二元函数中值定理的简单应用

1、目 录一、引言 1二、主要定理的证明、应用 12.1二元函数中值定理的第一种形式 1 2.11定理及推论的证明1 2.12定理及推论的应用22.2二元函数中值定理的第二种形式 5 2.21定理及推论的证明5 2.22定理及推论的应用52.3二元函数中值定理的不等式形式6 2.31定理及推论的证明6 2.32定理及推论的应用8三、结论 9四、参考文献 9五、致谢 9二元函数中值定理的简单应用内容摘要给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型.在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容.此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广

2、、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理.关键词：二元函数 中值定理一、引言 我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理.二、主要定理的证明、应用2.1二元函数中值定理的第一种形式2.11定理及推论的证明定理1 若二元函数在点的邻域存在两个偏导数，则，全改变量 其中证明：显然，若点，则点与，且连接两点与或与的线段也属于，如图1,为此，将全改变量改写为如下形式：

3、图1 上述等式右端第一个方括号内，是常数，只是由变到；第二个方括号内是常数，只是由变到.根据一元函数中值定理，有 其中2.12 定理及推论的应用定理2 若二元函数在点的邻域存在两个偏导数，且两个偏数在点连续，则二元函数在点可微.证明：（利用二元函数中值定理），根据定理，将全改变量写为： 其中已知偏导数在连续，有 从而有 或 于是， 即函数在点可微.注：偏导数连续是二元函数可微的充分条件，而不是必要条件.定理3 若二元函数在以点为中心的矩形区域（边界平行坐标轴）满足下列条件：1) 与在连续（从而在连续）；2) ；3) .则：1) 与，存在唯一一个（隐函数）使，且.2) 在区间连续.3) 在区间有

4、连续导数，且.证明：1) 的证明未涉及到本文提到的二元函数中值定理，故略之，直接用其结论.2) 隐函数在区间连续，只需证明，函数在连续，已知与闭区间连续.且.则在有上界，在有下界.即与，有 与给自变量该变量，使，相应的有函数的该变量，即 或且 ，已知 与a)根据二元函数中值定理，有， （1）其中，将(1)式改写为 有 于是 即隐函数在连续，从而在连续.3) 隐函数在区间有连续导数，由（1）式，有 其中.已知在连续，从而当时，有，又可知与在连续，有 即隐函数在区间有连续导数，且 注：为使层次分明，定理2的结论分为三部分，实际上，这三部分可以合并，叙述以下更加简明的形式“则存在点的邻域，在存在唯一

5、一个有连续导数的隐函数，使，且.2.2二元函数中值定理的第二种形式2.21定理及推论的证明定理4 设二元函数在凸区域上连续，在所有的内点都可微，则对内任意两点存在某使得 （2）证明：令 它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在可微，于是根据一元函数中值定理，存在使得 （3）由复合函数的求导法则， （4）由于是凸区域，所以故由（3）、（4）即得所要证的（2）式.2.22 定理及推论的应用定理5（中值定理的推论） 若二元函数二元函数在凸区域上存在偏导数，且，则在区域上是常函数.证明：因为是区域存在一条完全属于的折线将连接，不妨设这折线的转接点依次是： （记）不失一般性，可以使这些点适当

6、的接近，从而使折线段 也全部在区域内，因为在区域内存在偏导数，且故利用中值定理 其中.从而有 同理推得, 将点确定在中随意选取上式均成立，由此得证结论成立.例1 通过对施用中值定理，证明对某有 解：二元函数在上连续且可微，由中值定理知，对内两点及，有 即，2.3二元函数中值定理的不等式形式2.31定理推论的证明定理6 设二元函数在凸区域内任取一点，沿任意方向的方向导存在一致有界，即存在使得则对内任意两点有 其中 （5）为证这个定理，先叙述一个引理.引理 设二元函数在凸区域的内点沿方向的方向导数存在，在点沿方向连续.证明:设为上的点（含于内），则由令便得结论.定理的证明：图2 对任意 先证 （6

7、）然后在（6）式取极限 （先固定）便可得（1）.用反证法（6）式，假设存在内点使 （7）则把线段上各点按到点的距离大小排列，线段上任意两点，当到的距离小于到的距离时，就记为从而可令 由引理，沿方向连续，故有且 如图2.对 在沿方向导数矛盾.所以，类似可证（6）式左边，从而(5)式成立.推论 设二元函数在凸区域的内任意一点沿任意方向的方向导数存在且一致有界，即存在使则对任意两内点有, 2.32定理及推论的应用定理7（连续性充分条件） 若二元函数在点的某邻域内的点沿任意方向的方向导数一致有界，则在内连续.证明：对，有推论使 取当时， 所以，在点的邻域连续.定理8 设二元函数在凸区域内任意一点沿任意

8、方向的方向导数存在且一致有界，则在内一致连续.证明：设在内任意一点（M为正常数）则取只要便有 故在内一致连续.结论通过本文，我们了解了二元函数中值定理的三种不同形式：含、两个参变量、含一个参变量以及不等式形式.二元函数作为一元函数向多元函数的过渡，在我们学习了一元函数中值定理之并领略其重要作用后，利用二元函数作为多元代表，进一步去研究中值定理在多元函数中的作用.在本文中，我们粗略的给出定理的应用，但是已经能够窥知中值定理，这一伟大的定理在研究多元函数起着举足轻重的作用.参考文献1同济大学数学研究室. 高等数学(第三版)M. 北京：高等教育出版社，1988.2T.M菲赫金哥尔茨,北京大学高等数学教研室. 微积分教程M. 北京：人民教育出版社，1956.3华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）M. 北京：高的教育出版社，1991.4华东师范大学数学系. 数学分析（第三版）M. 北京：高的教育出版社，2001.5朱正佑. 数学分析M. 上海：上海大学出版社，200