圆的方程知识点总结和典型例题

1、圆的方程知识点总结和经典例题1. 圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)几何法：由圆心到直线的距离 d与圆的半径r的大小关系判断. 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.(2) 过一点的圆的切线方程的求法1. 当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率， 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.2. 若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条，这是因为有一条过这点

2、的切线的斜率不存在.+ (y b)2= r2(r o)圆心：(a，b)，半径：r一般x2 + y2+ Dx + Ey+ F = o(D2+ E2圆心：DE，-2，方程4F 0)1半径：刃 D2+ E2 4F注意点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.对于方程x2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0表示圆时易忽视 D2+ E2 4F 0这一条件.2点与圆的位置关系点 M(xo, yo)与圆(x a)2 + (y b)2 = r2 的位置关系：(1) 若 M(xo, yo)在圆外，贝U (xo a)2+ (yo b)2r2(2) 若 M(x

3、o, yo)在圆上，贝U (xo a)2+ (yo b)2二r2(3) 若 M(xo, yo)在圆内，贝U (xo a)2+ (yo b)2三r23. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆的位置关系的判断方法设直线 I : Ax+ By+ C = o(A2 + B2工 o), 圆：(x a)2+ (y b)2= r2(ro),d为圆心(a, b)到直线I的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切d三r上0相离drA0), 圆 02： (x a2)2 + (y b2)2= r2(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1, r2 的关系

4、代数法：两圆方程联立组成 方程组的解的情况外离d1 + r2无解外切d= r1+ r2一组实数解相交r1 r2 dr1 + r2两组不同的实数解内切d = r1 r2(r1丰一组实数解内含0w d 1,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k,则切线方程为y+ 3= k(x 4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1,所以 3k+34k = 1,即 k+4=肝,15 所以 k2 + 8k+ 16 = k2 + 1,解得 k= g.15所以切线方程为 y+ 3= j(x 4), 即卩 15x+ 8y 36= 0.(2)若直线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线x=

5、 4的距离也为1, 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.综上，所求切线方程为15x+ 8y 36= 0或x = 4.5.6.求直线1: 3x+ y 6 = 0被圆C: x2 + y2 2y4= 0截得的弦长.【解析】圆 C: x2 + y2 2y 4= 0 可化为 x2 + (y 1)2 = 5, 其圆心坐标为(0,1)，半径r = 5.- 亠3X 0+1 6 F0点(0,1)到直线l的距离为d=寸32+ 1 = 2 ，I = 2 . r2 d2= .10,所以截得的弦长为.10.直线x+ 2y 5+ 5 = 0被圆x2 + y2 2x 4y= 0截得的弦长为()C. 4D. 4

6、67.8.9.B 相交D .内切A , B两点满足方程组x= 0,y=2.【解析】圆的方程可化为C: （x 1）2+ （y 2）2= 5,其圆心为C（1,2）,半径r=5.如图所示，取弦AB的中点P,连接CP,则CP丄AB,圆心C到直线AB的距离 d= CP =丄土4*5 = 1.在 RtAACP 中，AP =Jr2 d2 = 2,故直线 2 + 22V被圆截得的弦长AB = 4.两圆x + y2 = 9和x2 + y2 8x+ 6y+ 9= 0的位置关系是（）A .外离B .相交C.内切D .外切【解析】两圆x2 + y2 = 9和x2 + y2 8x+ 6y+ 9= 0的圆心分别为（0,0

7、）和（4,3）,半径分别为3和4所以两圆的圆心距d=“J42+ 3 2= 5.又4 353 + 4,故两圆相交.圆 O1: x2 + y2 2x= 0和圆 O2: x2 + y2 4y=0 的位置关系为（）A 外离C.外切【解析】圆01的圆心坐标为（1,0）,半径长ri = 1;圆02的圆心坐标为（0,2）,半径长2 = 2; 1 = r2 riv O1O2 = 5 r 1 +2= 3,即两圆相交.求两圆x2 + y2 2x+ 10y24 = 0和x2 + y2 + 2x+ 2y 8 = 0的公共弦所在直线 的方程及公共弦长.x2 + y2 2x + 10y 24 = 0,1解析,联立两圆的方

8、程得方程组x2+y2 + 2x+2y-8 = 0,两式相减得x 2y+ 4 = 0,此为两圆公共弦所在直线的方程. 法一：设两圆相交于点A，B ,x 2y+ 4= 0,x= 4,2 2解得x2 + y2 + 2x+ 2y 8 = 0,y= 0所以AB =一 4 0 2+ 0 2 2= 2 5，即公共弦长为2 5.法二：由 x2 + y2 2x+ 10y 24= 0,得(x 1)2+ (y+ 5)2 = 50,其圆心坐标为 (1 , 5)，半径长 r = 52，圆心到直线 x 2y + 4 = 0的距离为d1 2X 一5 + 4-J+ 22=3质.设公共弦长为21，由勾股定理得r2= d2 +1

9、2,即50=(3 5)2+12,解得l = .5,故公共弦长21 = 2 5.10. 求圆C仁x2 + y= 1与圆C2: x2 + y2 2x2y+ 1= 0的公共弦所在直线被圆25C3： (x 1)2+ (y 1)2= 4 所截得的弦长.作差精彩点拨】I联立圆Cl、C2的方程I - I得公共弦所在的直线I圆心C3到公共弦的距离d 圆的半径r【解析】设两圆的交点坐标分别为 A(xi, yi), B(X2, y2),则A, B的坐标是方程组x + y2= 1,2o , c的解，两式相减得x+ y 1 = 0.x2 + y2 2x 2y+ 1 = 0因为A, B两点的坐标满足| x+ y 1 =

10、 0,所以AB所在直线方程为x + y 1=0,即C1, C2的公共弦所在直线方程为x+ y 1= 0,105 1圆C3的圆心为(1,1),其到直线AB的距离d= 2,由条件知r2 d2=寸5= ，所以直线AB被圆C3截得弦长为2 X 寻23.11. 已知圆C与圆(x 1)2 + y= 1关于直线y= x对称，则圆C的方程为()A. (x+ 1)2 + y2= 1B. x2 + y2= 1C. x2+ (y+ 1)2= 1D . x2 + (y 1)2= 1【解析】由已知圆(x 1)2 + y= 1得圆心C1(1,0),半径长r1 = 1.设圆心C1(1,0关于直线y= x对称的点为(a, b

11、),ba1 1=1a+ 1 = b2 = 2,a = 0,解得&= 1.所以圆C的方程为x2+(y+1)2=1.12. 当动点P在圆x2+ y2= 2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程 为.【解析】 设Q(x, y), P(a, b),由中点坐标公式得a+ 3x= 2，a= 2x-3,所以b+ 1b= 2y- 1.y= 丁，点 P(2x-3,2y 1)满足圆 x2 + y2= 2 的方程，所以(2x 3)2 + (2y 1)2 = 2,3 11化简得x 3 2+ y 2 2 =扌，即为点Q的轨迹方程.13. (1 )ABC 的顶点坐标分别是 A (5, 1), B ( 7,-

12、3), C (2,- 8), 求它的外接圆的方程；(2)ABC的顶点坐标分别是 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12)，求它 的内切圆的方程.【解答】解：(1)设所求圆的方程为(x-a) 2+ (y - b) 2=r2，因为 A (5, 1), B (7，- 3), C (2, - 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，(5 - a)_ b ) 2=r 2于是 _ a) 24-( - 3 - b)2，可解得 a=2 , b= - 3, r=25 ,/2- a)2f(-S-b)2=r2所以ABC的外接圆的方程是(x-2) 2+ (y+3) 2=25 .(2)vzABC 三个

13、顶点坐标分别为 A (0, 0), B (5, 0), C (0, 12),AB 丄 AC, AB=5 , AC=12 , BC=13 ,5+12 - 13 BC内切圆的半径r= 一： =2，圆心(2, 2), BC内切圆的方程为(x- 2) 2+ (y - 2) 2=4 .14. 已知圆 C: x2+ (y+1) 2=5,直线 I: mx - y+仁0 (m R)(1 )判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120 求弦AB的长.【解答】解：(1 )由于直线I的方程是mx - y+1=0，即y -仁mx ,经过定点 H (0 , 1),而点H到圆心C(0，- 1)的距离为2,小于半径一乙 故点H在圆的内部,故直线I与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点.(2)直线I的倾斜角为120 直线I: _巫 x-y+1=0 , 圆心到直线的距离 d= 亠 =1 ,二| AB| =2上=4.15. 过点(1, 2)的直线I被圆x2 + y2-2x 2y+