极点与系统稳定性

1、极点对系统性能影响一.控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离 散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统。连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。系统的数学模型一般由系统传递函数表达。 传递函数为零初始条件下线性系统响应 (即 输出)量的拉普拉斯变换(或z变换)与激励(即输入)量的拉普拉斯变换之比。 记作(s) =Xo (s) /Xi (s),其中Xo (s)、Xi (s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程，n 1.C特征方程的根称为极点。 Qi即为系统的极点。

2、a,sL an 1s an 0如试(S)= C n (S-Pi ) / n (S-Qi)中 Q1 Q2 Q3二.极点对系统的影响极点-确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分 别进行分析：连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式/asfl设系统函数为:.V二C n&-将H(S)进行部分分式展开:H(S)的极点系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数 位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。稳定性：由上述得知 Y(S)= C T 2)+ C3/(S- T 3)+ + Ci/(S-n( S-Pi ) /(S-Qi)可

3、分解为 Y(S)=C1/(S-T i)+则时间响应为T 1)+ C2/(S-C2es2t(1)只有一个实根：s0时，y(t)0时，y(t)0时，y(t)y(t) Cet0恒量(2)有一对复根：s y(t) Gd j )t Czd jGe t cos( t )t0时，收敛0时，等幅振荡0时，发散只要有一由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。 个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。通过复变函数幅角定理将S由G平面映射到GH平面。如果封闭曲线 F内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则

4、s沿F顺时针转一圈时， 在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R为z和P之差，即R= z P。若R为负，表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是？ (s)的分母，即？ (s)的特 征多项式，其零点是 ？ (s)的极点。取D形曲线(D围线)如图所示，是整个右半复平面。且设D曲线不经过F(s)的任一极点或零点。s沿D曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为：n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数)-F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数)所以闭环系统稳定的充分必

5、要条件是：n=- P =-开环传函在右半复平面的极点数因此:反馈控制系统在 s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N,式中，P为s右半平面开环极点数,N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,jO)点的圈数，且有 N=NiN-其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。(-Y , -1)。(-Y , -1)。正穿越：随着 w的增大，开环 Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间 半次正穿越：逆时针方向离开(或中止于)实轴区间 (-Y , -1) 负穿越：随着 w的增大，开环 Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间 半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(-Y

6、 , -1)。幅值无穷大，而相角的虚线圆若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist曲线在 w=0+时，为。判断稳定性要求 w=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为弧。Nyquist 曲线的一部分。在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为波的图判据等原理相同。都是由特征方总结：1.如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。2.如系统函数稳定。3.若系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。4.系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次离散系统离散系统稳定性原理与

7、连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉 冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。I H H H H n H H H H H H H .r(t) Jc(t)c (t)R(z)LG(s)i C(z)Xx(n)和X(z)构成一个Z变换时。因此引入Z变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列 x(n)的Z变换定义 为X(z) =2 x( n)z-n ，常用序列的Z变换中z= e,b为实变数，3为实变量，j =，所以z 是一个幅度为e 6,相位为3的复变量。理想的单位脉冲序列：T(t)k(t kT)采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波

8、信 号，调制过程可以表示为：(t) x(t) T(t) x(t)k(t kT)则:(t) x(t)kx(0) (t)x(kT) (t(t0x(T)kT)kT)(t T)x(2T) (t 2T)Z变换为:定乂： zsT e则:x(kT)k 0(t kT)(t) x(t)k(t0KT)x(kT) (t KT )0X (s)Lx(t)x(kT)e kTsk 0X(z) X (s)s 1lnzT(yln z)x(kT)z kk 0x(kT)z kZx(t) Zx*(t)X(z)由以上定义得知Z变换，则如何从 S平面映射至Ik 0Z平面：x(0)z0 x(T)z1 x(2T)z 2eTse( j)TeT ej T当s 0，则对应在s右半平面，系统不稳定，映射到 的单位圆外，脉冲系统不稳定；当s = 0,则对应在s平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到 平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。z 1对应在Z平面的单Z平面上z 1对应在Z平面Z平面上z 1对应在ZImz平面Re将Z进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。总结：。即稳定系统的系稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单