弹性力学--纳维解法(板壳理论)

1、板壳理论课程设计 对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其 构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方 法。然而，它们之间还存在着一些不同。材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽 度的构件。而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。至于非杆状结 构，则是弹性力学的主要研究内容。在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的 形变状态或应力分布的假定，因而得到的结果就比较精确。 I

2、从8个方程8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到差分法、变分法， 邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。到弹性力学下册，也就是板壳理论，主要是研 究薄板的小挠度变形及其应力、应变。求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度，以及矩形薄板的莱 I I I I; 维法解及一般解法。另外，变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。 差分法中引进了较为精确的边 界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。 、二 # x7I J# 在课程设计的过程中，在自学 Matlab的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收 敛过程，并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过

3、程。除此之外， 还学会了使用ABAQU创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结 果产生的影响。尽管和差分法与精确解的误差分析相比，误差还是比较大，但相比于创建三维实体 并在底边添加约束条件相比，误差还是减少了很多。 在计算过程中，先是采用厚度0.2m薄板，有限元方法的误差过大，而当把薄板的厚度改为0.1m 时，误差变小。两种厚度的薄板都进行了同样的计算。 四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高：1 1 0.1，均布载荷 为 q=1000N/m2，弹性模量 E=205GPa，泊松比 J=0.3， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较

4、求得的结果。 得到结果如下： 纳维解法 四边简支的正方形薄板，四边无支座沉陷时，边界条件为 把挠度表示为如下的重三角级数： 代入弹性曲面的微分方程，得 为求出系数Amn，须将式子右边展为与左边同样的重三角，即 厚度为0.05m时: 分成为 迭代，在确定 厚度为0.01m时： 差分法 4*4网格划分： 2M -8(4w2) 2(4w3)0 = (；)4 差分方程：20w2 -8(2Wb wj 2(2w2)他 - w?)=署(刃4 2业 -8(刼2)+2(wJ +他 - +W3 - WO 二碁(4)4 化简后得: 其中， 20 -328 1wj4 _11 I o “ “Iq。G L 化为矩阵形式:

5、 | -8 24 -16j= |1 D 4 . II 2 -16 20 W3_1 得到结果： 厚度为0.2m时： 厚度为0.1m时： 厚度为0.05m时: 厚度为0.01m时: 8*8网格划分： 差分方程： 化简后得： 改为矩阵形式，为： 得到： 厚度为0.2m时： 厚度为0.1m时： 厚度为0.05m时: 厚度为0.01m时: 有限元法 厚度为0.2m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 创建3D实体，得到在中心点有最大位移： 厚度为0.1m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 厚度为0.05m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 创建3D实体，得到在中心点有最大位移： 厚度为0.01m时： 创建壳实体，在材料赋定时确定厚度，得到在中心点有最大位移 创建3D实体，得到在中心点有最大位移： 结果对比 厚度为0.2m时: 纳维法 差分法 M1.0e-08 有限元法 M1.0e-08 M1.0e-08 Solid Shell 1 : I 误差分析 0 厚度为0.1m时: 纳维法 M1.0e-07 差分法/x1.0e-07 有限元法 /1.0e-07 - .|r- Solid Shell 误差分析 0 厚度为0.05m时: 纳维法 差分法 M1.0e-06 有限元法 M1.0e-06 M1.0