05切变模量的测量讲解

1、实验报告：切变模量的测量张贺 PB07210001一、实验题目：切变模量的测量二、实验目的：在这个实验中，用扭摆来测量金属丝的切变模量，同时要学习尽量设法避免 测量那些较难测准的物理量，测量那些较难测准的物理量，从而提高实验精度的 设计思想。三、实验仪器：扭摆、圆盘、钢丝、金属环、游标卡尺、螺旋测微器、米尺、秒表四、实验原理：实验对象是一根上下均匀而细长的钢丝，从几何上说就是一个如图532-1所示的细长的圆柱体，其半径为 R,长度为L。将其上端固定，而使其下端面发 生扭转。扭转力矩使圆柱体各截面小体积元均发生切应变。在弹性限度内，切应 变丫正比于切应力T-G(1)这就是剪切胡克定律，比例系数

2、G即为材料的切变模量。= R dl在钢丝内部半径为p的位置，其切应变为上dl由剪切胡克定律.r二G r = G可得横截面上距轴线 00为dl力。这个切应力产生的恢复力矩为(2)(3)P处的切应(b)钢丝下端面绕中心轴线 00转过角（即P点转到了 P的位置）。相应的,钢丝各横截面都发生转动，其单位长度的转角d /dl= /L。分析这细圆柱中长为dl的一小段，其上截面为A，下截面为B （如图532-2所示）。由于发生切变, 其侧面上的线ab的下端移至b,即ab转动了一个角度 y bb=Ydl切应变d 二 4 d :=GR4dl 2 dl d甲因钢丝总长为L,总扭转角二L匚，所以总恢复力矩dl3 d

3、2 二 丫d ?dl截面A、B之间的圆柱体，其上下截面相对切变引起的恢复力矩R3(4)M = ,o 2G-GR4-2 L所以(6)于是，求切变模量G的问题就转化成求钢丝的扭矩（即其恢复力矩）的问题。为此，在钢丝下端悬挂一圆盘，它可绕中心线自由扭动，成为扭摆。摆扭过的角度正比于所受的扭力矩，D为金属丝的扭转模量。将式（7）代入式（6），有小 2DLG r兀R4(8)由转动定律M ojdt2(9)Io为摆的转动惯量，再由式（7）和（9）可得(10)这是一个简谐运动微分方程，其角频率=I，周期(11)作为扭摆的圆盘上带有一个夹具，这给测量或计算Io带来困难 一个金属环对称地置于圆盘上。设环的质量为

4、m,内外半径分别为为此，可将 r内和r外，转动惯量为1I1 = m（r内+r外），这时扭摆的周期2（由式（11）、（ 12）可得I =10 1 2 2 韦 一 ToD乍丨。*T0I12 -T。22兀2m（r内+r外2）(15)g 4：Lm(r内 r外)=RM _T。2)五、实验内容：本实验用扭摆法测量钢丝的切变模量，扭摆装置如图 532-3所示图5.3.2- i担煨的结梅示意罔1-底朋山亠底鬲上的科平逑;彳一玄杆4一恸崔 横幵的母接支杆輔楼杆的址*一閒定 畜舄岂的t建M-将體金畀善诩一金虜序汨一金 AM1. 装置扭摆，使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直，圆环应能方便地置于圆盘上。2. 用螺旋测微器测

5、钢丝直径，用游标卡尺测环的内外径，用米尺测钢丝的有效长 度。3写出相对误差公式，据此估算应测多少个周期较合适。4. 计算钢丝的切变模量G和扭转模量D,分析误差。六、数据处理:1.测量钢丝直径d :测量次数：n =10单位：mm0.7750.7720.7730.7780.7780.7750.7790.7740.7730.771d 二 0.775 0.7720.7730.7780.7780.7750.7790.774 0.7730.771 =。力510% = J(0.772-0.7752 +(0.773-0.775f +(0.778-0.775f +(0.778-0.775；2 +(0.779-0

6、.775f +0.774-0.775 20.773 - 0.775 20.771 - 0.775 2 / 10 - 1 =0.0028-d0.0028u a0.00088,10 J0u =tpUA =2.26.88 = .2p = 0.9584.2284.1484.1884.2284.1884.222.测量金属环内径d内：测量次数：n=6 单位：mm8422 沢14 範18 汉22 沢18 汉22 ,4.196d内Ua6 内0.0329V6v6= 0.013484.22-84.1961 -0.0329 84.14-84.19 84.1884.192 84.22-84.19284.18-84.1

7、9284.22-84.192p = 0.95u=tpuA=2.57 0.0134 = 0.0344103.94103.96103.96103.98103.92103.923.测量金属环外径d外:测量次数：n=6 单位：mm石 J。3.94 血96 他96 他98 他92 他9203.9565外=：103.94103.952 103.96-103.952 103.96-103.952 103.98-103.952103.92-103.95 2103.92-103.95 2/ 6-1 =0.0245Ua0.0245= 0.01p = 0.95u =tpuA =2.57 0.01 = 0.02574

8、.测量钢丝有效长度L :测量次数：n = 6 单位：cm39.4839.4739.4839.4939.4539.47L=39.48 39.47 39.48 39.49 39.45 39.47 = 39.47“39.48 39.47f+(39.4& 39.47$ +(39.49 39.4# +(39.45 39.47 _ 0 0141uA0.0141 =0.00586 、6-Lu =tpUA =2.57 0.0058 =0.0149p = 0.955. 相对误差公式:224 二 Lm(r 内 r 外) G 二R4(T12 -T02)两边取对数InG =1 n(4兀)+ln L + ln m +

9、ln(r内 + r外：)4ln R_ln(Tj _T02)求微分并系数取绝对值得要求估测22内+亠纣外十込L m（r内r外）（r内r外）Rf 2%由不确定度均分原理得2Ti(T12-t。2)；：.2%_ 72Ti(T12 _T。2)Jin12To22T0(T12 -T02)T1 =3.39sTo = 2.13s2To(Ti2 -To2)Men2Ti(T12 -T。2) ；：.2%_ 72T022 心 T0(T12 -T02)二 t0 = 0.2s带入得n 68n0-43n =70不妨取应测70个周期比较合适148.04148.16148.24148.21148.30148.23-148.041

10、48.16 148.24 148.21148.30 148.23, “t0148.206j2222% =(148.04148.20)十(148.1 &148.20)十(148.24148.20)十(148.2J148.20) +148.30-148.20 2148.23-148.20 2/6-1 =0.0892Ua-t0 _ 0.08926 ,6二 0.0364p 二 0.95u =tpuA =2.57 0.0364 = 0.09357.测量扭摆70个周期-测量次数：n=6 单位：s238.11238.15238.07238.03238.14238.03型 23815 238.7 238.3

11、238.14 238.3 = 238.09 6“ 238.11-238.092238.15-238.092238.07-238.09 238.03-238.092238.14-238.09 2238.03-238.09 2/ 6 -1 = 0.0531UA二= 0.0531 =0.02仃、6 .6单位：gp = 0.95u =tpuA =2.57 0.0217 = 0.05588.金属环质量m :m =575 _0.59.计算扭转模量D和切变模量G :由测量的数据得出：_ d 0.775mm2计8710 m2d外84.19mm2= 4.210 10，mr夕卜=2103.95mm2= 5.198

12、 102mL = 39.47cm = 0.3947mm 二 575g 二 0.575kgt070148.20s2.117s70空耍=3.401s70带入公式算得dF2曲r外2）T12 -T02_2二2 O.4212 .519820.575kg m2 s，3.401-2.1172= 7.16 10 kg2 2G=4JlLm（内 +外）R4（T12 -T。2）224 二 O.3947 0.575 0.。4210.05198 kgm2（3.887X10 $ U3.4012 2.1172 ）= 7.88 1010kg10.误差分析:写成标准差公式得带入各项算得2外 u r 外2T1Ut12T0Ut2U

13、gG= 0.0104 =1.04%10_4-210-4-2Ug -1.04%G -1.04% 7.88 10 kg m s -0.08 10 kg m s最大不确定度lG 31.04% =1.56% 乞 2%G 2符合要求同理有带入各项算得2TlUT1jj T。22ToUtoUdD= 0.0015 =0.15%322322Ud =0.15%D =0.15% 7.16 10 kg m s = 0.01 10 kg m s最大不确定度.-：D 3-爼 0.15% =0.225%D11.结果的完整表达式：G =(7.88 _0.08) 10% m，s32_2D =(7.16_0.01) 10 kg m2 s七、思考题：1. 本实验是否满足Y1的条件？答：二 r 3.88710m 9.8510八：10L 0.3947m实验中实际转过的角度大概在上左右，故满足 宀：1的条件。22. 为提高测量精度，本实验在设计上作了哪些安排？在具体测量时又要注意什么 问题？答：为提高测量精度，本实验在设计上作了如下安排： 在钢丝