2019-2020学年高中北师大版数学选修2-3学案：2.4二项分布 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩 - 1 - / 12 4二项分布二项分布 q 在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛在每一场比 赛中，甲班取胜的概率为 0.6,乙班取胜的概率是 0.4，比赛既可以采用三局两胜制,又可以采用五局 三胜制如果你是甲班的一名同学 你认为采用哪种赛制对你班更有利? x 1n次独立重复试验 (1）定义 一般地，在相同条件下_重复地做n次试验_,各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试 验 (2)公式 一般地,在n次独立重复试验中，设事件a发生的次数为x,在每次试验中事件a发生的概率为 p，那么在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为

2、pn（k）_cpk(1p） nk,（k0，1，2，n）_. 2二项分布 若将事件a发生的次数设为x，发生的概率为p，不发生的概率q1p，那么在n次独立重 复试验中，事件a恰好发生k次的概率是p(xk）_cerror!error!pkqnk_(k0，1，2，n)， 于是得到x的分布列 x01kn p cp 0qn cp1qn 1n 1 cpk k，n qnk cp nq0 祝学子学业有成，取得好成绩 - 2 - / 12 由于表中第二行恰好是二项式展开式 (qp)ncerror!error!p0qncerror!error!p1qn1cerror!error!pkqnkcpnq0各对应项的值，

3、称这样的离散型随机变量x服从参数为n，p的二项分布，记作_xb(n，p）_. y 1投篮测试中，每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0。6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(a） a0.648b0。432 c0.36 d0。312 解析考查独立重复试验、互斥事件和概率公式 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为pc0。620.40.630。648，故 选 a 2口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an： anerror!error!如果sn为数列an的前n项和，那么s73 的概率为（b） a

4、cerror!error!error!error!2error!error!5 bc 2error! error!5 ccerror!error!2 5 dc 2error! error!2 解析由s73 知,在 7 次摸球中有 2 次摸取红球,5 次摸取白球,而每次摸取红球的概率为 error!error!，摸取白球的概率为,则s73 的概率为 cerror!error!2error!error!5，故选 b 3甲,乙，丙 3 人投篮，投进的概率分别是 、. 1 3 (1）现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率； (2)用x表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量x的分布列 解析

5、(1）记“甲投篮 1 次投进”为事件a1， “乙投篮 1 次投进为事件a2， “丙投篮 1 次投 进”为事件a3,“3 人都没有投进”为事件a，则 p(a1)error!error!，p（a2）,p（a3） . 1 2 p（a)p()p()p() a3 1p（a1）1p(a2）1p（a3) 祝学子学业有成，取得好成绩 - 3 - / 12 (1 )（1error!error!)(1）error!error!。 1 3 3 人都没有投进的概率为error!error!. (2)随机变量x的可能值为 0、1、2、3,则 p(xk)c（）k(error!error!)3k（k0、1、2、3） k，3

6、 x的分布列为: x0123 p errorerror ! ! h ， 命题方向 1独立重复试验概率的求法 典例 1某气象站天气预报的准确率为 80，计算（结果保留到小数点后面第 2 位） （1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； （2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率； (3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率 思路分析由于 5 次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确） ，符合独立重复试验 模型 解析（1）记预报一次准确为事件a，则p(a）0.8。 5 次预报相当于 5 次独立重复试验， 2 次准确的概率为pcerror!error!0。820。23

7、0。051 20。05， 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0。05. (2） “5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确， 其概率为 pc (0.2)5cerror!error!0。80。240。006 720.01. 0 5 所以所求概率为 1p10。010.99。 所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0。99. (3)说明第 1,2，4，5 次中恰有 1 次准确 祝学子学业有成，取得好成绩 - 4 - / 12 所以概率为pc0.80。230.80。020 480.02， 所以恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的

8、概率约为 0。02。 规律总结1。运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为 n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解； 2解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重 复试验； 3在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率 跟踪练习 1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和error!error!,假设每次射击是否击中目标,相互之 间没有影响 （结果须用分数作答） （1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率； （2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1

9、 次的概率 解析（1）记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件a1，由题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，故p（a1）1p( 1)1( )3error!error!。 （2）记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标为事件a2， “乙射击 2 次，恰有 1 次击中目标为事 件b2，则p（a2)c(）2 ，p(b2)c （)1(1）error!error!,由于甲、乙射击 4 91 2 相互独立,故p(a2b2)error!error! error!error!。 3 8 命题方向 2二项分布 典例 2在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题规定每位考生必须且只需

10、 在其中选做一题设 4 名考生选做这两题的可能性均为。 (1)求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率； （2）设这 4 名考生中选做第 15 题的考生人数为x，求x的分布列 思路分析(1)设出事件,利用独立事件求概率；(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可 解析(1)设事件a表示“甲选做第 14 题” ，事件b表示“乙选做第 14 题” ，则甲、乙 2 名考 生选做同一道题的事件为“ab ” ，且事件a,b相互独立 a 所以p(ab ）p（a）p（b）p（error!error!)p(） a 祝学子学业有成，取得好成绩 - 5 - / 12 error!error!error!error!

11、（1error!error!)(1）. (2)随机变量x的可能取值为 0,1，2,3，4.且xb（4,error!error!） 所以p（xk)c（error!error!)k(1 )4k k，4 1 2 c (）4（k0,1，2，3，4） k4 所以变量x的分布列为： x01234 p 1 4 errerr or!or! errerr or!or! erroerro r!r! 规律总结解决二项分布问题的两个关注点 （1）对于公式p(xk)cpk（1p)nk（k0，1，2，,n)必须在满足“独立重复试验” 时才能运用，否则不能应用该公式 （2）判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点：一是

12、对立性,即一次试验中，事件发生 与否两者必有其一；二是重复性,即试验独立重复地进行了n次 跟踪练习 2 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到 红灯的概率都是error!error!，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列 解析（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件a因为事件a等 价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯,所以事件a的概率 为p（a）error!error!. 4

13、27 (2)由题意，可得可能的取值为 0,2，4，6，8（单位：min)事件“2k”等价于事件“该 学生在上学路上遇到k次红灯(k0，1，2，3，4)， p(2k)cerror!error!kerror!error!4k（k0,1,2,3，4） k，4 的分布列是: 02468 祝学子学业有成，取得好成绩 - 6 - / 12 p erroerro r!r! 1 81 命题方向 3二项分布的应用 典例 3高二(1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下 发芽成功的概率为error!error!，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验 （1)第一小组做了 5 次这种植

14、物种子的发芽试验（每次均种下一粒种子）,求他们的试验中至少 有 3 次发芽成功的概率; (2）第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子） ，如果在一次试验中种子发芽成功就停 止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过 5 次求第 二小组所做种子发芽试验的次数的概率分布列 解析（1)至少有 3 次发芽成功，即有 3 次、4 次、5 次发芽成功 设 5 次试验中种子发芽成功的次数为随机变量x, 则p(x3)cerror!error!（error!error!)3(error!error!)2error!error!，p(x4）c(error!error!)4

15、 ， 2 3 p(x5）c（)5(error!error!)0。 所以至少有 3 次发芽成功的概率 pp（x3）p(x4）p（x5)error!error!。 (2)随机变量的可能取值为 1,2，3,4，5. p(1）,p（2)error!error!， p（3)（）2error!error!，p(4）(error!error!）3error!error!，p(5)（) 41error! error!。 所以的分布列为： 12345 p 1 3 errerr or!or! erroerro r!r! 8 81 规律总结1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概 率解题的

16、一般思路是：根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数n，p 写出二项分布的分布列将k值代入求解概率 祝学子学业有成，取得好成绩 - 7 - / 12 2利用二项分布求解“至少“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率,一般 转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率 跟踪练习 3 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有 5 发子 弹,第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 error!error!. (1)求油罐被引爆的概率; （2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次

17、数为x,求x不小于 4 的概率 解析(1）油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击中一 次或一次也没有击中，故该事件的概率为 c error!error!（)4（error!error!)5, 1 5 所以所求的概率为 1cerror!error!（error!error!)4()5. (2)当x4 时记为事件a, 则p（a）c （)2error!error!. 1，3 2 3 当x5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件b 则p（b)cerror!error!error!error!（）3（)4， 射击次数不小于 4 的概率为error!

18、error!error!error!。 x 二项分布中的概率最值问题 ， 一般地，若随机变量x服从二项分布，即xb（n，p)，其中 0p1，则有1 (1kn)，当且仅当k(n1)p时，p（xk）p（xk1）,所以p(xk)在（n1）p的 左侧严格递增，右侧严格递减，故有： (1)如果（n1)pn，则当k取n时，p(xk)最大 (2)如果（n1)p是不超过n的正整数，则当k（n1)p1 和（n1）p时，p（xk）都 达到最大值 （3）如果(n1）p是不超过n的非整数，那么当k(n1）p时(n1）p表示不超过 (n1）p的最大整数)，p（xk）最大 祝学子学业有成，取得好成绩 - 8 - / 12

19、 典例 4某一批产品的合格率为 95%，那么在取出其中的 20 件产品中，最有可能有几 件产品合格？ 思路分析设在取出的 20 件产品中,合格产品有件，则服从二项分布,比较 p（k1）与p(k)的大小得出结论 解析设在取出的 20 件产品中，合格产品有件，则服从二项分布,即b(20,0.95)，于 是恰好有k件产品合格的概率为p(k)c0.95k0。0520k（0k20，kn n） 又 pk pk1 20k1 0。95 k 0.05 1(1k20，kn n） 于是当k19.95 时，p（k1)19.95 时，p(k1） p(k） 从而可知在取出的 20 件产品中，最有可能有 19 件合格品 规

20、律总结求二项分布的最值的方法：根据b(n,p),列出分布列p(k） cpk(1p）nk,k0，1，2，3,，n.利用比较法(作差或作商)比较p（k1)和p(k) 的大小令p（k）p(k1)0 或error!error!1，求出k的取值区间，此区间即为p(k)的 单调增区间，它的补集即为单调减区间结合p(k）的单调性确定p（k）的最大值和对应 的k的值 跟踪练习 4 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出 现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分（

21、即获得200 分） 设每次击鼓出现音乐的概率为error!error!，且各 次击鼓出现音乐相互独立 (1）设每盘游戏获得的分数为x,求x的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解析（1)x可能的取值为:10，20,100,200。 根据题意，有p(x10)c()1(1 ）2error!error!, 1 2 祝学子学业有成，取得好成绩 - 9 - / 12 p(x20)c（）2（1）1， p(x100）cerror!error!（)3(1）0error!error!, p（x200)c（）0（1)3。 0，3 所以x的分布列为： x1020100 200 p erre

22、rr or!or! (2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件ai（i1，2，3)，则 p（a1)p（a2）p(a3)p(x200）error!error!. 所以， “三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1p(a1a2a3)1( )31. 1 8 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是。 y 审题不清致误 典例 59 粒种子分种在 3 个坑内,每坑放 3 粒，每粒种子发芽的概率为 0.5，若一个坑 内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补 种假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列 错解设需要补种的坑数为x,则x的可能取值为 0，1，

23、2，3. 由独立重复试验知p(x0）c(）3 ， 0，3 1 8 p（x1）c（error!error!）（error!error!)2error!error!， p（x2)c(error!error!)2 ，p(x3)c ()3。 3 83 3 则所求分布列为： x0123 p errerr or!or! errerr or!or! 辨析每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的概率混淆致误 祝学子学业有成，取得好成绩 - 10 - / 12 正解因为单个坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为（10。5）3 ,所以单个坑不需补种的 1 8 概率为 1error!error!。 设需要补种的坑数为x，则

24、x的可能取值为 0，1，2，3，这是三次独立重复试验, p(x0)c(）0(）3, p（x1)c（）1()2error!error!, p（x2）c（ ）2(error!error!）1， 1 8 p(x3）c（）3(error!error!)0error!error!. 所以需要补种坑数的分布列为: x0123 p 343 512 errorerror ! ! 点评审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析，弄清条件与结论，发掘一切 可用的解题信息 跟踪练习 5 某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意“中立” “反对”三类票各一张，投票时,每人必

25、须且只能投一张,每人投三类票中的任何一类的概率都是， 他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意票，则决定对该项目投资；否则， 放弃对该项目的投资 （1）求该公司决定对该项目投资的概率; （2）求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率 解析（1）该公司决定对该项目投资的概率为pc(error!error!)2(）c (error!error!）3 3 3 . （2）该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形: “同意”票张数“中立票张数“反对”票张数 事件a 003 祝学子学业有成，取得好成绩 - 11 - / 12 事件b 1

26、02 事件c 111 事件d 012 p（a）cerror!error!（error!error!）3， p（b)c（)3， p（c)cc（error!error!）3error!error!， p（d)c(error!error!）3 . 1 9 a，b,c，d互斥， p（abcd）p（a)p(b）p(c）p(d）error!error!. k 课堂达标验收 ， e tang da biao yan shou 1下列随机变量x不服从二项分布的是（b) a投掷一枚均匀的骰子 5 次，x表示点数为 6 出现的次数 b某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，x为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 c实力相等的甲、乙两选手进行了 5 局乒乓球比赛，x表示甲获胜的次数 d某星期内,每次下载某网站数据被病