(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

1、个性化教案 全等三角形复习课 适用学科 数学 适用年级 初中二年级 适用区域 通用 课时时长（分 钟） 120 知识点 全等三角形的性质和判定方法 教学目标 熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用 教学重点 学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法 教学难点 通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力 字K敦目 xuedacom 教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论 之间的联系。现分类加以说明。 、延长中线构造全等三角形 例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC2AD。 证明：延长AD至E,使

2、AD= DE,连接CE如图2。 AD是厶ABC的中线，二 BD= CD。 又/ 1 = Z 2，AD= DE, ABDA ECD( SAS。AB= CE 在 ACE中，CE+ ACAE, AB+ AC 2AD。 字K敦目 xuedacom 、沿角平分线翻折构造全等三角形 例 2.如图 3,在厶 ABC中，/ 1 = / 2,Z ABC= 2/C。求证：AB+ BD= AC。 图4 证明：将厶ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取 AE= AB,连接EDb如图4o v/ 1 = / 2, AD=AD, AB= AE, ABDA AED ( SAS。 BD= ED,/ ABC=

3、/ AED= 2/C。 而/AED=/ C+/ EDC / C=/ EDC 所以 EC= ED= BD0 v AC= AE+ EC,二 AB+ BD= AG 三、作平行线构造全等三角形 例3.如图5,A ABC中，AB= AG E是AB上异于A、B的任意一点，延长 AC至U D, 使 CD= BE,连接 DE交 BC于 F。求证：EF= FD。 D 证明：过E作EM / AC交BC于M，如图6。 则/ EMB=/ ACB / MEF=/ CDF0 v AB= AC,：/ B=/ ACB / B=/ EMB。故 EM = B吕 v BE= CD,二 EM= CB 又/ EFM=/ DFC / M

4、EF=/ CDF, EFMA DFC( AAS。EF= FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4.如图7,在厶ABC中，/ BAO90, AB= AC。M是AC边的中点。AD 丄BM交BC于D,交BM于E。求证：/ AMB=Z DMC。 vZ BAO90, AD丄BM, / FAC=Z ABM= 90Z BAE v AB= AC, Z BAM=Z ACM 90, ABMA CAF( ASA。 Z F=Z AMB, AM = CF v AM = CM,. CF= CMo vZ MCD=Z FCD= 45, CD= CD, MCDA FCD(SASo 所以Z F=Z DMC。 Z AMB=Z F=Z

5、 DMCo 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5.如图9,在厶ABC中，AD丄BC于D,Z BADZ CAB 求证：ABAC。 证明：把厶ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE= DC,连接AEo如图10。 ADCAADE (SAS。AC= AE,Z C=Z AED vZ AEDZ B,aZ CZ B。从而 ABAC 六、绕点旋转构造全等三角形 例6.如图11,正方形ABCD中，Z 1 = Z 2, Q在DC上, P在BC上。求证: PA= PB+ DQ。 D M 图II 图12 证明：将厶ADQ绕点A按顺时针方向旋转90,使AD与AB重合，得到 ABM,即：延长

6、 CB到M，使BM= DQ,连接AM。如图12。 ABMAADQ (SAS。 Z 4=Z 2=Z 1,Z M = Z AQD0 v AB/ CD, / AQD=Z BAQ=Z 1 + Z 3=Z 4+Z 3 = Z MAP。 Z M = Z MAPo PA= PM = PB+ BM = PB+ DQ (因 BM = DQ)。 【课堂练习】 1、如图，已知 AD=AE,AB=A(求证：BF=FC 2、如图，在 ABC中，AB=AC延长AB到D,使BD=AB取AB的中点E,连 接CD和CE.F为CD中点 求证：CD=2CE 3、如图， ABC中，/ C= 2/B,Z 1 = Z 2。求证：AB=A

7、C+ CD. 4、已知：AB=CD / A=Z D,求证：/ B=Z C 个性化教案 5、已知：如图，CD丄AB于点D, BEAC于点E, BE、CD交于点0,且AO平 分/ BAC 求证：OB= OC. 6如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和 CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证： CEF是等边三角形。 E 金字穴教I xuedacom 7、如图所示，已知 ALL AB, AF丄 AC AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2) EC丄 BF BC 8、如图10，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接 AE、CG,AE与CG相交于点 M，C

8、G与AD相交于点N. 求证：AE CG ; 9、如图，在等腰 RtAABC中，/ C= 90，D是斜边上 AB上任一点，AELCD 于E，BFL CD交CD的延长线于F，CH丄AB于H点，交AE于G. 求证：BD- CG. 10、已知：如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC, BC=DC CF平分Z BCD DF/ AB, BF的延长线交 DC于点 E。求证：(1) BFCA DFC (2) AD=DE 11、 已知：BC=DE / B=Z E,Z C=Z D, F 是 CD 中点，求证：/ 仁/2 12、 已知：AC 平分/ BAD, CEL AB,/ B+Z D=180。，求证：AE=AD

9、+BE 13、如图， ABC中, E、F分别在AB AC上, DEIDF, D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小. D 补充： 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等 变换中的“对折”. 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用 的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三 角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某 条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答. 1、如图，AC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证；AB = AC+BD 2、如图， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEL AB 于 E, DF 丄 AC