(完整版)几种插值法比较与应用

1、多种插值法比较与应用(一) Lagrange 插值1. Lagrange插值基函数n+1个n次多项式lk(x)0,1, ,nn x x jj 0 Xk Xj j k称为Lagrange插值基函数2. Lagrange插值多项式设给定n+1个互异点(xk, f(xk) , k 0,1,，n ,Xi Xj ,i j，满足插值条件Ln(Xk)f(Xk),0,1,的n次多项式Ln(X)|)nf(xjk(x)k 0n x f (Xk)(k 0j 0 Xkj k为Lagrange插值多项式，称(n 1)E(x)f(X) Ln(x)(n 1)T j o(X Xj)为插值余项，其中x (x) (a,b)(二)

2、 Newton插值1 .差商的定义f(x)关于Xi的零阶差商fxjf(xjf(x)关于Xi , Xj的一阶差商fXj fXiXj Xi依次类推，f(x)关于Xi , Xi 1 , ,Xi k的k阶差商fXi 1, Xi k f Xi,Xi k 1fXi ,Xi 1, Xi kXi k Xi2.Newton插值多项式设给定的n+1个互异点(Xk, f (Xk) , k0,1,n , Xi X j , i j ,称满足条件Nn(Xk)f(Xk) , k0,1,n的n次多项式Nn(x)fX。fX0,X1(X X。)fXo,X1,Xn ( xX。)(X Xn 1)为Newton插值多项式，称E(x)

3、f(x)Nn(x)f Xo,X1,Xnjn(X Xj),xa,b0为插值余项。(三) Hermite插值设f(x) C1a,b，已知互异点X0 , X1，xn a,b及所对应的函 数值为fo , f1，fn，导数值为fo,(，fn,贝U满足条件H2n1(Xi) fi,H2n 1 ( Xi ) f i, 0,1, ,n的2n 1次Hermite插值多项式为nnH2n1(X)fi j(x)fj j (X)jj 0其中j(x)1 2(x Xj)lj (Xj )l j2, j(x)(x Xj)l j2(x)称为Hermite插值基函数，ij(x)是Lagrange插值基函数，若f C2n 2a,b，插

4、值误差为f(x) H2ni(x)(2n 2)x)(2n 2)!(xXo)2(x Xn)2 ,(x)(a,b)(四) 分段插值设在区间a,b上给定n+1个插值节点a x0 x1xn b和相应的函数值yo , yi，yn，求作一个插值函数(x)，具有性质 (x) yi (i 0,1,2, ,n )。 (x)在每个小区间内Xi,Xi1】(i 0,1,2, ,n )上是线性函数。(五) 样条插值设在区间a,b上取n+1个节点a x0 x1xn b给定这些点的函数值yif(xj。若函数s(x)满足条件： s(Xi) yi , i 0,1,2, ,n ; 在每个区间Xi,Xi 1 ( i 0,1,2, ,

5、n )上是3次多项式; s(xi) C2a,b；取下列边界条件之一:(i)第一边界条件：s(x。)f(X。) , s(Xn)f (Xn),(ii )第二边界条件：nnwwr、,s(X。)f(X。), s (Xn) f (Xn)或s(x。)S)0(iii)周期边界条件：sk(x0)ks (Xn) , k 1,2称S(x)为3次样条插值函数。(六) 有理插值设在区间a,b上给定n+m+1个互异节点x0 , X1 ,x2 ,xn m 1 ,xn m上的函数值yif(Xi) , i 0,1,2,nm ,构造个有理插值Rmn(x)QmSnn 1axa1Xan 1Xanmm 1bxthxbm 1 xbm满

6、足条件:Rmn(Xi) f (Xi)， i 0,1,2, ,n m则称Rmn(X)为点集 Xo , Xi , X2 , , Xn m 1 , Xn m 上的有理插值函数。例1 .设Xo , Xi，Xn为门+1个互异的插值节点，lo(X), li(X),，nin(X)为Lagrange插值基函数，证明h(x) 1j 0证 考虑f (x) 1，利用Lagrange插值余项定理fn 1()f (X) Ln(x)(X X)(X X1) (X Xn)(n 1)!显然Ln(x) f(x) 1。利用Lagrange基函数插值公式，有例2nLn(x)j 0给出下列表格：f(Xj )lj(x)nX： lj(x)

7、j 0X：X00.20.40.60.81.0S(x)00.199560.396160.588130.772100.94608对于正弦积分S(x)xsint , dt 0 t t当S(x) 0.45时，求x的值。解利用反插值计算线性插值，取to 0.39616 , t!0.58813， x00.4，捲 0.6。Li(t)0.4t 0.588130.39616 0.588130.6t 0.396160.588130.39616x L1(0.45)0.4560920972次插值，取t0 0.19956 ? t1 0.39616 , t20.58813，x00.2，x10.4，x2 0.6L2(t)(

8、t 0.39616)(t0.58813)(0.199560.39616)(0.19956 0.58813)0.4(t 0.19956)(t0.5813)(0.396160.19956)(0.396160.58813)(t 0.19956)(t0.39616)(0.58813 0.19956)(0.58813 0.39616)x L2(0.45)0.455622509故x值约为0.456例3取节点x0，禺1对函数y e x建立线性插值。解先构造x0，人1两点的线性插值多项式。因为x01y11 e(1) Lagrange型插值多项式构造(01)和(1,e 1)的一次插值基函数lo(X)xx1XoX

9、i(X 1) , li(x)X XoXXiXo这样就容易得到i(x)yoio(X) yiii(X)(xi) xe(2) Newton型插值多项式因为fXo，Xi e i i，所以i(x) f (Xo) (X Xo)fXo，Xi i x(e i i)例4根据函数f(x) lnx的数据表X0.400.500.700.80f(x)-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144f(X)2.5000002.0000001.4285711.250000运用Hermite插值计算In 0.60。解 Xo 0.40，x10.50， x20.70， X3 0.80，首先构造 Hermite插值基函数o(x)，i(x)，2(x)，3(X)，o(x)，i(x)，2(x)，3(x)。然后利用Hermite插值公式写出3H7(x)f(Xk) k(x)k 0f(Xk)k(x)直接计算得o(O.6O)11，i(0.60)82(0.60)-83(0.60)11542727541221o(O.4O)，i(0.60)2(0.60)3(0.60)180454518In 0.60H7(0.60)0.510824 .87!f (x) Inx , f (x).x例5判断下面的函数是否是3次样