向量知识点归纳

1、向量知识点的归纳一、知识梳理：（1）本章要点梳理：1向量加法的几何意义：起点相同时适用 平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”1 T T特别注意：一（AB - AC）表示 ABC的边BC的中线向量。向量减法的几何意义：起点相同2适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|AB|表示A、B两点间的距离；以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a + b、a-b （或b-a ）。2、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。与非零向量a同向的单位向量a0，叫做a的单位向量。而 _ a0都与a共线（与a反向|a|I-的单位向量为-a0 = - 2 ）。|a|3、两向量

2、所成的角指的是两向量方向所成的角；两向量 数量积a b =|a|b|co： a,b ；其中jf t“-|b|cos：a,b 可视为向量b在向量a上的投影。2 24、向量运算中特别注意 a =| a |2的应用。研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算。另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解。5、 向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式x i y j的“简 记”。其中i, j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量。b- fe-6、 利用向量求角时，要注意范围。两向量所成角的范围是0,二。特别注意：a b 0不能等同 于a,b

3、所成角是锐角，因为当a,b同向时也满足a b 0 ；同样的道理，a： 0不能等同于a, b 所成角是钝角，因为当 a,b反向时也满足a b 0。例l是过抛物线y2 =2px(p 0)焦点的直线，它与抛物线交于 A、B两点，0是坐标原点，则厶ABO是( )A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关y2 =2px分析：由直线l过焦点F(P,O)，设其方程为x=my -，联立得：p，即：22x = my 上I 22 2 2222Vi y? py2pmy - p=0，贝Uy1y -p，又 为x2- =则2p 2p 4OA OB 二 x1x2 y1y2 二3p24:0 ,则 A

4、OB定是钝角选C.7直线l的向量参数方程式：A、P、B三点共线 则OP =(4 -t)OA tOB8关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型例已知向量 a = 2cosx-, b = cos x, 3 sin 2x, x R 设 f(x)二 a b(1)若f (x) = 1 -.*3且x ,，求x的值；(2)若函数y = 2sin 2x的图像按向量3 3亠环c =m,n(| m |)平移后得到函数 y = f (x)的图像，求实数 m, n的值2J兀解析：(1) f (x)二 2cos2 x. 3 sin 2x 二 cos2x 1 、3sin 2x 二 2sin(2x )1,6JJEJI,

5、勿得x (2)函数y =2sin(2x) 1是由函数y =2sin 2x的图像向左平移，再把4612所得图像向上平移1个单位而得，所以 m, n =1 12二、易错、易混、易忘点梳理：【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。4-*I-I-k*卜I-卜,224例 1.下列命题：(a)(a) a | (a b) (a c) b | a b |=| a | | b | 若 a /HHf&fc-*fe-b-f ib ,b / c ,则a / c a / b，则存在唯一实数 入，使b=-a 若ac = b，c ,且c丰r* h-b *ro，则a =b设e1 ,e2是平面内两

6、向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯组实数 x、1-FbI-I-I-卜*卜I-ty,使 a = xye2 成立。若 | a + b |=| a b | 贝U a b=0。 a b =0，贝U a = 0或 b =0。其中真命题的个数为（A. 1)B. 2C. 3D. 3个以上1 2=a判断。错误，向量的数量积的运算不满足交换律;r 4彳斗j 4（a c） b表示和向量b共线的向量，同理（a b） c表示和向量 b和向量c不一定是共线向量，故 （a b） c - （a c） b不一定成立。 错误.。注意零向量和任意向量平行 ，非零向量的平行性才具有传递性。4错误。应加条件“非零向量a”。错误

7、。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向444量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。错误。注解析：正确。根据向量模的计算这是因为根据数量积和数乘的定义4 444 14a *bab错误。应为a *a意平面向量的基本定理的前提有向量e ,e2是不共线的向量即一组基底。正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故a b=0。错误。只需两向量垂直即可。答案：B【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知a

8、,b, c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：ab = ba （交换律）（入a ） b =入（ab）=a（入b）（数乘结合律）（a + b ）c=ac + bc （分 配律）说明：（1） 一般地，（ab ） ca（bc ） （2）有如下常用性质：a 2 =|a| 2 , （a2 2 2+ b） （ c +d） = a c+a d + b c+b d, （ a + b ） =a +2a b + b【练习】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（a b） c（ c a） b=0 |a|22|b|a b| （b c） a（ c a） b 不与 c 垂直（3a+2b） （ 3a 2b）

9、 =9|a| 4|b| 中，是真命题的有（）A. B. C. D.答案：D【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。例 2.四边形 ABCD中, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d，且 ab = b c = c d = da ,试问四边形 ABCD是什么图形？【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量， 易忽视如下两点：（1）在四边形中， AB , BC , CD , DA是顺次首尾相接向量，则其和向量 是零向量，即a + b+ c +d= 0,应注意这一隐含条件应

10、用；（2）由已知条件产生数量积的关键 是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。解：四边形 ABCD是矩形，这是因为一方面：由 a + b+ c +d= 0得a + b= （ c +d），即2227?2(a + b ) =(c+d)即 |a|+2ab+|b|=|c|+2 c d+|d| 由于 a b= cd,：|a|+|b|=| c| +|d|同理有 |a|+|d|=| c |+|b| 2由可得|a| = | c|,且|b| = |d|即四边形ABCD两组对边分别相等 二四边 形ABCD是平行四边形.另一方面，由玄b = bc,有b (a c ) =0 ,而由平行四边形 ABCD

11、可得a = c ,代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0,. aXb也即AB丄BC。综上所述，四 边形ABCD是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很 多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中 学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这 一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：(1)向量形式的平行四边形定理：2 (| a |2 + | b |2)=| a b | 2 + |a + b | 2

12、 (2)向量形式的三角形不等式：| a |-| b | | a b| w |a | + | b | (试问：取等号的条件是什么 ？)等有用的结论。【练习】(1)点0是 ABC所在平面内的一点，满足OA OB 二OB OC=OCOA，则点O是ABC 的()(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点(2) ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH二m(OA - OB OC)，则实数m =答案： (1) D(2) m=1【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。T T例 3.已知 ABC中，a =5,b =8,c =

13、7,求 BC *CA.(答案:-20)【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少，在学习过程中要明确它们的概念及取值范围，如直线的倾斜角的取值范围是9：180”)，两向量的夹角的范围是0：180l，注意向量的夹角是否为三角形内角。【易错点4】向量数积性质的应用。例4.已知a、b都是非零向量，且 a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b 的夹角。解析：本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。答案：60。【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、 垂直等解析几何、 立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设a

14、与b都是非零向量,a与b的数量积的几何意义是向量a在向量b方向的单位向量正射影的数量ab =I = a a = a cos e =I ab I |a - e|,则(A) a 丄 e(B) a 丄(a - e) (C) e丄(a - e) (D)( a + e)丄(a - e)答案：C【易错点5】向量与三角函数求值、运算的交汇例 5、a =（1 cos ： ,sin ： ）, b = （1 - cos :,sin ：）, c = （1,0）,二三（0,二），：-na - P角为e 1, b与c的夹角为e 2,且码-二2,求sin的值32学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，【易错点分析】此题

15、在解答过程中,（二，2二）,a与c的夹注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中, 解析：易忽视角的范围而导致错误结论。P Pa = (2cos,2sincos)=2cos (cos , sin ), b = (2sin,2sincos )2 2 2 2 2 2 2 2 2 P. I, _“Ct Ct2ppPOfTtPJI=2s in (sin ,cos )(0,二)，：(二2 二)， 一 (0,),(,二)，故有22222222cos2 -竺2|a| |c|2cos-2| 二 2cosTbF2si cost2 2COS|b| |c|2 :2sin2 2r2si n2a PpJIJI一222=2

16、n，从而6ji1 sinsin2 6 2【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是 新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联 系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常 常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综 合运用知识解决问题的能力。【易错点6】向量与解三角形的交汇例6. AABC内接于以0为圆心，1为半径的圆，且 3OA + 4OB + 500= 0。求数量积，0A -OB , OB -0C , 0C -0A ;求AABC的面积。【思维分析】第1由题意可知30A、4(DB、5(DC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一 向量移项平方即可。第 2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。解析：/ | 0A|=| 0b|=| 0C|=1 由 30m 4OB+ 5OC=0 得：3(5m 4OB=- 5&两边平方得：9OA+24OA- 0B+ 16O=25O(ca OA- OB=0同理：由 4治 5OC=- 3OA求得 6b；由 3弘 5& 4OB 5求得 OA- 0C=- 35由 oA-