)故 R：A) F(A m代A nF(A R(A而I ET是矩阵(A E)的最高阶非零子式 方程AX Em有解的充分必要条件是F(A)(2)方程YA &有解

13、的充分必要条件是证明注意 方程YA AY En有解的充分必要条件是 条件是R(A) &AT) n20 设A为m n矩阵Em)m因此&有解的充分必要条件是 AY&AT)n 因此，方程YA巳有解巳有解的充分必要由(1)证明证明由AX AY 得A(X Y)若 AX AY 且 R(A) O 因为R(A) nn 则X Y由定理9 方程A(X Y)O只有零解即XY O也就是XY第四章向量组的线性相关性1及3v1解设2v2V123)Ta2 (10解1)TVi(10)TV2(01 1)V3 (30)T求 ViV2V1V3V2(1(12v23(a1(100)11)T(01)T1)TV33(1(31(0 1a)2

14、(a22)a)0)T0 3T5( a310) T a3a)2( a2 a) 5(a3(42(03a)1) T1 4(330)10)T求a 其中a11)T(23(a16(3a1 2a2 5a3)3(2, 5,1,3)t 2(10,1,5,10)t6(1 2已知向量组A a1(04) T3)Ta2 (3B b1(22)Tb2 (05(4,1, 1,1)T12)ta32 1 1) T(2ba(413)证明B组能由A组线性表示证明由但A组不能由B组线性表示324(A, B)知WA)由FAB)所以B组能由A组线性表示0 2 112 11知 R(B)因为&B)F(B所以A组不能由B组线性表示已知向量组Aa

15、1(0Bb1 (证明A组与B组等价 证明由1)T1)a2(1b2(10) T1)Tb3(31)T(B,A)知 RB) F(BF(A) F(B A)组与B组等价显然在所以&A)中有二阶非零子式从而 R(A) R(B)故R(AR(A)B)已知F(a1a 1能由a2a 4不能由a1a2a3)2a3线性表示a2a3线性表示R a2a3a4)3证明(1)证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关2因此A故a2a3也线性无关 a3线性表示(2) 假如a4能由a1 故a4能由a2 能由a1又由Ra1a2a3)2 知 a1a2a3线性相关故a1能匕由a2a2a3线性表示 a2a3线性表示a3线性表

16、示 从而a2a3则因为a1能由a2a3线性表示a4线性相关矛盾因此a4不32判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(2解(1)131) T (210) T30) T(140) T以所给向量为列向量的矩阵记为(1(0A0因为1)2)17 22 7 22 10所以F(A)2小于向量的个数(2) 以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为2 1 0 |B| 3 4 C|o 0 2从而所给向量组线性相关22 0所以R(B) 3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关问a取什么值时下列向量组线性相关31 (a 11) Ta2 (1 a以所给向量为列向量的矩阵记为 A1)T 33(1由a)Ta|A| 11a

17、(a 1)(a1)a设311、0、1 时 R(A) 3a2线性无关 a1 b知8线性表示的表示式解因为a1 ba2 b线性相关1(a1 b)2( a2此时向量组线性相关a2 b线性相关求向量b用a1故存在不全为零的数12使b) 0由此得a22(1b ca1(1c)a29定线性相关试举例说明之 解不一定例如时有设a1a1b1a2线性相关a1(12)b1a2(1 2)b1(0b2也线性相关(24) T, b11)a2 b2(2a1b1a2b2是否一一4)1)T, b2(0T (0 0)T0)T(24)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的举例说明下列各命题是错误的 若向量组a1am线性

18、表示解则a1表示(2)10(1)a2am是线性相关的则a1可由a2设 a1 e1a2若有不全为(10 0am线性相关0)a2a3但a1不能由a2am 0am线性0的数成立性相关解1a1则 a1a2mamam线性相关,b1b2mbmbm亦线有不全为零的数nam1b1mbm原式可化为1(a1b1)m( am和bia1 e1b1a2 e?b2em为单位坐标向量则上式成立而a1bm均线性无关amembm其中eia2b2e2am若只有当m全为0时1a1才能成立则a1亦线性无关解nam921b1am线性无关,b1等式mbm 0b2bm成立由于只有当由1a1所以只有当namm全为0时m全为0时1( a1因此

19、a1 b1bi)成立取它们满足以上条件a1 a2(4)若 a1a2性相关则有不全为922( a2b2b)amam取bi但910的数92am线性相关,mam01 b1同时成立解a1(10)Ta?(2 0) T2a2 0b1(011b1b2证明1b12b2与题设矛盾设b1b3b4线性相关由已知条件得a1 b1 a2a2 b2a1 a2b2a2a3a3b3于是a1b1 b2a3b1b2b3 a4等式iibm0等式bm)0ambm线性无关bm为线性无关组am线性相关b1b23)T2b2bm亦线(3/4)a3 a4a4a 4b4b4a4a1m使mbm 0(04) Ta1证明向量组b1从而b1 b2这说明

20、向量组b1b2b3b4b3b4 0b2b3aib4线性相关12设 b1且向量组3132br线性无关 已知的r个等式可以写成a1b231323r线性无关br31 32证明向量组b1b2ar证明(bl, b2,0) (31, 32,ar)上式记为量组b1B AK 因为|K|10 K可逆b2br线性无关所以&B)从而向13求下列向量组的秩，并求一个最大无关组(1)31(122 8)t解由4)Ta2(9100104)Ta3(ai，a2，a3)12149100104242810009 82 19 32200091002000知 R(31323 3) 2关所以31(2)31T (147)解由a1与a2的分量不成比例因为向量32是一个最大无关组213)32T (4156)故a1a2线性无33T(1知 R(a1T故a1T14(1)所以第所以第1(印,a2, a3)23a2a 3)R( a1a2T线性无关415613 4749918 1a2a 3)所以a1T因为向量a1T与a2T的分量不成比例2a/是一个最大无关组利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组25 3175 9475 9425 3217 4353 13254 13420 48因为