数学方法在物理学中的应用(一)

1、数学方法在物理学中的应用(一) 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物，借助数学方法可使一些复杂的物理问题 显示出明显的规律性，能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识 和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实 质上都是一个将物理问题转化为数学问题，然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的 运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用，对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。 在解决带电粒子运动的问题时，要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时，要注

2、意极 值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元 二次方程的判别式法等。 1利用三角函数求极值 y= acos 0 + bsin 0 ? ? =V?+ ?( 7?+cos?丹 VWWsin? . ? ? 令 sin 6 =亠 ”,cos 6 = 一 屮“ ？?”屮 “ ？?+?字 则有：y = V?+ ? (sin 6 cos 0 + cos 6 sin 0 ) =V?+ ?sin (6 + 0 ) n 所以当6 + 0 = 时，y有最大值，且ymax= V?+ ?. 典例：在倾角0

3、 = 30的斜面上，放置一个重量为 200 N的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为口: 3 3，要使物体沿斜面匀速向上移动 3 ，所加的力至少要多大？方向如何？ 【解析】设所加的外力 F与斜面夹角为a ,物体受力情况如图所示。 由于物体做匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有 Feos a - mgsin 0 - f = 0 N+Fsina - mgeos 0 = 0 而 f = 口 N eos eos sin 因为0已知，故分子为定值，分母是变量为a的三角函数 1 ? y=eos a +sin a Vi + ? (2 eos a +2 sin a) 3L V 1+?V 1+? =Vi + ?

4、(sin ? eos a + eos ? sin a ) = Vl + ? sin( ? + a) 1 ? 1 其中 sin ? =2 , eos? =2，即 tan ?= V1+? V 1+?字 ? 当？ + a= 90 时，即 a= 90。- ?时，y取最大值 V1 + ?。 F 最小值为?（?V?如?）,由于？?= ，即 tan ? = Vj，所以？ = 60 。 带入数据得 Fmin = 100 V3 N,此时 a= 30 。 【名师点睛】根据对物体的受力情况分析，然后根据物理规律写出相关物理量的方程，解出所求量的表 达式，进而结合三角函数的公式求极值，这是利用三角函数求极值的常用方法

5、，这也是数学中方程思想和函 数思想在物理解题中的重要应用。 2 利用二次函数求极值 2 2 2 二次函数: 2. 2 b bbb 24ae b 卄亠 .、“ y = ax + bx+ e= a(x + x + ) + e - = a(x + - ) + -(其中 a、b、e 为头常数)，当 a 4a 4a2 a4a b x = 时，有极值 ym= 4ac b2 4a （若二次项系数 a0, y有极小值；若a0，问： y/m * x/m (1) 当k满足什么条件时，甲、乙两车间的距离有最小值，最小值为多大？ (2) 当k为何值时,甲车运动到0处，与乙车的距离和t=0时刻的距离相同？ 【解析】(1

6、)t时刻两车坐标：甲车:x=(1-kt) m, 乙车:y= 1 2讥m t 时刻两车相距s=.x2y2= .(1kt2(1 2k2tm=k2t22k(1 k)t 2 m 当t/ k s时，甲、乙两车间的距离有最小值 k 最小值为Smin=2 (1 k) m,其中k满足k1 o (2)当t=0时，甲车坐标为(1,0),乙车坐标为(0,1),此时两车距离So= , 2 m 当甲车运动到 O处时,kt=1 m,乙车y= 1 2讥 m= , 2 m 1 两式联立解得:k=- o 2 【名师点睛】根据物体满足的物理规律建立起已知量与所求量之间的函数关系，若这个函数关系是二次 函数，则可用二次函数求极值。

7、二次函数求极值，是物理解题中经常用到的数学方法之一，应很好掌握。 3.均值不等式 2 对于两个大于零的变量a、b,若其和a+ b为一定值p,则当a = b时，其积ab取得极大值 鲁；对于 3 三个大于零的变量a、b、c,若其和a+ b+ c为一定值q,则当a = b = c时，其积abc取得极大值 q。 典例：一轻绳一端固定在 O点,另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地释放，如图甲所 示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值? Q 【解析】如图乙所示，当小球运动到绳与竖直方向成B角的C时，重力的功率 P=mgvcos a =mgvsin 0 乙 小球从水平位置到图中 mglcos 0 = 1 m C位置时， 由机械能守恒有 2 解得:P = mg 2gl cos 2 sin 令 y=cos 0 sin = 12.4=122.2 2(2cos sin2(cos sin sin) 又因为 2cos2 0 +sin 2 2 0 +s in 0 = =2(sin 2 0 +cos2 0 )=2(定值) 所以当且仅当2cos2 0 =sin 2 0 时 ,y有最大值 由 2cos2 2 0 =1-cos 0 得 COS 0 = 3 3 即：当cos 0二山时,功率P有最大值