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1、圆切线问题典型问题）B.相切D.位置不定例1.已知半径为3的O O上一点P和圆外一点Q，如果OQ= 5, PQ= 4,则PQ 和圆的位置关系是（A.相交C.相离例 2.在ABC 中，/ C = 90,/ B= 30, O 为 AB 上一点，AO = m,O OF 的半径 2 ,问m在什么范围内取值时，AC与圆: （1）相离；（2）相切；（3）相交。例3.已知：在 ABC中，AD为/ BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径 的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M，且/ B = /CAE，FE: FD = 4: 3。4求证：AF = DF;例4.已知O O中，AB是直径，过B点作O

2、 O的切线，连结CO,若AD / OC 交O O于D，求证：CD是O O的切线。a例5.如图所示， ABC为等腰三角形，0是底边BC的中点，O 0与腰AB 相切于点求证:AC与O O相切。点悟：切于D点，可连结0D，贝U 0D丄AB。PC= CD。E显然AC与O O的公共点没有确定，故用“ d= r”证之。而AB与O O例6.已知O 0的半径0A丄0B，点P在0B的延长线上，连结AP交O 0于D， 过D作O 0的切线CE交0P于C,求证：例7.在ABC中，/ A = 70，点0是内心，求/ BOC的度数。T厶4二90 -灯二6爺 Im （1）当 ODr，即 22訴 Im =（2）当 ODr ,

3、即 22I呦 （3）当 OD ,也即 3时,觀=,也即 3时,0卄迈,也即3则AC 与O O相离;AC与O O相切;时，AC 与O O相交。圆切线问题典型问题答案例 1 解: VOP= 3, PQ= 4, OQ = 5,00 + 密=0( , OPQ是直角三角形，且/ OPQ= 9O, a PQ丄op。即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。a PQ和圆的位置关系相切，故选 B。点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识 进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解， 即通过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。例2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线

4、的距离与半径的 大小。解：如图所示，过例3.证明： AD平分/ BAC ,/ BAD = / DAC。V/ CAE ,/ BAD + / B = / DAC + / CAEV/ ADE = / BAD +/ B, a/ ADE = / DAE，二 EA = EDV DE 是半圆 C 的直径/ DFE = 90a AF = DF例4.点悟：要证CD是O O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想 到连结OD。证明：连结OD。V AD / OC，/ COB=/ A 及/ COD = / ODAV OA = OD ,/ ODA = / OAD a / COB = / CODV CO为公用边，OD

5、 = OB COBA COD，即/ B=/ ODC v BC 是切线，AB 是直径，a/ B= 9O,/ ODC = 90，a cd 是O O 的切线。点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图 形，先用切线的性质定理，后用判定定理。例5.点悟：显然AC 与O O的公共点没有确定，故用“ d=r”证之。而AB与 O0切于D点，可连结OD，则OD丄AB。证明：连结OD、OA。过O作OE丄AC，垂足为E。V AB = AC，O 为 BC 的中点，/ BAO = /CAO又 V AB 切OO 于 D 点， OD 丄 AB，又 OE丄 AC，二 OE= OD， AC与O O相切

6、。点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“ d= r”。例6.点悟：要证PC= CD，可证它们所对的角等，即证/ P=/CDP,又OA 丄OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。证明：连结OD，贝U OD丄CEo/ EDA + / ODA = 90 v OA 丄 OB/A +/P= 90,又V OA = OD，/ ODA =/A，/ P=/ EDA V/ EDA = / CDP,/ P=/ CDP,.PC= CD点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关 系。例7.点悟：已知0是内心，由内心的概念可知0B、0C分别是/ ABC、/ ACB 的平分线。解：在ABC 中，/ A = 70,-70