数理统计茆诗松第二章自测题

1、统计学院数理统计自测题数理统计第二章自测题时间： 120分钟，卷面分值： 100分一、填空题 ：（每题 2 分，共 10 分）得分1设总体 X 服从参数为的泊松分布， X1, X2,X,n 是取自 X 的随机样本，其均值和方差分别为 X和S2，如果 ?aX(2 3a) S2是的无偏估计，则 a=。2设总体 X 的密度函数为f (x,e (x) ,x，)x， X 1, X 2 , , X n 为来自该总体的一0,，个简单随机样本，则参数的矩估计量为。3已知 ?1 , ?2 为未知参数的两个无偏估计，且?1与 ?2 不相关， D( ?1)4D( ?2 )。如果?的无偏估计，且是?3a 1b 2 也

2、是1 ,2 的所有同类型线性组合中方差最小的，则a=，b=。4设 X 是在一次随机试验中事件A 发生的次数， 进行了 n 次试验得一组样本X1, X2,X,n，其中事件 A 发生了 k 次，则事件 A 发生的概率为p，的最大似然估计为； p(1-p) 的矩估计为。5.设总体均为未知参数，为来自总体X的一个样本 ,当用作为 的估计时，最有效的是。二、选择题 ：（每题 3 分，共 24 分）得分1.设总体 X 服从 a,b(ab) 上的均匀分布，a、b 均为未知参数，为来自总体 X的一个样本，则的最大似然估计量为()（A ）（B）（C）（D）2设总体X 的概率分布为X0123PP22(1 )21

3、2其中(00 未其中参数0,其它 ,知，设 X12n?X,是来自总体 X的样本，求的矩估计量，计算的方差 D() ，并讨, X ,论 ?的无偏性。得分2 (12分 )设总体 X 的概率密度为f ( x; )2e 2( x) , x,0,x其中参数 0为未知，从,总体中抽取样本 X1, X2,X, n，其样本观察值为x1, x2,x,n，(1)求参数的最大似然估计；(2)讨论是否具有无偏性；(3)若 不是的无偏估计量，修正它，并由此指出的一个无偏量估计。(4)讨论是否具有相合性；得分3 (6分 )一个人重复的向同一目标射击，设他每次击中目标的概率为p，射击直至命中目标为止。此人进行了 n(n 1

4、)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为x12n, x, x ，试求命中率 p的矩估计值和最大似然估计值。得分4. (11)设 X1 , X2,X,n 是来自1xp( x;,)xe,x0.试求参数的 UMVUE，并判断是否为有效估计。5.(8) 设总体为均匀分布U(),的先验分布为均匀分布U（ 10,16 ），现有三个观测值：11.7,12.1,12.（ 1）求的后验分布（ 2）求贝叶斯估计以及方差。.精品文档EXM6.(6) 对线性模型，其中 M为列满秩阵， I 为单位矩阵， 使用普通最小二乘方Var ( X )2 I法计算参数的估计以及方差，并判断最小二乘估计是否是无偏的?数理统计第二章自测题

5、参考答案一、填空题：11 ；2.X1； 3. a=0.2， b0.8； 4.，； 5.2【提示】1因为 E( X )D(X )，故 E(X)E(S2 )，又 E( ?)，即E(aX (23a) S2 ) a(23a)，解得 a1。23由题意 a ， b 应使得 E ( ?3 )且 D( ?3 ) 达到最小。已知E( ?1)E( ?2)，C ov( ?1, ?2 )0，E(?3)aE( ?1) bE( ?2 )(ab)ab1 ， b1a ，D( ?3 ) a2 D( ?1)b2D ( ?2 ) 2cov( ?1, ?2 )(4a2(1a) 2 ) D ( ?1)(5a22a1)D( ?2)令 f

6、 (a) 5a 22a1 ，求 f（ a）的最小值点为a = 0.2 ，则 b 0.8。4因为 X 服从两点分布，则?1nk，代入 p(1-p) 可得其矩估E(X)=p，矩估计值 pn iX i1n计。设( x12n)是 X 的一组样本观察值，则p 的似然函数为, x , , xnnnp xi (1p)1 xixinxip) n k ，L( p)p i 1(1 p)i1pk (1i 1两边取自然对数为 ln L( p)k ln p(nk )ln(1p) ，令 d ln L ( p)0 ，得似然估计值为dpkp?，由最大似然估计的不变性，可得的最大似然估计为n.精品文档5.二、选择题 ：1. (

7、B) ； 2. (B) ； 3. (D) ； 4. （C）； 5. （ C） 6. (A) ； 7. (C)； 8.（C）【提示】1. 易得 a 和 b 的最大似然估计分别为变性可得。2 E(X)=3 4，故 ?3X 。代入样本均值的观察值4，再由最大似然估计的不1x 2，得?。44. S2 是 的无偏估计，但 S 不是 的无偏估计；(n-1)/n S 2 是 的最大似然估计，所以是 的最大似然估计；只有当总体是正态分布时，才有S 与相互独立。6. E 1 n( Xi) 21n i 1nn)21n 22 。E(X ii 1n7.E?22D ?D?E?22 。三、判断题：1 ；2.； 3.；4.

8、 ；5.；6.；7.；8.； 9.；10. ；【提示】3. 对 C-R 正则族，有效估计一定是一致最小方差无偏估计，但反过来，由于UMVUE 的方差不一定能达到 C-R 下界，所以 UMVUE 不一定是有效估计。4. 设 X1, X2,X, n 为来自总体 U (,1) 的一个样本，其中参数未知，似然函数为n1,x1, x2 , , xn1,L( )f (xi ; )0,其他 ,i 1要使L( )1 ，须满足min xi, max xi1，所以， max xi1min xi，1 i n1 i n1 i n1 i n即满足 max Xi1 g( X1, X 2 , X n )min X i 的统

9、计量 g( X1 , X 2 , Xn ) 都是的最大1 in1 i n似然估计量。10. 贝叶斯统计中， 参数确实是随机的， 但是参数值也是由先验信息和样本信息同时决定的。四、计算题.精品文档2(x)?1E(X)6x,X?2 X 。3dx所以，的矩估计量为【解】因为022D( ?)4D(X )4D(X)n。因为 E(X 2)06x3 (3x) dx3 2，所以 D(X)E(X2)(E(X )22，1020D( ?)2，又 E( ?)2E(X)，所以是无偏的。5n2【解】 (1)似然函数为n2( xi )n2e, x1, x2, , xn,L ()f (xi ;)i 1i10,其他 ,当x1,

10、 x2 ,x,n 时， L()0 ，取对数，得nln L( ) n ln 2 2xi2n ,i 1因为 d ln L()2n0，以 L()单调增加，因此越大， L( )越大，但 x1 , x2,x,n，故d取 的最大似然估计值为?min( x1 , x2 , xn ) ，于是的最大似然估计量为?min(X 1, X 2 ,X n ) 。(2) 设总体 X的分布函数为 F( x)xf (t)dt1 e 2( x) ,x,0,x,Fmin ( z)1(1 FX ( z)n1 e 2n (z) ,z,0,z,f min (z)Fmin ( z)2ne 2n (z) ,z,0,z,因为 E( ?)zf

11、 ?(z)dz2nze 2n ( z) dx102n(3) 取1，则 E() E(1 )E( )12n2n2n，所以不是的无偏估计量。，于是即是 的无偏估计量。(4) 由于所以.精品文档由习题 2.1 节题目 7的结论可知是 的相合估计。3.【解】设 X 为直到命中目标为止所进行的射击次数，则X 服从参数为 p 的几何分布，即P Xk(1p)k1 p ， k1,2,。X 为总体， p 未知， x1, x2 , , xn 是来自总体的一组样本值，由E( X )11 n， xxi ，pn i 1由矩估计法有?1n为 p 的矩估计值。pxnxii1n似然函数 L( p)n(1p)xi1 p(1p)

12、ixi npn ，i 11nln L ( p)(xin) ln(1p)n ln p ，i 1n令 d ln L( p)nxinni 10，解得 ?n。dpp1ppxii14. 【解】 (1) 求解参数的 UMVUE 。p( x; ,)x1ex ,x0. 易判断它为指数分布族，并且()当为充分统计量，又指数分布族的充分统计量为完备统计量，所以是充分完备统计量。又所以从而 是参数的无偏估计，又是完备充分统计量的函数，所以为 UMVUE。（2）判断它是否为有效估计。T111先计算的方差：Varnn2Var ( X )n 22n2 .下一步计算参数的 C-R下界。由伽玛分布的密度函数得到ln p(x;)lnln () (1) ln xx ；2 ln p( x; )22.I ()2lnp( x; )2 . 由 C-R下界公式知所以 的费希尔信息量为E2偏估计下界为： g ( )2n12 .nI ()由于 UMVUE达到了 C-R下界，所以为有效估计。5. 【解】(1) 当即样本和 的联合分布为：h( x1 , x2 , x3 , )p( x1 , x2, x3|)()1 ,x( 3)1x(1 ) .6基于三个观测值有：1